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1、关于矩阵分解现在学习的是第1页，共25页满满足足，则则存存在在，设设满满秩秩分分解解：、1nrrrmrnmrCCCBCA BCA ，进进行行列列分分块块得得把把证证：)(21nAA 的的极极大大无无关关组组，为为，且且设设，因因为为njjjrrAr )(2121 等价，等价，与与，故故njjjr 2121nicrkjkiik 2 1 1，设设 rnrrnnjjjncccccccccr21222211121121)()(21 ，则则，令令)(21rjjjB ，nrijcC )(，则则rBr)(.BCA 且且)()(BCrArr 又又，rCr )(，故故rCr)(nrrCC 即即，即即rmrCB
2、化为简化阶梯形矩阵化为简化阶梯形矩阵用初等行变换把用初等行变换把求法：求法：、A 2现在学习的是第2页，共25页的满秩分解的满秩分解求求、例例 321162221111 1A 321162221111 A解：解：13122rrrr 2341rr 210084001111 000084001111241r 00002100111121rr 000021001011，212211B，21001011CBCA 且且的满秩分解的满秩分解求求、例例 14 0113 130215 1201 2 211 2A现在学习的是第3页，共25页 14 0113 130215 1201 2 211 A解：解：1413
3、2rrrr 22 20 01 512015 1 2 01 2 2 1 14323rrrr 0 00 002 2200151 201 22 11321221)(rr 0 0 0001 1100 101 2 2112125213132122rrrr 0 0 0001 110013 01014 01121rr ，0 0 0001 110013 0100 1 001的满秩分解的满秩分解求求、例例 14 0113 130215 1201 2 211 2A，011302120211B 111001301001001CBCA 且且现在学习的是第4页，共25页则则的满秩分解，的满秩分解，均为均为设设满秩分解之
4、间的关系：满秩分解之间的关系：、311ACBBCA 111 )1(CDCDBBCDrrr ，满满足足，存存在在HHHHHHHHBBBCCCBBBCCC1111111111)()()()()2(，证证：11(1)CBBC HHCCBBCC11，又又rCCrCrH )()(rrrHCCC 故故1.3.4书书上上引引理理，111)(HHCCCCBB，取取11)(HHCCCCDDBB1 则则，同理同理111)(CBBBBCHH ，取取111)(BBBBDHH 11CDC 则则得得代代入入，把把11111 CBBCCDCDBB ，11111CBCDDB，HHHHCCBBCCDDBB111111111 可
5、逆，可逆，其中其中HHCCBB1111，EDD 1，故故11 DD11CDC HHHHHHHHDBDBDBCDCDCDBBBCCC)()()()()()()2(1111111111111 HHHHBBBCCC11111111)()(HHHHHHHHBDDBBDDCCDDC11111111111)()()()(现在学习的是第5页，共25页矩矩阵阵分分解解第第四四章章 正交三角分解正交三角分解第二节第二节 现在学习的是第6页，共25页满足满足，三角阵三角阵下下上上及正线及正线则存在唯一的酉阵则存在唯一的酉阵，设设正交三角分解：正交三角分解：、)(1RUCAnnn )(RUURA ，进进行行列列分分
6、块块得得把把证证：)(21nAA 线线性性无无关关，所所以以，因因为为nnAr )(21，正交化得正交化得，将将nn 2121niecikkkii 2 1 1，且且 rnnnnncccccceee000)()(222112112121，则则 ，令令)(21neeeU，nnijcR )(为为正正线线上上三三角角阵阵，为为酉酉阵阵，则则RU .URA 且且，单单位位化化得得，再再将将nneee 2121 niciii 2 1 0，其中其中 现在学习的是第7页，共25页满足满足，三角阵三角阵下下上上及正线及正线则存在唯一的酉阵则存在唯一的酉阵，设设正交三角分解：正交三角分解：、)(1RUCAnnn
7、，设设11 RUAURA )(RUURA 11RUUR 则则1111 RRUU为为上上三三角角阵阵，为为酉酉阵阵，因因为为1111 RRUUERRUU 1111所所以以，故故唯唯一一性性得得证证，11 RRUU 为正线上三角阵为正线上三角阵为酉阵，为酉阵，其中其中，1111 RURUAH nnnHnnnCACA ，HHURA11，令令HHRRUU11 为为正正线线下下三三角角阵阵，为为酉酉阵阵，则则RU RUA 且且位位向向量量组组的的列列向向量量组组化化为为正正交交单单把把正正交交分分解解求求法法：、A 2URARUA 使使得得，及及正正线线上上三三角角阵阵求求酉酉阵阵，设设、例例 1010
8、21111 1 101 021 111 321 ，设设解：解：现在学习的是第8页，共25页URARUA 使使得得，及及正正线线上上三三角角阵阵求求酉酉阵阵，设设、例例 101021111 1，设设解解：101 021 111 321 正正交交化化得得，将将321 ，11111 ，1103312122 ，2/12/11212130232133 单单位位化化得得，将将321 ，3/13/13/13111 e，2/11/102122 e 6/16/16/26233 e 113e 21223ee 3232621ee ，故故 61213161213162310U 26210020033RURA 且且现在
9、学习的是第9页，共25页满满足足，阶阶正正线线上上三三角角阵阵及及则则存存在在唯唯一一的的次次酉酉阵阵，设设列列满满秩秩分分解解：、3RrUUCArmrrmr URA，进进行行列列分分块块得得把把证证：)(21rAA 线线性性无无关关，所所以以，因因为为rrAr )(21，正交化得正交化得，将将rr 2121riecikkkii 2 1 1，且且 rrrrrrcccccceee000)()(222112112121，则则 ，令令)(21reeeU，rrijcR )(为正线上三角阵，为正线上三角阵，为次酉阵，为次酉阵，则则RU .URA 且且，单位化得单位化得，再将再将rreee 2121 ri
10、ciii 2 1 0，其其中中 现在学习的是第10页，共25页，设设11 RUAURA ，则则11RUUR 故唯一性得证故唯一性得证位位向向量量组组的的列列向向量量组组化化为为正正交交单单把把列列满满秩秩分分解解求求法法：、A 4满满足足，阶阶正正线线上上三三角角阵阵及及则则存存在在唯唯一一的的次次酉酉阵阵，设设列列满满秩秩分分解解：、3RrUUCArmrrmr URA，且且HHHHHURURA11 ，11RRRRAAHHH .H)(矩矩阵阵为为，AAAAAAHHHH0 0 AXX有有，又又对对任任意意)(的列向量组线性相关的列向量组线性相关否则否则A)()()(AXAXXAAXHHH，0 为
11、正定矩阵为正定矩阵故故AAH，1RR ，1UU 满足满足，阶正线下三角阵阶正线下三角阵及及则存在唯一的次酉阵则存在唯一的次酉阵，设设行满秩分解：行满秩分解：、5LrUUCAnrrnrr LUA 为为正正线线上上三三角角阵阵为为次次酉酉阵阵，其其中中，1111 RUURUArnrH rnrHnrrCACA ，证证：，HHURA11，令令HHRLUU11 为为正正线线下下三三角角阵阵，为为酉酉阵阵，则则LUUnrr LUA 且且现在学习的是第11页，共25页满满足足，阶阶正正线线上上三三角角阵阵及及则则存存在在唯唯一一的的次次酉酉阵阵，设设列列满满秩秩分分解解：、3RrUUCArmrrmr URA
12、 满足满足，阶正线下三角阵阶正线下三角阵及及则存在唯一的次酉阵则存在唯一的次酉阵，设设行满秩分解：行满秩分解：、5LrUUCAnrrnrr LUA，由由满满秩秩分分解解得得证证：BCA 满足满足，阶正线下三角阵阶正线下三角阵，阶正线上三角阵阶正线上三角阵及及，则存在次酉阵则存在次酉阵，设设矩阵分解：矩阵分解：、721LrRrUUUUCAnrrrmrnmr 21RLUUA nrrrmrCCCB ，其其中中，行行满满秩秩分分解解有有再再由由列列、RUB1 ，2LUC 阶正线下三角阵，阶正线下三角阵，为为阶正线上三角阵，阶正线上三角阵，为为，其中其中rLrRUUUUnrrrmr 21 21RLUUA
13、 故故位位向向量量组组的的列列向向量量组组化化为为正正交交单单把把列列满满秩秩分分解解求求法法：、A 4位位向向量量组组的的行行向向量量组组化化为为正正交交单单把把行行满满秩秩分分解解求求法法：、A 6现在学习的是第12页，共25页LUALUA 使使得得，及及正正线线下下三三角角阵阵求求次次酉酉阵阵，设设、例例 021111 2，设设解解：)0 2 1()1 1 1(21 正正交交化化得得，将将21 ，)1 1 0(3312122 单单位位化化得得，将将21 ，)31 31 31(3111 e 113e 21223ee ，故故 21213131310U 2303L，)1 1 1(1 ，)21
14、21 0(2122 eLUA 且且现在学习的是第13页，共25页矩矩阵阵分分解解第第四四章章 奇奇异异值值分分解解第第三三节节 现在学习的是第14页，共25页两个引理两个引理一、一、)()()(1ArAArAArCAHHnm 则则，设设、的的解解，为为方方程程若若证证：0 AxACxHn，则则0 AxAxHH，0)()(AxAxH，故故0 Ax的的解解为为方方程程即即0 Axx的的解解，为为方方程程若若0 AxCxn，则则0 AxAH的的解解为为方方程程即即0 AxAxH是同解方程组，是同解方程组，与与故方程故方程00 AxAAxH)()(ArAArH 因此因此，)()()()()(HHHHH
15、HAArAArArArAr ，)()(HAArAr)()()(ArAArAArHH 故故是是半半正正定定矩矩阵阵、，设设、HHnmAAAACA 2 )()(0 AXAXAXAXXHHH 有有，对对任任意意证证：，则则，若若0)()(0 AXAXAXH，则则，若若0)()(0 AXAXAXH0)()(AXAXAXAXHHH故故是是半半正正定定矩矩阵阵因因此此AAH是是半半正正定定矩矩阵阵同同理理可可证证HAA现在学习的是第15页，共25页矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解二、二、.是是实实数数，则则的的特特征征值值，为为的的特特征征值值，为为且且，设设iiHiHinmrAAAACA ，若若0212
16、1 nrrr ，02121 nrrr 之间有如下关系之间有如下关系与与则特征值则特征值ii )2 1(0 1riCAiinmr，则则，设设结结论论：、，可可得得由由证证：)()(xAxAAAxxAAiHHHiH ，即即)()(xAxAAAHiHH 的的特特征征值值，的的特特征征值值也也是是既既是是AAAAHHi.的的特特征征值值的的特特征征值值也也是是既既是是同同理理HHiAAAA，的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量对应对应为为，设设iHpAAxxx 21的特征向量，的特征向量，对应对应为为，则则iHpHHHAAxAxAxA 21线线性性无无关关，可可证证pHHHxAxAxA 21重重特
17、特征征值值，的的重重特特征征值值也也是是的的为为pAApAAHHi)2 1(0riii，故故 现在学习的是第16页，共25页则则，的正特征值为的正特征值为或或且且，设设奇异值：奇异值：、2iHHnmrAAAACA )2 1(riii，的奇异值的奇异值称为矩阵称为矩阵 A的的奇奇异异值值求求、例例 000110101 1A 011010001000110101 HAA解解：，000021012 00021012 HAAE，)3)(1(，的的特特征征值值为为0 1 3321 HAA.1 321 ，的奇异值为的奇异值为故故A非非零零特特征征值值的的模模长长的的的的奇奇异异值值是是则则是是正正规规矩矩
18、阵阵，设设正正规规矩矩阵阵的的奇奇异异值值：、AAA 3使得使得，存在酉阵存在酉阵是正规矩阵，是正规矩阵，证：证：UA现在学习的是第17页，共25页非非零零特特征征值值的的模模长长的的的的奇奇异异值值是是则则是是正正规规矩矩阵阵，设设正正规规矩矩阵阵的的奇奇异异值值：、AAA 3使得使得，存在酉阵存在酉阵是正规矩阵，是正规矩阵，证：证：UA，)(21nHdiagAUU ，HnUUdiagA)(21 ，HnHUUdiagA)(21 ，HnnHUUdiagAA)(2211 ，的的特特征征值值为为故故nnHAA 2211.22221n ，即即0 2 iiiiA 其其中中，的的奇奇异异值值为为满满足足
19、，阶阶酉酉阵阵及及阶阶酉酉阵阵则则存存在在，的的奇奇异异值值为为且且，设设奇奇异异值值分分解解：、421VnUmACArnmr HVUA 000)(21rdiag ，其其中中 现在学习的是第18页，共25页满满足足，阶阶酉酉阵阵及及阶阶酉酉阵阵则则存存在在，的的奇奇异异值值为为且且，设设奇奇异异值值分分解解：、421VnUmACArnmr HVUA 000)(21rdiag ，其其中中 使使得得，阶阶酉酉阵阵存存在在矩矩阵阵得得：为为由由证证：H UmAAH 0002UAAUHH矩矩阵阵为为矩矩阵阵，为为其其中中，令令)()(2121rmmUrmUUUU ，则则 000)(22121UUAAU
20、UHHH 000222122111UAAUUAAUUAAUUAAUHHHHHHHH)1(211 UAAUHH)2(021 UAAUHH)4(022 UAAUHH)3(012 UAAUHH，得得：由由rHHEUAAU 1111)1(rHHHEUAUA )()(1111即即现在学习的是第19页，共25页满满足足，阶阶酉酉阵阵及及阶阶酉酉阵阵则则存存在在，的的奇奇异异值值为为且且，设设奇奇异异值值分分解解：、421VnUmACArnmr HVUA 000)(21rdiag ，其其中中 使使得得，阶阶酉酉阵阵存存在在矩矩阵阵得得：为为由由证证：H UmAAH 0002UAAUHH)1(211 UAAU
21、HH)2(021 UAAUHH)4(022 UAAUHH)3(012 UAAUHH，令令111 UAVH，得得：由由rHHEUAAU 1111)1(rHHHEUAUA )()(1111即即是次酉阵，是次酉阵，则则rnrUV 1.)(21)(2阶阶酉酉阵阵为为，使使得得，故故存存在在次次酉酉阵阵nVVVUVrnnrn )(2121VVAUUAVUHHH，22122111AVUAVUAVUAVUHHHH11111 UAAUAVUHHH而而，12现在学习的是第20页，共25页满满足足，阶阶酉酉阵阵及及阶阶酉酉阵阵则则存存在在，的的奇奇异异值值为为且且，设设奇奇异异值值分分解解：、421VnUmACA
22、rnmr HVUA 000)(21rdiag ，其其中中 )1(211 UAAUHH)2(021 UAAUHH)4(022 UAAUHH)3(012 UAAUHH)(2121VVAUUAVUHHH，22122111AVUAVUAVUAVUHHHH11111 UAAUAVUHHH而而，12，得得：又又由由0 021121 AVUVVHH，111 UAVH，故故021 AVUH，可可得得：由由0)()4(22 HHHAUAU，02 AUH，012 AVUH022 AVUH，故故 000AVUHHVUA 000即即现在学习的是第21页，共25页满足满足，及及则存在次酉阵则存在次酉阵，的奇异值为的奇异
23、值为且且，设设推论：推论：、51121rnrrmrrnmrUVUUACA HVUA11 )(21rdiag ，其其中中 HVUA 000 由由奇奇异异值值分分解解有有：证证：，令令)()(2121nmvvvVuuuU HnHHrmvvvuuuA2112100)(，则则HrrrHHvuvuvu 222111 HrHHrrvvvuuu212121)(，11VU 为为次次酉酉阵阵，其其中中rnrrmrUVUU 11)(21rdiag ，现在学习的是第22页，共25页的求法的求法及及奇异值分解中的奇异值分解中的、VU 60)1(2121 nrrrHAA 的特征值的特征值求求nrrrnrrrHAA )2
24、(21212121，的线性无关特征向量的线性无关特征向量，对应对应求求 nrrrnrrruuuuuu )3(21212121，正交单位得正交单位得，把把 )(21rdiag ，并并构构造造 ，并并构构造造)(2121nrrruuuuuuU )(211ruuuU，111)4(UAVH计计算算rnHxV 0211，得得基基础础解解系系并并解解方方程程nrrrnvvv )5(2121，正正交交单单位位化化得得：，把把 )(211nrrvvvVV，并并构构造造 HVUAA 0)6(的奇异值分解：的奇异值分解：写出写出现在学习的是第23页，共25页的奇异值分解的奇异值分解求求、例例 000110101
25、2A 00021012 HAAE，的特征值为的特征值为得：得：由例由例解：解：0 1 31 321 HAA，对应的特征向量为对应的特征向量为 0111，0112 1003，正交单位化得：正交单位化得：，把把 0 21211321u ，021212u 1003u 1000021212121，令令 U，00212121211U 13且且 06221612161111UAVH 0020213211得：得：，即，即解解 xxxxxxVH，111 3131313v单单位位化化得得，令令 31623121613121610VHVUA 000则则现在学习的是第24页，共25页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第25页，共25页