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1、可测函数与连续函数【摘要】本文从是什么，为什么，怎么样三个角度出发，首先介绍了一些相关的基本概念，之后叙述了将可测函数与连续函数联系起来的必要性和实际方法。【关键词】可测函数连续函数几乎处处逼近1.是什么什么是可测函数第三章主要围绕可测函数展开，那么本文首先对可测函数进行一个简单的概述，同时对之后证明是需要用到的一些定义和引理进行描述。1.1 基本定义可测函数：设f(x)是定义在可测集E a 都是可测集,则称f(x)为定义在E上的可测函数连续函数：设f(x)是定义在集U(x)E a E上的有限函数,如果对 P 0,v 5 0,使得 P x(x0;5),有|f(x)-f(x0)|,那么称函数f(
2、x)在点x0 处连续.如果f(x)在E中每一点都连续,则称f(x)在E上连续.几乎处处：给定一个可测集E，假如存在 E的一个子集，且使得性质 P 在上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。几乎处处有限的可测函数：设，是定义于的函数，假如则称沿在连续；假如沿内任意一点都连续，则称沿连续。1.2 基本定理定理3.3.1 设是一个紧集，是一列沿连续的函数。若在上一致收敛于，则也沿连续。定理3.3.2（Egoroff）设和都是测度有限的集上的几乎处处有限的可测函数。若在上几乎处处收敛于，则对任何，有的闭子集，使，并且在上一致收敛于。引理 3.3.1设是中的闭集，函数沿连续，则可以开拓成上的连续函数，
3、并且=。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -引理3.3.2设是可测集上的简单函数。则对任何，有沿连续的函数使。2.为什么为什么把可测函数与连续函数联系起来数学分析中，我们关注的是函数的分析性质：连续性，可微性，可积性。但是一旦我们发现一个函数不连续，就认为这个函数性质不好，不再关心他。这是不对的。事实上，我们可以进一步分析，它的光滑程度如何？不连续点多吗？如果可以，我们可以对函数做一个小范围的修正，转化为我们熟悉的连续函数再进行接下来的研究。第三章学习的重点是简单函数，连续函数，可测函数之间的相互逼近，我们知道，任何一个可测函数正恰是一列简单函数逐点收敛的极
4、限，也是一列连续函数几乎处处收敛的极限。通过这样的逼近推广，就可以将基于可测函数的问题一般化常规化。因此，本文的重点在如何将可测函数与连续函数完美的联系起来，为以后通过连续函数来分析可测函数做一个铺垫。3.怎么样详细论证联系的过程3.1 连续函数的可测性定理1可测集上的连续函数都是可测函数。证明:对任意，设，则由连续性假设，存在x的某邻域，使。因此，令，则：反之，显然有，因此：从而：但 G是开集（因为它是一族开集这并），而E 为可测集，故其交仍为可测集，即为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。但可测函数不一定连续例例：可测函数Dirichlit函数在上处处间断名师资料总结-精品资料欢迎下载-
5、名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -3.2 用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性引理 1：设 F 是 R中的闭集，函数f 没 F 连续，则f 可以开拓成R的连续函数，并且：证明：此时是开集，其中开区间族两两不相交。今定义若线性若且有界若其中若其中则显然是 R上的连续函数，它是f 的开拓。引理得证。引理 2：设是可测集上的简单函数。则对任何，有没的连续的函数使证明：不妨设,其中都是实数且两两不同。令,则两两不相交且.现对每一，令是的闭子集且此时易知沿闭集连续。由引理1，作为上的函数可以开拓成沿连续的函数，此时引理证毕。定理 1（Lusin）设 为可测集上几乎处处有限的可测函数，则对任意的
6、，有沿连续的函数使，并且。（去掉一个小测度集，在留下的集合上连续）证明：不失一般性设在上处处有限。先设是有限可测集。由定理 2.3，有上的简单函数列,使。现对每一,由引理 2.2，存在沿连续的函数，使，令名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -,则并且在上。由于有界,所以存在的有界闭子集,使得在上一致收敛于并且。再由定理2.2，沿连续.这样由引理2.1，作为上的函数可以开拓成沿连续的函数。此时。这样我们在有界的条件下证明了定理。对一般的，此时对每一整数，令，则都是有界的。从而由上段证明，对每一，存在的闭子集,使沿连续，并且，此时是闭集，并且沿连续。由引理 2.1
7、，作为上的函数可以开拓成上的连续的函数，并且。定理证毕。推论若是上几乎处处有限的可测函数，则对任何，有上连续函数，使，并且。定理 2 设为可测集，为上的实函数，如果对任何，存在闭集，使 在上连续，且，则为上可测。定理 3 设为上的可测集，是上几乎处处有限的可测函数，则对任何，存在闭集，及上的连续函数，使(1)在上。(2)。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -如果在 E上，还可要求.证明：由定理1，有闭集，使，而是上的连续函数，因此问题在于扩张上的，使其在整个空间上连续。是有界闭集，因此是从一闭区间中去掉有限个或可数多个互不相交的开区间而成，设这些开区间是，现在我们定义一个函数，使当或时当时此外，当时，令的图形是联，的直线，当及时，分别联,及,的直线，于是是整个直线上的连续函数，且满足定理的各项要求。【参考文献】周性伟.实变函数.北京：科学出版社，2010 戴培良.可测函数与连续函数的关系.常熟理工学院学报，2008 年 2 月第 22 卷第 2 期名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -