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1、勾股定理的证明【证法 1】 （课本的证明）做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等 . 即abcabba214214222， 整理得222cba. 【证法 2】 （邹元治证明）以 a、b 为直角边， 以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B三点在一条直线上， B、F、C三点在一条直线上， C、G 、D三点在一条直线上 . Rt HAE Rt
2、 EBF, AHE = BEF . AEH + AHE = 90o, AEH + BEF = 90o. HEF = 180o90o= 90o. 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形 . 它的面积等于 c2. Rt GDH Rt HAE, HGD = EHA . HGD + GHD = 90o, EHA + GHD = 90o. 又 GHE = 90o, DHA = 90o+ 90o= 180o. ABCD是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于2ba. 22214cabba. 222cba.【证法 3】 （赵爽证明）以 a、b 为直角边（ ba） ， 以 c 为斜边作四个全等的
3、直角三角形，则每个直角DGCFAHEBabcabcabcabcbabababacbacbacbacbacbacbabacGDACBFEH名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - ababccABCDE三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状 . Rt DAH Rt ABE, HDA = EAB . HAD + HAD = 90o， EAB + HAD = 90o， ABCD是一个边长为 c 的正方形，
4、它的面积等于c2. EF = FG =GH =HE = b a , HEF = 90o. EFGH是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于2ab. 22214cabab.222cba.【证法 4】 （1876 年美国总统 Garfield证明）以 a、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B 三点在一条直线上 . Rt EAD Rt CBE, ADE = BEC . AED + ADE = 90o, AED + BEC = 90o. DEC = 180o90o= 90o. DEC 是一个等腰直角三
5、角形，它的面积等于221c. 又 DAE = 90o, EBC = 90o, ADBC . ABCD是一个直角梯形，它的面积等于221ba.222121221cabba.222cba.【证法 5】 （梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F 在一条直线上 . 过 C作 AC的延长线交 DF于点 P. D、E、F 在一条直线上 , 且 RtGEF Rt EBD, EGF = BED ， EGF + GEF = 90，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
6、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - PHGFEDCBAabcabcabcabccccbacbaABCEFPQMN BED + GEF = 90， BEG =180 o90o= 90o. 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一个边长为 c 的正方形 . ABC + CBE = 90o. Rt ABC Rt EBD, ABC = EBD . EBD + CBE = 90o. 即CBD= 90 o.又 BDE = 90o，BCP = 90o，BC = BD = a . BDPC是一个边长
7、为 a 的正方形 . 同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形 . 设多边形 GHCBE 的面积为 S，则,21222abSbaabSc2122, 222cba.【证法 6】 （项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. 再做一个边长为 c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点 Q作 QP BC ，交 AC于点 P. 过点 B作 BM PQ ，垂足为 M ；再过点F作 FN PQ ，垂足为 N . BCA = 90o，QP BC ， MPC = 90o， BM PQ ， BMP = 90o， BCPM
8、 是一个矩形，即 MBC = 90o. QBM + MBA = QBA = 90o，ABC + MBA = MBC = 90o， QBM = ABC ，又 BMP = 90o，BCA = 90o，BQ = BA = c ， Rt BMQ Rt BCA . 同理可证 RtQNF Rt AEF . 从而将问题转化为【证法4】 （梅文鼎证明） . 【证法 7】 （欧几里得证明）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 做三个边长
9、分别为a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B 三点在一条直线上，连结BF、CD . 过 C作 CL DE ，交 AB于点 M ，交 DE于点L. AF = AC ，AB = AD，FAB = GAD ， FAB GAD ， FAB的面积等于221a，GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 =2a. 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b. 正方形 ADEB 的面积= 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积222bac，即222cba. 【证法 8】 （利用相似三角形性质证明）如图，在 RtABC中，设直角边AC 、BC的长度分别
10、为 a、b，斜边 AB的长为 c，过点 C作 CD AB ，垂足是 D . 在ADC 和ACB中， ADC = ACB = 90o，CAD = BAC ，ADC ACB . AD AC = AC AB，即ABADAC2. 同理可证， CDB ACB ，从而有ABBDBC2. 222ABABDBADBCAC，即222cba. 【证法 9】 （杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为 c. 再做一个边长为c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形. 过 A 作 AF AC ，AF交 GT于 F，AF交 DT于 R . 过 B作 BPAF，垂足为 P
11、. 过 D作 DE与 CB的延长线垂直，垂足为E，DE交 AF于 H . BAD = 90o，PAC = 90o， DAH = BAC .又 DHA = 90o，BCA = 90o，AD = AB = c ， Rt DHA Rt BCA . DH = BC = a ，AH = AC = b . ABDCacb987654321PQRTHGFEDCBAabcabccccbacbaABCDEFGHMLK名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - -
12、 - - - - 由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt APB Rt BCA . 即 PB = CA = b ，AP= a，从而 PH = b a. Rt DGT Rt BCA , RtDHA Rt BCA . Rt DGT Rt DHA . DH = DG = a ，GDT = HDA .又 DGT = 90o，DHF = 90o，GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90o， DGFH是一个边长为 a 的正方形 . GF = FH = a . TFAF ，TF = GTGF = ba . TFPB是一个直角梯形，上底TF=b a，下底 BP= b，高 FP=a
13、 +（ba）.用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为543212SSSSScabaabbSSS21438 = abb212，985SSS，824321SabbSS= 812SSb.把代入，得98812212SSSSbSSc= 922SSb = 22ab. 222cba. 【证法 10】 （李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、 b （ba） ， 斜边的长为 c. 做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上 . 用数字表示面积的编号（如图） . TBE = ABH = 90o， TBH = ABE . 又 BTH =
14、 BEA = 90o，BT = BE = b ， Rt HBT Rt ABE . HT = AE = a . GH = GTHT = b a. 又 GHF + BHT = 90o，DBC + BHT = TBH + BHT = 90o， GHF = DBC . DB = EBED = ba，MHQRTGFEDCBAcba87654321名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - HGF = BDC = 90o， Rt HGF
15、 Rt BDC . 即27SS. 过 Q作 QM AG ，垂足是 M . 由BAQ = BEA = 90o，可知 ABE = QAM ，而 AB = AQ = c ，所以 RtABE Rt QAM . 又 RtHBT RtABE . 所以 RtHBT Rt QAM . 即58SS. 由 RtABE Rt QAM ，又得 QM = AE = a ，AQM = BAE . AQM + FQM = 90o，BAE + CAR = 90o，AQM = BAE ， FQM = CAR . 又QMF = ARC = 90o，QM = AR = a， Rt QMF Rt ARC . 即64SS. 54321
16、2SSSSSc，612SSa，8732SSSb，又27SS，58SS，64SS，8736122SSSSSba=52341SSSSS=2c，即222cba.【证法 11】 （利用切割线定理证明）在 RtABC中，设直角边 BC = a ，AC = b，斜边 AB = c . 如图，以 B为圆心 a 为半径作圆，交 AB及 AB的延长线分别于D、E，则 BD = BE = BC = a . 因为BCA = 90o，点 C在B上，所以 AC是B 的切线. 由切割线定理，得ADAEAC2=BDABBEAB=acac= 22ac，即22acb，222cba.【证法 12】 （利用多列米定理证明）在 Rt
17、ABC中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c（如图） .过点 A作 AD CB ，过点 B作 BD CA ，则 ACBD 为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆 . 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BDACBCADDCAB， AB = DC = c ，AD = BC = a ，AC = BD = b ，222ACBCAB，即222bac，abaaBACEDcbacabcACBD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共
18、 9 页 - - - - - - - - - 222cba.【证法 13】 （作直角三角形的内切圆证明）在 RtABC中，设直角边 BC = a ，AC = b，斜边 AB = c . 作 RtABC的内切圆 O ，切点分别为 D、E、F（如图） ，设 O的半径为 r. AE = AF ，BF = BD，CD = CE ，BFAFCDBDCEAEABBCAC= CDCE= r + r = 2r, 即rcba2，crba2. 222crba，即222242crcrabba，abSABC21，ABCSab42，又AOCBOCAOBABCSSSS = brarcr212121 = rcba21= r
19、ccr221 = rcr2，ABCSrcr442，abrcr242，22222cababba，222cba. 【证法 14】 （利用反证法证明）如图，在 RtABC中，设直角边AC 、BC的长度分别为 a、b，斜边 AB的长为 c，过点 C作 CD AB ，垂足是 D . 假设222cba，即假设222ABBCAC，则由ABABAB2=BDADAB=BDABADAB可知ADABAC2，或者BDABBC2. 即 AD：AC AC ：AB ，或者 BD：BC BC ：AB .在ADC 和ACB中， A = A， 若 AD：AC AC ：AB，则ADC ACB . 在CDB 和ACB中， B = B
20、， 若 BD ：BC BC ：AB ，则CDB ACB . 又 ACB = 90o， ADC 90o，CDB 90o. cbarrrOFEDCBAABDCacb名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 这与作法 CD AB矛盾. 所以，222ABBCAC的假设不能成立 . 222cba. 【证法 15】 （辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、 b， 斜边的长为 c. 作边长是 a+b的正方形 ABCD . 把 正
21、 方 形ABCD划 分 成 上 方 左 图 所 示 的 几 个 部 分 ， 则 正 方 形ABCD的 面 积 为abbaba2222；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为22214cabba =22cab. 22222cababba, 222cba. 【证法 16】 （陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、 b （ba） ， 斜边的长为 c. 做两个边长分别为a、b 的正方形（ ba） ，把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上 . 用数字表示面积的编号（如图） . 在 EH = b 上截取 ED = a，连结 DA 、DC ，则 AD
22、 = c . EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EMED = aba = b . 又 CMD = 90 o，CM = a，AED = 90o， AE = b ， Rt AED Rt DMC . EAD = MDC ，DC = AD = c . ADE + ADC+ MDC =180 o，ADE + MDC = ADE + EAD = 90o， ADC = 90o. 作 AB DC ，CB DA ，则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形 . BAF + FAD = DAE + FAD = 90o， BAF= DAE . ab21ab21ab21ab212c
23、2b2aAADDBBCCbababababaccccbaababbabaABCDEFGHMabcabcacabc1234567名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 连结 FB，在ABF和ADE中， AB =AD = c ，AE = AF = b ，BAF= DAE ， ABF ADE . AFB = AED = 90o，BF = DE = a . 点 B、F、G 、H在一条直线上 . 在 RtABF和 RtBCG 中， AB = BC = c ，BF = CG = a ， Rt ABF Rt BCG . 54322SSSSc，6212SSSb，732SSa，76451SSSSS，6217322SSSSSba=76132SSSSS=5432SSSS=2c222cba. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -