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1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料泛函分析单元知识总结与知识应用数学与计算科学学院数学与应用数学一、单元知识总结第七章、度量空间和赋范线性空间1 度量空间1.1 定义：若X是一个非空集合，:dXXR是满足下面条件的实值函数，对于,x yX，有（1）(,)0d x y当且仅当xy；（2）(,)(,)d x yd y x；（3）(,)(,)(,)d x yd x zd y z，则称d为X上的度量，称(,)X d为度量空间。例：1、设X是一个非空集合，,x yX，当1,(,)0,=xyd x yx y当当，则(,)X d为离散的度量空间。2、序列空间S，i=1i|-|1(,)2 1+|-|iiii
2、d x y是度量空间3、有界函数全体()B A，(,)sup|(t)-(t)|tAd x yxy是度量空间4、连续函数a,bC，(,)max|(t)-(t)|a t bd x yxy是度量空间5、空间2l，122=1(,)(-)kkid x yy x是度量空间2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间2.1 收敛点列：设nx是(,)X d中点列，如果xX，使nl i m(,)=0ndx x，则称点列nx是(,)X d中的收敛点列。例：1、nnxR，nx按欧氏距离收敛于x的充要条件为1,in各点列依分量收敛。2、a,bC中(,)0kd x yxx（一致）3、可测函数空间()M X中点列(,)0nnd
3、 ffff（依测度）3 连续映射名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料3.1 对0Tx的每个领域U，必有0 x的某个领域V是TVU,其中TV表示V在映射T作用下的像。3.2 定理 1 设T是度量空间(,)X d到度量空间(,)d Y d中的映射，那么T 在0 xX连 续 的 充 要 条 件 为 当0()nxx n时，必 有0T()nxT xn定理 2 度量空间X到Y中映射T是X上连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像-1T M是X中的开集。4 柯西点列和完备度量空间4.1 定义：设(,)XX d是度量空间，nx是 X中点列
4、，如果对0，正整数()NN,使当,n mN时，必有(,)nmd xx，则称nx是X 中的柯西点列，如果度量空间(,)X d中每个点列都在(,)X d中收敛，那么称(,)X d是完备的度量空间。例：1、a,bC是完备度量空间 2、2l是完备度量空间3、nR是完备的度量空间注意：1、Q全体按绝对值距离构成的空间不完备2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列3、实系数多项式全体,P a b，,P a b作为a,bC的子空间不是完备度量空间4.2 定理 1 完备度量空间 X的子空间 M是完备空间的充要条件是M为 X中的闭子空间。（即完备性关于闭子空间具有可遗传性）5 度量空间的
5、完备化5.1 定理 1（度量空间的完备化定理）设(,)XX d是度量空间，那么一定存在一完备度量空间(,)XX d，使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同构意义下是唯一的，即若(,)X d也是一万倍度量空间，且 X 与X的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料某个稠密空间等距同构，则(,)X d与(,)X d等距同构。定 理1设(,)XX d是 度 量 空 间，那 么 存 在 唯 一 的 完 备 空 间(,)XX d，使X为X的稠密子空间。6 压缩映射原理及其应用6.1 定义：设X是度量空间，T是X到X中的映射，
6、如果,01，.st,x yX，(,)(,)d Tx Tyd x y，则称T是压缩映射。6.2 定理 1（压缩映射定理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程Txx，有且只有一个解）。定 理2（隐 函 数 存 在 定 理）设 函 数(,)f x y在 带 状 域,axby中处处连续，且处处有关于y的偏导数(,)yfx y。如 果常 数m和M，满 足0(,),ymfx yM mM，则 方 程(,)0fx y在 区 间,a b上 必 有 唯 一 的 连 续 函 数()yx作 为 解：(,()0,f xxxa b7 线性空间7.1 定义：设X是一非空集合，在X
7、中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）xX，均有1xx，满足这样性质的集合X称为线性空间。例：1、nR按自身定义的加法和数乘成线性空间2、a,bC按自身定义的加法和数乘成线性空间3、空间(0)plp按自身定义的加法和数乘成线性空间8 赋范线性空间和巴拿赫空间8.1 定义：设X是实（或复）的线性空间，如果对xX，都有确定的一个实数，记为x与之对应，并且满足：1o0 x，且0 x等价于0 x；（非负性）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第
8、3 页，共 6 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2o|xx其中为任意实（复）数；3o,xyxyx yX，（三角不等式）则称x为向量x的范数，称X按范数x成为赋范线性空间注意：1、任意赋范线性空间都是度量空间 2、赋范线性空间是一种特殊的度量空间 3、x是x的连续函数8.2 重要结论：1、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。2、任何有限维赋范线性空间都同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。（即拓扑同构范数等价）例：1、nR按范数221|.|nx成巴拿赫空间2、空间a,bC按范数max|()|at bxx t成巴拿赫空间8.3 定理 2 ,(1)pLa bp按范
9、数1(|()|)bpppaff tdt成巴拿赫空间总而言之，赋范线性空间是一种特殊的度量空间，当它完备时称之为巴拿赫空间。第八章 有界线性算子和连续线性泛函1 有界线性算子和线性泛函的定义1.1 定义：设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间，D是X的线性子空间，T为D到Y中 的 映 射，如 果 对,x yD及 数，有()T xyTxTy，()TxTx，则称T为D到Y中的线性算子，其D称为T的定义域，记为()D T，TD称为T的值域，记为()R T，当T取值于实（或复）数域时，就称T为实（或复）线性泛函。例：相似算子、微分算子、乘法算子、积分算子都是线性算子注意：n 维线性空间上线性泛函与向量相
10、对应。定义：T为赋范线性空间X的子空间()D T到赋范线性空间Y中的线性算子，称0()supxx D TTxTx为算子T在()D T上的范数。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料1.2 定理 1 设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充分必要条件是T为X上的连续算子。这一定理说明，对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。定理 2 设X是赋范线性空间，f是X上线性泛函，那么f是X上连续泛函的充要条件为f的零空间()N f是X中的闭子空间。注意：1、若T有界T2、TTxTx3、若T有界TxTx2
11、有界线性算子空间和共轭空间2.1 定义：设X是赋范线性空间，令X表示X上连续线性泛函全体所成的空间，称为X的共轭空间。2.2 定理 1 当Y是巴拿赫空间时，()B XY也是巴拿赫空间定理 2 任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间例：1、1l的共轭空间为l有界序列全体，即1()ll，但1()ll2、,nxX xX且,nxxfX则()(),nf xf x其中f连续3、设(),()AB ZY BB XZ，令()()AB xA Bx，xX，则AB为线性算子4、(1)plp的共轭空间为ql，其中111pq，()qpll，当2p时，22()ll二、列举泛函分析中的某个知识点在其他学科中的应用1、Banach不动点原理的应用名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料 a.不动点原理在证明数值分析中的迭代法不动点原理的应用迭代法不动点不动点原理：设映射名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -