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1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料极值点偏移问题专题（0）偏移新花样（拐点偏移）例 1 已知函数22lnfxxxx，若正实数1x，2x满足12+=4fxfx，求证:122xx。证明：注意到1=2f，12+=21fxfxf12+=21fxfxf2=+210fxxx22=2fxx，1=0f，则（1,2）是fx图像的拐点，若拐点（1,2）也是fx的对称中心，则有12=2xx，证明122xx则说明拐点发生了偏移，作图如下想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理不妨设1201xx，要证1221212212xxxxfxfx111142
2、42fxfxfxfx2F xfxfx，0,1x，则222212 212Fxfxfxxxxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料14 1102xxx，得F x在0,1上单增，有1214F xF，得证。2、极值点偏移PK 拐点偏移常规套路1、极值点偏移（00fx）二次函数121202fxfxxxx2、拐点偏移00fx12012022fxfxfxxxx极值点偏移问题专题（1）对称化构造（常规套路）例 1（2010 天津）已知函数exfxx（1）求函数fx的单调区间和极值；（2）已知函数g x的图像与fx的图像关于直线1x对称，证
3、明：当1x时，1220112022fxfxxxxxxx120201120222fxfxfxxxxxxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料fxg x；（3）如果12xx，且12fxfx，证明：122xx点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法对称化构造的全过程，直观展示如下：例 1 是这样一个极值点偏移问题：对于函数exfxx，已知12fxfx，12xx，证明122xx再次审视解题过程，发现以下三个关键点：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -学习资料收集
4、于网络，仅供参考学习资料（1）1x，2x的范围1201xx；（2）不等式21fxfxx；（3）将2x代入（2）中不等式，结合fx的单调性获证结论把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题例 2（2016 新课标卷）已知函数22 e1xfxxa x有两个零点（1）求a的取值范围；（2）设1x，2x是fx的两个零点，证明：122xx解：（1）0,，过程略；（2）由（1）知fx在,1上，在1,上，由120fxfx，可设121xx构造辅助函数2F xfxfx2221e21e21eexxxxFxfxfxxaxax当1x时，10 x，2ee0 xx，则0Fx，得F x在,1上，又10F，故01F
5、xx，即21fxfxx将1x代入上述不等式中得1212fxfxfx，又21x，121x，fx在名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料1,上，故112xx，122xx通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解但极值点偏移问题的结论不一定总是1202xxx，也可以是2120 x xx，借鉴前面的解题经验，我们就可给出类似的过程例 3已知函数lnfxxx的图像与直线ym交于不同的两点11,A x y，22,B xy，求证：1221ex x证明：（i）ln1fxx，得fx在10,e上，在1,e上；当01x
6、时，0fx；10f；当1x时，0fx；当0 x时，0fx（洛必达法则）；当x时，fx，于是fx的图像如下，得12101exx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步：step1：求导，获得fx的单调性，极值情况，作出fx的图像，由12fxfx得1x，2x的取值范围（数形结合）；step2：构造辅助函数（对结论1202xxx，构造02F xfxfxx；对结论2120 x xx，构造20 xF xfxfx），求导，限定范围（1x或2x的范围），判定符号，获得不等式；step3：代入1x（或2x），利用12fxfx及fx的单调性证明最终结论名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -