等比数列的求和公式.ppt

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1、关于等比数列的求和公式现在学习的是第1页，共41页2 知识回顾：知识回顾：2.通项公式：通项公式：11nnqaa3.等比数列的主要性质：等比数列的主要性质：在等比数列在等比数列 中，若中，若 则则 ()()naqpnmqpnmaaaa Nqpnm,成等比数列成等比数列 bGa,abG2(G,a,b 0)1.等比数列的定义：等比数列的定义：qnnaa 1Nnq,0（常数）（常数）（）,m nmnqaag现在学习的是第2页，共41页相传，古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者宰相西萨班达依尔。于是，这位宰相跪在国王面前说：陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第

2、三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人罢！数学小故事创设情境、提出问题创设情境、提出问题现在学习的是第3页，共41页第1格：第2格：第4格：第3格：第63格：第64格：122232622632现在学习的是第4页，共41页64S236312222.(1)请同学们考虑如何求出这个和？请同学们考虑如何求出这个和？642S23632(1 2222).642S即23636422222.(2)64642SS23463(1 2 2222)2346364(2 22222)646421S 这种求和的方法,就是错位相减法!191.84 101

3、8446744073709551615 如果如果1000粒麦粒重为粒麦粒重为40克，那么克，那么这些麦粒的总质量就是这些麦粒的总质量就是7300多亿多亿吨。根据统计资料显示，全世吨。根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为界小麦的年产量约为6亿吨，就亿吨，就是说全世界都要是说全世界都要1000多年才能生多年才能生产这么多小麦，国王无论如何是不产这么多小麦，国王无论如何是不能实现发明者的要求的。能实现发明者的要求的。现在学习的是第5页，共41页如何求等比数列的如何求等比数列的Sn:Sn:nnnaaaaaS132111212111nnnqaqaqaqaaSnnnqaqaqaqaqaqS111312

4、11 ，得nnqaaSq1100)1(nnqaaSq11)1(错位相减法错位相减法现在学习的是第6页，共41页qqaaqqaaSnnn11111:1时q1.1.使用公式求和时，需注意对使用公式求和时，需注意对 和和 的情况加以讨论；的情况加以讨论；1q1q2.2.推导公式的方法：推导公式的方法：错位相减法。错位相减法。注意：注意：显然，当q=1时，1naSn现在学习的是第7页，共41页,11111qqaaqqannnS,1na(q=1).(q1).等比数列的前n项和表述为：现在学习的是第8页，共41页9数数 列列 等等 差差 数数 列列 等等 比比 数数 列列 前前 n 项项 和和 公公 式式

5、推导方法推导方法 21nnaan S dnnna211 qqann 111Sqqaan 11 1 q【注意注意】在应用等比数列的前在应用等比数列的前n n项和公式时考虑项和公式时考虑 公比是否为公比是否为1倒序相加倒序相加错位相减错位相减现在学习的是第9页，共41页10解解:例例1 求等比数列求等比数列 的前的前8项的和项的和.,81,41,218,21,211nqa2112112188S.256255qqaSnn1)1(1现在学习的是第10页，共41页:a2n量中，求满足下列条件的、在等比数列例nnsaanq和求.21,5,2)2(1nqsaann和求.341,512,1)3(1nsaa求,

6、2)1(31解：21,5,2)2(1anq得：代入qqasqaannnn11,11182214415qaa2311221212121555s可得代入将qqaannnnSSaa111341,512,1)3(2.1)512(1341qqq解得：10)2(1512,111nqaannn解得：所以因为112)1(231qqaa即nnaSqn222211，所以，时，数列为常数列当nqqannnSq)1(11)1(1)1(1 21)1(1时，当说明：选择适当的公式。并且要根据具体题意，中，只知三可求二，在五个变量nnSanqa,1.作为第一要素来考虑。的取值，应把它意在利用公式，一定要注q现在学习的是第1

7、1页，共41页12 例例2.求等比数列求等比数列 1，2，4，从第从第5项到第项到第10项的和项的和.,2,11qa解：.1521)21(144S.102321)21(11010S.1008151023410SS从第从第5项到第项到第10项的和项的和:10s.,10654321aaaaaaa4s现在学习的是第12页，共41页13,21,231qa解：求等比数列求等比数列 从第从第3项到第项到第7项的和项的和.,83,43,23.1283812112112377 S所以从第所以从第3项到第项到第7项的和为：项的和为：.1281534912838143237S现在学习的是第13页，共41页 4在等

8、比数列an中，已知a1a2an2n1，则a12a22an2等于_现在学习的是第14页，共41页15 根据下列条件，求相应的等比数列根据下列条件，求相应的等比数列 的的.0,16,81)3(51naaa8116154aaq32 q nanS;6,2,3)1(1nqa;5,21,8)2(1nqa.18921)21(366S.231211211855S2113213216815s现在学习的是第15页，共41页等比数列的前n项和（二）有关的性质现在学习的是第16页，共41页,11111qqaaqqannnS,1na(q=1).(q1).等比数列的前n项和表述为：复习回顾复习回顾 引入新课引入新课现在学

9、习的是第17页，共41页。，111111q-qqaaqnaSnn等比数列前等比数列前n项和公式项和公式:。，11111q-qqaaqnaSnn或或复习回顾复习回顾 引入新课引入新课现在学习的是第18页，共41页 321nnnnaSa例 已知数列前n项和，求此数列的通项，并证明它是一个等比数列。分 析：判 断 一 个 数 列 是 等 比 数 列（或 等 差 数 列），一 定 要 用 定义 来 判 断：任 意 两 相 邻 的 项 具 有 某 种 特 征：比（或 差）为 定 值。111,aS解：由已知，得111(2 1)(21)2nnnnnnaSS 1112(*)nnaan N又满 足 上 式，11

10、22(*)2nnnnan Na由于 na是一个等比数列2n 当时，现在学习的是第19页，共41页111naSAqB当时，1112()()nnnnnnnaSSAqB AqBAq Aq 当时，0naAq B Aq ABAA B 若是等比数列，则，即 0nA Ba当时，不是等比数列。1(1)1nnnnnaqSSSAqBq由得探究是形：如的式子，0A B且，nna反之，若一个数列的前 项和为0,1nnSAqBAq，na则数列是等比数列吗？0nA Ba当时，是等比数列；现在学习的是第20页，共41页等比数列前等比数列前n n项和的性质一：项和的性质一：)0(AAAqSnn-是等比数列数列na类似结论：类

11、似结论：是等比数列数列na)1,0(AABBAaSnn相反数相反数现在学习的是第21页，共41页例题解析例题解析 na na,13 nnmS例例1、若等比数列、若等比数列 中，中，21 na na181则则实数实数m=-1-1练习：练习：1、已知等比数列、已知等比数列 的前的前n项和为项和为,6131nnxS则则x的值为的值为2、已知等比数列、已知等比数列 的前的前n项和为项和为,232aSnn则则a的值为的值为3、已知等比数列、已知等比数列 的前的前n项和为项和为,5342aSnn则则a的值为的值为454现在学习的是第22页，共41页等差数列中依次每等差数列中依次每k项的和，仍成等差数列项的

12、和，仍成等差数列。在等比数列中，是否也有类似的性质？在等比数列中，是否也有类似的性质？71472114nnaSSSSSS已知数列是等比数列，是其前项和，求证：，成等比数列。71141211171421qSa Sa Sa证 明：时，147211470SSSSS此时，71472114SSSSS，成等比数列现在学习的是第23页，共41页1q当时，7142111171421(1)(1)(1)111aqaqaqSSSqqq，2714 22 147 221114722()(1)()(1)(1)a qqa qqSSqq此时714212 147 2111721142(1)()(1)()11(1)aqa qqa

13、 qqSSSqqq214772114()()SSSSS71472114SSSSS，成等比数列现在学习的是第24页，共41页探究探究:对于一般的等比数列对于一般的等比数列 ，其前，其前n项项nS nammmmmSSSSS232,也成等比数列也成等比数列的和为的和为 ，则，则现在学习的是第25页，共41页的值。求，若项和为的前例：等比数列mmmnnSSSSna323010703mS解得：成等比数列，mmmmmSSSSS232-)()(2322mmmmmSSSSS-)30(10)1030(32-mS即：解解：现在学习的是第26页，共41页的值。求，若，项和为的前例：等比数列101551013231,

14、1SSSSaSnann解：解：3231510SS)0(32,31510kkSkS设成等比数列，10155105SSSSS-)()(101552510SSSSS-kS3299315解得：)31(32)3231(152kSkkk-即：9929931015SS现在学习的是第27页，共41页。，则，若项和为的前、等比数列30201080201SSSSnann2、任意等比数列，它的前任意等比数列，它的前 n 项和、前项和、前 2n 项和与前项和与前 3n 项项和分别为和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（，则下列等式中恒成立的是（）DAXZ2YCY2XZBY(YX)Z(ZX)DY(YX)X(ZX

15、)260练一练练一练2.748,14若某等比数列中前 项的和为前 项的和为60,则前21项的和为_63.现在学习的是第28页，共41页qSS奇偶等比数列前等比数列前n n项和的性质三：项和的性质三：等比数列前等比数列前n n项和的性质四：项和的性质四：、，有对的等比数列为公比为如果NpmqanpmmpmSqSS 项，则：共有若等比数列nan22221222111,11.nnaqaqSSqqSaqSa偶奇偶奇推导过程:现在学习的是第29页，共41页现在学习的是第30页，共41页例:已知一个项数为偶数的等比数列的首项为1,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数.:,解 设此

16、数列的公比为q 项数为2n.1702.85SS偶奇则q=221221185,85.1128,8.nnaqqSqqn奇又即即此数列共有 项现在学习的是第31页，共41页变式训练：变式训练：已知一个等比数列其首项是已知一个等比数列其首项是1 1，项数，项数是偶数，所有奇数项和是是偶数，所有奇数项和是8585，所有偶数项和是，所有偶数项和是170170，求此数列的项数？，求此数列的项数？提示：提示：285170奇偶SSq25585170奇偶SSSn项和公式得：由等比数列前n2121255-n8 n现在学习的是第32页，共41页 1234910111217181920naa aaaaaaaaaaa2:

17、已知等比数列,+=4,+=16,求+的值.:,naq解 设等比数列为8910111212348,4.a aaaa aa aqq+8171819209101112()64.aaaaa aaaq+现在学习的是第33页，共41页1359911.,602_.qa a aa100已知等比数列的公比为且+则S90练习练习现在学习的是第34页，共41页分析确定an的通项公式，利用错位相减法解题现在学习的是第35页，共41页现在学习的是第36页，共41页现在学习的是第37页，共41页现在学习的是第38页，共41页现在学习的是第39页，共41页作业现在学习的是第40页，共41页2022-9-7感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第41页，共41页