《2022年勾股定理的无字证明_勾股定理16种证明方法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年勾股定理的无字证明_勾股定理16种证明方法.docx（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品学习资源勾股定理地证明【证法 1】（课本地证明）abba欢迎下载精品学习资源a acabb cba acb cb bc欢迎下载精品学习资源做 8 个全等地直角三角形，设它们地两条直角边长分别为a、b，斜边长为 c ，再做三个边长分别为 a、 b、c 地正方形，把c它们像上图那样拼成a两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形地边长都是a + b ，所以面积相等 . 即欢迎下载精品学习资源a 2b 241a abc 224 b1 ab 2， 整理得a 2b 2abc 2 .欢迎下载精品学习资源【证法 2】（邹元治证明）以 a、 b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等地直角三角形，就每个直角三角
2、形地面积等于点在一条直线上 .1 ab2. 把这四个直角三角形拼成如下列图外形，使A、 E、B 三点在一条直线上， B、F、 C三点在一条直线上， C、G、D 三欢迎下载精品学习资源 Rt HAE Rt EBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90o, AEH + BEF = 90o. HEF = 180o90o= 90o. 四边形 EFGH是一个边长为 c 地正方形 . 它地面积等于 c2. Rt GDH Rt HAE, HGD =EHA.DbGaCa cbcHFb cca欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 HGD +GHD = 90o, EHA + GHD = 90o
3、.又 GHE = 90o, DHA = 90o+ 90o= 180o. ABCD是一个边长为 a + b 地正方形，它地面积等于2ab.AaEbB欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2ab41 ab22c. a 2b 2c 2 .欢迎下载精品学习资源【证法 3】（赵爽证明）以 a、b 为直角边（ ba）， 以 c 为斜边作四个全等地直角三角形，就每个直角D1 ab三角形地面积等于2. 把这四个直角三欢迎下载精品学习资源角形拼成如下列图外形 .b Rt DAH Rt ABE,c HDA = EAB. HAD + HAD = 90o， EAB + HAD = 90o，A ABCD是一个边长为
4、c 地正方形，它地面积等于c2. EF = FG =GH =HE = ba ,GFCaHE欢迎下载精品学习资源HEF = 90o.2 EFGH是一个边长为 ba地正方形，它地面积等于ba.B欢迎下载精品学习资源41 ab2b a 2c2.欢迎下载精品学习资源 a 2b 2c 2 .欢迎下载精品学习资源【证法 4】（ 1876 年美国总统 Garfield 证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等地直角三角形，就每个直角三角形地面积等于 Rt EAD Rt CBE, ADE = BEC.D AED + ADE = 90o, AED + BEC = 90o.1 ab2. 把这两个直角三
5、角形拼成如下列图外形，使A、E、B 三点在一条直线上 .C欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 DEC = 180o90o= 90o. DEC是一个等腰直角三角形，1 c 2ccba欢迎下载精品学习资源它地面积等于 2.AbEaB欢迎下载精品学习资源又 DAE = 90o, EBC = 90o, ADBC.1 ab 2 ABCD是一个直角梯形，它地面积等于2.欢迎下载精品学习资源1 a 2 a 22b2b 2c 2 .1 ab21 c 22.欢迎下载精品学习资源【证法 5】（梅文鼎证明）做四个全等地直角三角形，设它们地两条直角边长分别为a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样地一个多边
6、形，使D、E、F 在一条直线上 . 过 C 作 AC地延长线交 DF于点 P. D、 E、 F 在一条直线上 , 且 Rt GEF Rt EBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =180o90o= 90o.F欢迎下载精品学习资源又 AB = BE = EG = GA = c ， ABEG是一个边长为 c 地正方形 . ABC + CBE = 90o. Rt ABC Rt EBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90o.即CBD= 90o.又 BDE = 90o， BCP = 90o，BC = BD = a. BDP
7、C是一个边长为 a 地正方形 .同理， HPFG是一个边长为 b 地正方形 .设多边形 GHCBE地面积为 S，就baGcEPbbCc cba HaD aAcB欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源a 2b2c 2Sa 2b 2S2c 2 .21 ab21 ab,2,欢迎下载精品学习资源【证法 6】（项明达证明）做两个全等地直角三角形，设它们地两条直角边长分别为a、b（ ba） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 地正方形 . 把它们拼成如下列图地多边形，使E、A、C三点在一条直线上 .过点 Q作 QPBC，交 AC于点 P.欢迎下载精品学习资源过点 B作 BMPQ，垂足为 M；再过点 F
8、 作 FNPQ，垂足为 N. BCA = 90o，QPBC， MPC = 90o，Eb aFcAPb欢迎下载精品学习资源 BMPQ， BMP = 90o， BCPM是一个矩形，即 MBC = 90o. QBM +MBA = QBA = 90o，ABC + MBA = MBC = 90o， QBM =ABC，又 BMP = 90o， BCA = 90o， BQ = BA = c ， Rt BMQ Rt BCA.同理可证 Rt QNF Rt AEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明） .【证法 7】（欧几里得证明）做三个边长分别为 a、 b、c 地正方形，把它们拼成如下列图外形，使H、C、B
9、 三点在一条直线上，连结BF、 CD. 过 C作 CLDE，交 AB 于点 M，交 DE于点GL. AF = AC ， AB = AD ，H欢迎下载精品学习资源FAB = GAD， FAB GAD， FAB地面积等于GAD地面积等于矩形 ADLM 地面积地一半， 矩形 ADLM地面积 =同理可证，矩形 MLEB地面积 = 正方形 ADEB地面积1 a22，a 2 .b 2 .aCKFbabAMBc欢迎下载精品学习资源= 矩形 ADLM地面积 + 矩形 MLEB地面积欢迎下载精品学习资源 c 2a2b 2 ，即 a 2b 2c 2 .欢迎下载精品学习资源【证法 8】（利用相像三角形性质证明）DL
10、cE欢迎下载精品学习资源如图，在 Rt ABC中，设直角边 AC、BC地长度分别为 a、 b，斜边 AB地长为 c，过点 C 作 CDAB，垂足是 D.C在 ADC和 ACB中， ADC = ACB = 90o，CAD = BAC，b ADC ACB.aADAC = AC AB，即AC 2ADAB .欢迎下载精品学习资源同理可证， CDB ACB，从而有BC 2BDAB .ADcB欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22 ACBCADDBABAB ，即 a 2b 2c 2 .欢迎下载精品学习资源2【证法 9】（杨作玫证明）做两个全等地直角三角形，设它们地两条直角边长分别为a、b（ ba），
11、斜边长为 c. 再做一个边长为 c 地正方形 . 把它们拼成如下列图地多边形. 过 A 作 AFAC， AF交 GT于 F， AF交 DT于 R. 过 B作 BPAF，垂足为 P. 过 D作 DE 与 CB地延长线垂直，垂足为E，DE 交 AF于 H.欢迎下载精品学习资源 BAD = 90o， PAC = 90o， DAH = BAC.又 DHA = 90o， BCA = 90o，AD = AB = c ， Rt DHA Rt BCA. DH = BC = a ， AH = AC = b.GaDcb921c欢迎下载精品学习资源由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt APB Rt BC
12、A. 即 PB =CA = b ， AP= a，从而 PH = ba. Rt DGT Rt BCA , Rt DHA Rt BCA. Rt DGT Rt DHA .F 8R TcHPA3456cbQ7EBaC欢迎下载精品学习资源 DH = DG = a ， GDT = HDA .又 DGT = 90o， DHF = 90o，GDH =GDT + TDH = HDA+TDH = 90o， DGFH是一个边长为 a 地正方形 . GF = FH = a . TF AF，TF = GTGF = ba . TFPB 是一个直角梯形，上底TF=ba，下底 BP= b，高 FP=a +（ ba） .用数字
13、表示面积地编号（如图），就以c 为边长地正方形地面积为欢迎下载精品学习资源2cS183SSS2S3S4S5S1 bba42abab 2=1 ab2，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源S5S834SSb 2S9 ，1 ab2S = b2S1S8 .欢迎下载精品学习资源8把代入，得1c 2S2Sb2S1S8S8S9欢迎下载精品学习资源2= bS2S9 =b 2a 2 .欢迎下载精品学习资源a 2b 2c2 .【证法 10】（李锐证明）设直角三角形两直角边地长分别为a、b（ ba），斜边地长为 c. 做三个边长分别为 a、b、 c 地正方形，把它们拼成如下列图外形，使A、E、G三点在一条直线上
14、 . 用数字表示面积地编号（如图）.欢迎下载精品学习资源 TBE = ABH = 90o， TBH = ABE.又 BTH = BEA = 90o，BT = BE = b ， Rt HBT Rt ABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba.又 GHF + BHT = 90o，DBC + BHT = TBH + BHT = 90o，TbB8D 2 CR 6H31a7MGFEA4欢迎下载精品学习资源 GHF = DBC. DB = EBED = ba，HGF = BDC = 90o， Rt HGF Rt BDC. 即5cQS7S2 .欢迎下载精品学习资源过 Q作 QMAG，垂
15、足是 M. 由 BAQ = BEA = 90o，可知ABE= QAM，而 AB = AQ = c ，所以 Rt ABE Rt QAM . 又 Rt HBT 欢迎下载精品学习资源Rt ABE. 所以 Rt HBT Rt QAM . 即S8S5 .欢迎下载精品学习资源由 Rt ABE Rt QAM，又得 QM = AE = a ， AQM =BAE. AQM +FQM = 90o， BAE + CAR = 90o， AQM =BAE， FQM =CAR.又 QMF =ARC = 90o， QM = AR = a ，22 Rt QMF Rt ARC. 即 S4S6 .欢迎下载精品学习资源 c 2S1
16、S2S3S4S5 ， aS1S6 ， bS3S7S8 ，欢迎下载精品学习资源又 S7S2 ， S8S5 ， S4S6 ，欢迎下载精品学习资源 a 2即 a 2bS1S62= S1S4= c 2 ，b 2c 2 .S3S7S8S3S2S5欢迎下载精品学习资源【证法 11】（利用切割线定理证明）在 Rt ABC中，设直角边 BC = a ， AC = b ，斜边 AB = c. 如图，以 B为圆心 a 为半径作圆，交 AB及 AB地延长线分别于 D、E，就 BD = BE = BC = a.由于 BCA = 90o，点 C在B上，所以 AC是 B 地切线 . 由切欢迎下载精品学习资源割线定理，得A
17、C 2AEAD=ABBEABBDC欢迎下载精品学习资源= c= c2a caa 2 ，ab欢迎下载精品学习资源即b2 a 2c 2a 2 ，b 2c 2 .cEaBaDA欢迎下载精品学习资源【证法 12】（利用多列 M定理证明）在 Rt ABC中，设直角边 BC = a ，AC = b ，斜边 AB = c （如图） . 过点 A 作 ADCB，过点 B 作 BDCA，就 ACBD为矩形，矩形 ACBD内接于一个圆 . 依据多列 M定理，圆内接四边形对角线地乘积等于两对边乘积之欢迎下载精品学习资源和，有ABDCADBCACBD ，欢迎下载精品学习资源 AB = DC = c ， AD = BC
18、 = a ，AC = BD = b ，DbB欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 AB 2 a 2BC 2b 2c 2 .AC 2 ，即 c2a 2b 2 ，acca欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【证法 13】（作直角三角形地内切圆证明）AbC欢迎下载精品学习资源在 Rt ABC中，设直角边 BC = a ， AC = b ，斜边 AB = c. 作 Rt ABC地内切圆 O，切点分别为 D、E、F（如图），设O 地半径为 r. A E = AF ，BF = BD ，CD = CE，欢迎下载精品学习资源 ACBCABAECEBDCDAFBF欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源
19、即 abc ab2 r2= CE2r ，c .2CD = r + r = 2r,A欢迎下载精品学习资源ab222rc，c22b欢迎下载精品学习资源即 ab2ab4 r1rcc ，FrOrE欢迎下载精品学习资源S ABCab2，rBaDC欢迎下载精品学习资源 2ab4S ABC ，1 cr1 ar1 br1 abc r欢迎下载精品学习资源又 S ABCS AOBS BOCS AOC =222=2欢迎下载精品学习资源1 2 r= 2cc r= r 2rc ，欢迎下载精品学习资源 4 r 2rc 4 r 2rc4S ABC ，2ab，欢迎下载精品学习资源 a 2b 22ab2abc 2 ， a 2b
20、 2c2 .欢迎下载精品学习资源【证法 14】（利用反证法证明）如图，在 Rt ABC中，设直角边 AC、BC地长度分别为 a、 b，斜边 AB地长为 c，过点 C 作 CDAB，垂足是 D.欢迎下载精品学习资源假设 a 2b 2c2 ，即假设AC 2BC 2AB2 ，就由欢迎下载精品学习资源AB 2ABAB = AB ADBD = ABADABBD欢迎下载精品学习资源可知 AC 2ABAD，或者BC 2ABBD. 即 AD：ACAC： AB，或者 BD：BCBC： AB.欢迎下载精品学习资源在 ADC和 ACB中，C A = A， 如 AD：ACAC： AB，就ADC ACB.b在 CDB和
21、 ACB中，a B = B，欢迎下载精品学习资源 如 BD：BCBC： AB，就CDB ACB.又 ACB = 90o， ADC90o， CDB90o.这与作法 CDAB 冲突 . 所以，AC 2BC 2ADcBAB 2 地假设不能成立 .欢迎下载精品学习资源 a 2b 2c 2 .【证法 15】（辛卜松证明）欢迎下载精品学习资源Aba abb b 2aDa2aabbAb1 aba 2ccb 1ab2aD1 ab2 bcc 2c1 ab a2222欢迎下载精品学习资源设直角三角形两直角边地长分别为a、b，斜边地长为 c. 作边长是 a+b 地正方形 ABCD. 把正方形 ABCD划分成上方左图
22、所示地几个部分，就正方形ABCD地面积为abab2ab ；欢迎下载精品学习资源BbaCBabCab 241 abc2欢迎下载精品学习资源把正方形 ABCD划分成上方右图所示地几个部分，就正方形ABCD地面积为2= 2abc 2 .欢迎下载精品学习资源a 2a 2b 22abb 2c2 .2abc2 ,欢迎下载精品学习资源【证法 16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边地长分别为a、b（ ba），斜边地长为 c. 做两个边长分别为 a、 b 地正方形（ ba），把它们拼成如下列图外形，使E、 H、M三点在一条直线上 . 用数字表示面积地编号（如图）.在 EH = b 上截取 ED = a ，连结
23、DA、DC， 就 AD = c. EM = EH + HM = b +a , ED = a ，B DM = EMED =ba a = b.欢迎下载精品学习资源又 CMD = 90o， CM = a，AED = 90o， AE = b ， Rt AED Rt DMC.c54cb欢迎下载精品学习资源 EAD = MD，C DC = AD = c.AF欢迎下载精品学习资源 ADE + ADC+MDC =180，oADE + MDC =ADE + EAD = 90o， ADC = 90o. 作 ABDC，CBDA，就ABCD是一个边长为 c 地正方形 . BAF + FAD = DAE + FAD =
24、 90o， BAF=DAE.连结 FB，在 ABF和 ADE中， AB =AD = c ， AE = AF = b ， BAF=DAE， ABF ADE. AFB = AED = 90o， BF = DE = a. 点 B、F、G、H 在一条直线上 .GaCabc231ca76EbDHaM欢迎下载精品学习资源在 Rt ABF和 Rt BCG中， AB = BC = c ， BF = CG = a ，22 Rt ABF Rt BCG.欢迎下载精品学习资源 c 2S2S3S4S5 ，bS1S2S6 ，aS3S7 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源S1 a 2b 2S5S4S6S3S7S1S7 ，S2S6欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源a 2= S2S3S1= S2S3S4= c 2b 2c2 .S6S7 S5欢迎下载