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1、中考专题训练二次函数压轴题1. 已知，二次函数 y=x2+2x+3 的图象与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A，B，直线 AD 交抛物线于点 D2,m，如图 1(1) 求抛物线的对称轴和点 D 的坐标(2) 点 P 是抛物线上（直线 AD 上方）的一动点，过点 P 作 PQAB 交 AD 于 Q，求线段 PQ 的最大值(3) 若 P 为抛物线的顶点，抛物线对称轴与直线 AD 交于点 N，平行于 y 轴的一条动直线 L 与直线 AD 相交于点 M，与抛物线相交于点 H，若四边形 MHNP 是平行四边形，求点 M 的坐标2. 如图，关于 x 的二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交
2、于点 A1,0 和点 B，与 y 轴交于点 C0,3(1) 求二次函数的表达式(2) 点 M 是直线 BC 下方抛物线上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线交直线 BC 于点 N，设 M 点的横坐标为 m，求线段 MN 的长最大时 m 的值(3) 在 y 轴上是否存在一点 P，使 PBC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由3. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，且 OA=4，OC=3，若抛物线经过 O，A 两点，且顶点在 BC 边上，对称轴交 BE 于点 F，点 D，E 的坐标分别为 3,0，0,1(
3、1) 求抛物线的解析式；(2) 猜想 EDB 的形状并加以证明；(3) 点 M 在对称轴右侧的抛物线上，点 N 在 x 轴上，请问是否存在以点 A，F，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由4. 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=33x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 F 是点 B 关于 x 轴的对称点，抛物线 y=33x2+bx+c 经过点 A 和点 F，与直线 AB 交于点 C(1) 求 b 和 c 的值；(2) 点 P 是直线 AC 下方的抛物线上的一动点，连接 PA，PB求 PAB 的最大
4、面积及点 P 到直线 AC 的最大距离；(3) 点 Q 是抛物线上一点，点 D 在坐标轴上，在（2）的条件下，是否存在以 A，P，D，Q 为顶点且 AP 为边的平行四边形，若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由5. 如图，抛物线 y=x12+n 与轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C0,3，点 D 与 C 关于抛物线的对称轴对称(1) 求抛物线的解析式及点 D 的坐标；(2) 点 P 是抛物线上的一点，当 ABP 的面积是 8，求出点 P 的坐标；(3) 过直线 AD 下方的抛物线上一点 M 作 y 轴的平行线，与直线 AD 交于点 N，已知 M 点的横
5、坐标是 m，试用含 m 的式子表示 MN 的长及 ADM 的面积 S，并求当 MN 的长最大时 S 的值6. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A4,0，B2,0 交 y 轴于点 C0,6，在 y 轴上有一点 E0,2，连接 AE(1) 求二次函数的表达式(2) 若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点，求 ADE 面积的最大值(3) 抛物线对称轴上是否存在点 P，使 AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 P 点的坐标，若不存在请说明理由7. 如图，抛物线 y=ax2+bx+4（a0）与 x 轴交于点 B3,0 和 C4,0 与 y 轴交
6、于点 A(1) a= ，b= (2) 点 M 从点 A 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB 向 B 运动，同时，点 N 从点 B 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 BC 向 C 运动，当点 M 到达 B 点时，两点停止运动t 为何值时，以 B，M，N 为顶点的三角形是等腰三角形？(3) 点 P 是第一象限抛物线上的一点，若 BP 恰好平分 ABC，请直接写出此时点 P 的坐标8. 如图，已知抛物线 y=14x2+bx+c 经过 ABC 的三个顶点，其中点 A0,3，点 B12,15，ACx 轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点(1) 求抛物线的解析式(2) 过点 P 且与 y
7、轴平行的直线 l 与直线 AB，AC 分别交于点 E，F，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标(3) 当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C，P，Q 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由9. 如图，三角形 ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，点 A，C 分别是一次函数 y=34x+3 的图象与 y 轴、 x 轴的交点，点 B 在二次函数 y=18x2+bx+c 的图象上，且该二次函数图象上存在一点 D，使四边形 ABCD 能构成平行四边形(1) 试求 b，c 的值，并写出该二次函数表达式；(2)
8、动点 P 沿线段 AD 从 A 到 D，同时动点 Q 沿线段 CA 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动，问：当 P 运动过程中能否存在 PQAC？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？当 P 运动到何处时，四边形 PDCQ 的面积最小？此时四边形 PDCQ 的面积是多少？10. 如图，平面直角坐标系中，抛物线 y=13x+2+k 的对称轴为 x=1，与 y 轴交于点 D0,133(1) 求 和 k 的值；(2) 点 P 为第二象限对称轴左侧抛物线上一点，过 P 作 x 轴垂线，垂足为 B，点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 A，在对称轴上取点 C，使 BPC90，连接 AC
9、，若 BAC=12BPC求证：PB=PC；(3) 在（2）条件下，过点 A 作 AEPC 交抛物线的对称轴于点 E，当 CE:AE=13:5 时，求 P 点坐标11. 如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴相交于点 A0,3，与 x 正半轴相交于点 B，对称轴是直线 x=1(1) 求此抛物线的解析式以及点 B 的坐标(2) 动点 M 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向运动，同时动点 N 从点 O 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，当 N 点到达 A 点时，M，N 同时停止运动过动点 M 作 x 轴的垂线交线段 AB 于点 Q，交抛物线于
10、点 P，设运动的时间为 t 秒当 t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形当 t0 时，BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由12. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A1,0，C3,0，点 B 为抛物线顶点，直线 BD 为抛物线的对称轴，点 D 在 x 轴上，连接 AB，BC，ABC=90，AB 与 y 轴交于点 E，连接 CE(1) 求顶点 B 的坐标并求出这条抛物线的解析式；(2) 点 P 为第一象限抛物线上一个动点，设 PEC 的面积为 S，点 P 的横坐标为 m，求 S 关于 m 的函数关系武，并求出 S 的最大值；(3) 如图 2，
11、连接 OB，抛物线上是否存在点 Q，使直线 QC 与直线 BC 所夹锐角等于 OBD，若存在请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由13. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx2a0 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，直线 BD 交抛物线于点 D，并且 D2,3，B4,0(1) 求抛物线的解析式；(2) 已知点 M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点 B，M，C，求 BMC 面积的最大值；(3) 在（2）中 BMC 面积最大的条件下，过点 M 作直线平行于 y 轴，在这条直线上是否存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆？若存在，求出圆心 Q
12、 的坐标；若不存在，请说明理由14. 如图，抛物线 y=12x2+2x+52 与 x 轴相交于 A，B 两点，点 B 在点 A 的右侧，与 y 轴相交于点 C(1) 求点 A，B，C 的坐标；(2) 在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标；(3) 点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由15. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3a0 经过点 A1,0 和点 B3,0，与 y 轴交于点 C(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若点 P 是直线 BC
13、 下方的抛物线上一动点（不点 B，C 重合），过点 P 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 D，设点 P 的横坐标为 m用含 m 的代数式表示线段 PD 的长连接 PB，PC，求 PBC 的面积最大时点 P 的坐标(3) 设抛物线的对称轴与 BC 交于点 E，点 M 是抛物线的对称轴上一点，N 为 y 轴上一点，是否存在这样的点 M 和点 N，使得以点 C，E，M，N 为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点 M 的坐标；如果不存在，请说明理由16. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A0,3，B1,0，其对称轴为直线 l:x=2，过点 A 作 ACx 轴交抛物线于点
14、 C，AOB 的平分线交线段 AC 于点 E，点 P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为 m(1) 求抛物线的解析式；(2) 若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上，连接 PE，PO，当 m 为何值时，四边形 AOPE 面积最大，并求出其最大值；(3) 如图，F 是抛物线的对称轴 l 上的一点，在抛物线上是否存在点 P 使 POF 成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由17. 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A，B 两点，顶点为 D0,4，AB=42，设点 Fm,
15、0 是 x 轴的正半轴上一点，将抛物线 C 绕点 F 旋转 180，得到新的抛物线 C(1) 求抛物线 C 的函数表达式；(2) 若抛物线 C 与抛物线 C 在 y 轴的右侧有两个不同的公共点，求 m 的取值范围；(3) 如图 2，P 是第一象限内抛物线 C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 P 在抛物线 C 上的对应点为 P，设 M 是 C 上的动点，N 是 C 上的动点，试探究四边形 PMPN 能否成为正方形，若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由18. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B4,0，C8,0，D8,8抛物线的解析式为 y=ax2+bx(1) 如图
16、 1，若抛物线经过 A，D 两点，直接写出 A 点的坐标 ；抛物线的对称轴为直线 ；(2) 如图 2：若抛物线经过 A，C 两点，求抛物线的表达式若点 P 为线段 AB 上一动点，过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E，过点 E 作 EFAD 于点 F 交抛物线于点 G当线段 EG 最长时，求点 E 的坐标；(3) 若 a=1，且抛物线与矩形 ABCD 没有公共点，直接写出 b 的取值范围19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+ca0 与 y 轴交于点 C0,3，与 x 轴交于 A，B 两点，点 B 坐标为 4,0，抛物线的对称轴方程为 x=1(1) 求抛物线的解析式；
17、(2) 点 M 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 N 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设 MBN 的面积为 S，点 M 运动时间为 t，试求 S 与 t 的函数关系，并求 S 的最大值；(3) 在点 M 运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 MBN 为直角三角形？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由20. 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=18x2+14x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴交于点 C，过点
18、C 作 x 轴的平行线交抛物线于点 P连接 AC(1) 求点 P 的坐标及直线 AC 的解析式；(2) 如图 2，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 E，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OF，旋转角为 090，连接 FA，FC求 AF+23CF 的最小值；(3) 如图 3，点 M 为线段 OA 上一点，以 OM 为边在第一象限内作正方形 OMNG，当正方形 OMNG 的顶点 N 恰好落在线段 AC 上时，将正方形 OMNG 沿 x 轴向右平移，记平移中的正方形 OMNG 为正方形 OMNG，当点 M 与点 A 重合时停止平移设平移的距离为 t，正方形 OMNG 的边 MN 与 AC 交
19、于点 R，连接 OP，OR，PR，是否存在 t 的值，使 OPR 为直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由答案1. 【答案】(1) 对称轴为 x=1 点 D2,m 在抛物线上，即 m=22+4+3=3 点 D 的坐标为 2,3(2) 令 y=0，即 x2+2x+3=0，解得 x1=3，x2=1 点 A1,0设 AD 直线解析式为：y=kx+bk0，由 A1,0，D2,3 得 AD 的表达式为：y=x+1作 PRy 轴，交 AD 于点 R，作 DFx 轴，垂足为 F，设 Px,x2+2x+3，则 Rx,x+1， PR=x2+2x+3x+1=x2+x+2， PQRFAD， PQA
20、F=PRDF，而 AF=3，DF=3， PQ3=x2+x+23， PQ=x2+x+2=x122+94， PQ 的最大值为 94(3) MHNP 是平行四边形，有两种情况如图 2 MHPN，只须 MH=PN， N1,2，P1,4， PN=2，设点 M 的坐标是 m,m+1，则点 H 的坐标是 m,m2+2m+3 MH=m+1m2+2m+3=m2m4=0，解得 m=1172，经检验适合题意此时 M11+172,3+172，M21172,31722. 【答案】(1) 将点 A1,0，C0,3 代入 y=x2+bx+c，得 1+b+c=0,c=3, 解得 b=4,c=3. 二次函数的表达式为 y=x2
21、4x+3(2) 令 x24x+3=0，解得 x1=1，x2=3 . 点 B3,0，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，将点 B3,0，C0,3 代入，得 3k+b=0,b=3, 解得 k=1,b=3, 直线 BC 的解析式为 y=x+3根据题意，得点 Mm,m24m+3，Nm,m+3，且 0m3 MN=m+3m24m+3=m2+3m=m322+94 12， x=6+233， M 点坐标为 6+233,2；在 y=34x2+3x 中，令 y=2 可得 2=34x2+3x，解得 x=62153， 点 M 在抛物线对称轴右侧， x2， x=6+2153， M 点坐标为 6+2153,2；当 AF
22、 为平行四边形的对角线时， A4,0，F2,2， 线段 AF 的中点为 3,1，即平行四边形的对称中心为 3,1，设 Mt,34t2+3t，Nx,0，则 34t2+3t=2，解得 t=6233， 点 M 在抛物线对称轴右侧， x2， t2， t=6+233， M 点坐标为 6+233,2综上可知存在满足条件的点 M，其坐标为 6+233,2 或 6+2153,24. 【答案】(1) 直线 y=33x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，令 x=0，则 y=3；令 y=0，则 x=3，则点 A，B 的坐标分别为：3,0，0,3 点 F 是点 B 关于 x 轴的对称点， 点 F0,3，
23、 抛物线 y=33x2+bx+c 经过点 A 和点 F，则 c=3，将点 A3,0 代入抛物线表达式得：0=3332+b33，解得：b=233，故抛物线的表达式为：y=33x2+233x3， b=233，c=3(2) 过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H设点 Px,33x2+233x3，则点 Hx,33x+3，则 PAB 的面积： S=12xPxAPH+12xBxpPH=12PHAO=3233x+333x2233x+3=3233x233x+23. 当 x=33332=12 时， S=3233143312+23=2538，且 33x2+233x3=534， S 的最大值为 2538，此
24、时点 P12,534，设：P 到直线 AC 的最大距离为 d，AB=23， S=12ABd=2538，解得：d=258(3) 点 Q 的坐标为：1312,534 或 32,534 或 1+312,534 或 52,1134 或 52,7312【解析】(3) 存在，理由：点 A3,0，点 P12,534，设点 Qm,n，n=33m2+233m3当点 D 在 x 轴上时，若存在以 A，P，D，Q 为顶点且 AP 为边的平行四边形时，如图，三种情形都可以构成平行四边形，由于平行四边形的对称性可得图中点 Q 到 x 轴的距离和点 P 到 x 轴的距离相等， n=534，即 33m2+233m3=534
25、，解得：m=12舍去或32或1312；当点 D 在 y 轴上时，如图：当点 Q 在 y 轴右侧时，由平行四边形的性质可得：xDxA=xQxP=3， m12=3， m=52，代入二次函数表达式得：y=1134，当点 Q 在 y 轴左侧时，由平行四边形的性质可得：xQxA=xDxP=12， m3=12， m=52，代入二次函数表达式得：y=7312故点 Q52,1134或52,7312故点 Q 的坐标为：1312,534 或 32,534 或 1+312,534 或 52,1134 或 52,73125. 【答案】(1) 抛物线 y=x12+n 与 y 轴交于点 C0,3， 3=012+n， m=
26、4， 抛物线的解析式为 y=x124， 抛物线的对称轴为直线 x=1 点 D 与 C 关于抛物线的对称轴对称， 点 D 的坐标为 2,3(2) 当 y=0 时，x124=0，解得：x1=1，x2=3， 点 A 的坐标为 1,0，点 B 的坐标为 3,0，AB=31=4设点 P 的坐标为 a,b， ABP 的面积是 8， 12ABb=8，即 12b=8， b=4当 b=4 时，a124=4，解得：a1=122 a2=1+22， 点 P 的坐标为 122,4 或 1+22,4；当 b=4 时，a124=4，解得：a3=a4=1， 点 P 的坐标为 1,4 当 ABP 的面积是 8，点 P 的坐标为
27、 122,4 或 1+22,4 或 1,4(3) 设直线 AD 的解析式为 y=kx+ck0，将 A1,0，D2,3 代入 y=kx+c，得：k+c=0,2k+c=3, 解得：k=1,c=1. 直线 AD 的解析式为 y=x1 点 M 的横坐标是 m1m2， 点 M 的坐标为 m,m124，点 N 的坐标为 m,m1， MN=m1m124=m2+m+21m2 S=SAMN+SDMN=12MNm+1+12MN2m=32mn=32m2+32m+31m2 MN=m2+m+2=m122+94，10 时，OQOB， 当 BOQ 为等腰三角形时，有 OB=QB 或 OQ=BQ 两种情况，由题意可知 OM=
28、2t， Q2t,2t+3， OQ=2t2+2t+32=8t212t+9， BQ=2t32+2t+32=22t3，又由题意可知 0t1，当 OB=QB 时，则有 22t3=3，解得 t=6+324（舍去）或 t=6324；当 OQ=BQ 时，则有 8t212t+9=22t3，解得 t=34综上可知当 t 的值为 6324 或 34 时，BOQ 为等腰三角形12. 【答案】(1) A1,0，C3,0， AC=4，抛物线对称轴为 x=1+32=1， BD 是抛物线的对称轴， D1,0， 由抛物线的对称性可知 BD 垂直平分 AC， BA=BC，又 ABC=90， BD=12AC=2， 顶点 B 坐标为 1,2，设抛物线的解析式为 y=ax12+2，将 A1,0 代入，得 0=4a+2，解得，a=12， 抛物线的解析式为：y=12x12+2=12x2+x+32；(2) 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，将 A1,0，B1,2 代入，得，k+b=0,k+b=2, 解得，k=1，b=1， yAB=x+1，当 x=0 时，y=1， E0,1， 点 P 的横坐标为 m， 点 P 的纵坐标为 12m2