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1、概念、定理辨析第三章线性方程组判断下列各命题的真假，并说明理由。1每个矩阵都与唯一的一个行阶梯形矩阵等价。【答案】：错误。【提示】：例如：设矩阵123423013535A，则31221212341234230101672353500001234(1)01670000rrrABrrrC所以，矩阵A与行阶梯形矩阵B等价，也与行阶梯形矩阵等价C，显然BC。2含n个变量n个方程的线性方程组至多有n个解。【答案】：错误。【提 示】：设 含n个 变 量n个方 程 的 线 性方 程 组为1nnA xb，则 当()(,)RARAbn时，该方程组有无穷多个解。3如果一个线性方程组有两个不同的解，那么它必然有无穷
2、多解。【答案】：正确。【提示】：利用线性方程组的解的结构即可。4如果一个线性方程组有解但没有自由变量，则它有唯一解。【答案】：正确。5 如果增广矩阵(,)A b通过初等行变换变为(,)Cd，则方程组A xb和Cxd名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 4 页 -有相同的解集。【答案】：正确。【提示】：利用线性方程组求解的方法即知。6如果方程组A xb有多于一个的解，则方程组0A x也如此。【答案】：正确。【提示】：利用非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组的解的关系即可。7如果A为一个mn矩阵，并且方程组A xb对某些b是有解的，则A中的列张成mR。【答案】：错误。【
3、提示】：例子：只要选择满足条件R(A)m 的矩阵即可。8如果增广矩阵(,)A b可以通过初等行变换变为行最简形矩阵，则方程组是有解的。【答案】：错误。【提示】：因为任何一个矩阵都可以通过初等行变换变为行最简形矩阵，而线性方程组A xb有解的充分必要条件是()(,)RARA b。9如果矩阵A和B行等价，则它们有相同的行最简形矩阵。【答案】：正确。【提示】：利用矩阵的初等行变换的有关结论即可。10 方程组0A x只有零解当且仅当方程组中没有自由变量。【答案】：正确。11 如果A为一个mn矩阵，并且方程组A xb对所有b都有解，则()R Am。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页
4、，共 4 页 -【答案】：正确。【提示】：因为方程组A xb有解的充分必要条件是()(,)RARA b，又由题意，方程组Axb对所有b都有解，即对所有b都有()(,)RARA b成立，所以()RAm。12 如果一个mn矩阵A的每一行都有主元位置，则方程组A xb对mR中的任意b都只有唯一解。【答案】：错误。【提示】：原题条件只能说明R(A)=m，不能说明 R(A)=R(A,b)=n，因此，举反例只需要满足R(A)n 即可。【注】：矩阵 A 的主元位置是 A 的行最简形中首项元素为1 所对应的位置；主元列是 A 中包含主元位置的列。13 如果一个nn矩阵A有n个主元位置，则A的行最简形为一个nn
5、单位矩阵。【答案】：正确。14 如果33矩阵A和B都含有3个主元位置，则A可以通过初等行变换变成B。【答案】：正确。【提示】：由题意可知，矩阵A和B都可逆，从而矩阵A和B都与3阶单位矩阵行等价，从而矩阵A与B行等价。15 设A为一个mn矩阵，并且方程组A xb至少有两个不同的解。如果方程组A xc相容，则方程组A xc有多个解。【答案】：正确。【提示】：因为方程组A xb至少有两个不同的解，则()(,)RAR A bn；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -又方程组Axc有解，则()(,)R AR A c；由()(,)R AR A bn，得()(,)R AR A cn，从而方程组A xc有无穷多个解。16 如果矩阵A和B是行等价的mn矩阵，且A中的列张成mR，则B中的列也张成mR。【答案】：正确。17 如果u，v为mR中的向量，则u在,Spanu v中。【答案】：正确。【提示】：因为1212,Spanu vy yk uk v kkR，而(1)0uuv，所以u在,Spanu v中。18 设u，v，w为2R中的非零向量，则w为u，v的线性组合。【答案】：错误。【提示】：例如：101u，202v，102w，但是w不能写出u，v的线性组合。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -