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1、名师推荐精心整理学习必备专升本高等数学公式（全）常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqnn1312112)1(32111112级数审敛法：散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收
2、敛与条件收敛：时收敛时发散级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -名师推荐精心整理学习必备幂级数：0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数
3、轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于级数时，发散时，收敛于函数展开成幂级数：nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin)11(!)1()1(!2)1(1)1(121532xnxxxxxxxnnmmmxmmm xxnnnm可降阶的高阶微分方程类型一：()()nyf x解
4、法（多次积分法）：(1)()()nduuyf xf xdx令多次积分求类型二：(,)yf x y解法：(,)dppyf x pdx令一阶微分方程类型三：(,)yf y y名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -名师推荐精心整理学习必备解法：(,)dpdp dydppypf y pdxdy dxdy令类型二类型四：)()(xQyxpy若 Q(X)等于 0，则通解为dxxpCey)(（一阶齐次线性）。若不等于0，通解cdxexQeydxxpdxxp)()()(（一阶齐次非线性）。一阶齐次非线性方程的通解是对应齐次方程的通解与它的一个特解之和。三、线性微分方程类型一
5、：()()0yP x yQ x y（二阶线性齐次微分方程）解法：找出方程的两个任意线性不相关特解：12(),()y xyx则：1122()()()y xc y xc yx类型二：()()()yP x yQ x yf x（二阶线性非齐次微分方程）解法：先找出对应的齐次微分方程的通解：31122()()()yxc y xc yx再找出非齐次方程的任意特解()pyx，则：1122()()()()py xyxc y xc yx类型三：0ypyq（二阶线性常系数齐次微分方程）解法（特征方程法）：221,2402ppqpq（一）122121240 xxpqyc ec e（二）12120()xycc x e
6、（三）12120,(cossin)xiiyecxcx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -名师推荐精心整理学习必备导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限：axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxd
7、xxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -名师推
8、荐精心整理学习必备和差角公式：和差化积公式：2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(xxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284.2)11(lim1sinlim0exxxxxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5
9、 页，共 10 页 -名师推荐精心整理学习必备倍角公式：半角公式：cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos122cos12cos2cos12sinctgtg正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin余弦定理：Cabbaccos2222反三角函数性质：arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(：空间解析几何和向量代数23333133cos3cos43cossin
10、4sin33sintgtgtgtg222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -名师推荐精心整理学习必备。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间,cos)(.sin,cos,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababa
11、babababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxD
12、CzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA多元函数微分法及应用名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -名师推荐精心整理学习必备zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),
13、(),(),(22微分法在几何上的应用：),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：
14、，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -名师推荐精心整理学习必备上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(多元函数的极值及其求法：不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设
15、,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000ACBACByxAyxAACBCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx柱面坐标和球面坐标：曲线积分：)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -名师推荐精心整理学习必备。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。
16、注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0,0(),(),(21212,)()()coscos()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -