2022年2022年集合的基本关系及运算 .pdf-淘文阁

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1、集合的基本关系及运算编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集在具体情境中，了解空集和全集的含义2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集【要点梳理】要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合 A是集合 B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合 A；子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合 B的子集(subset).记作：AB(BA)或，当集合 A不包含于集合B时，记作 AB，用 Venn图表示两

2、个集合间的“包含”关系：AB(BA)或要点诠释：（1）“A是B的子集”的含义是：A的任何一个元素都是B的元素，即由任意的xA，能推出xB（2）当A不是B的子集时，我们记作“AB(或BA)”，读作：“A不包含于B”（或“B不包含A”）真子集：若集合AB，存在元素xB且xA，则称集合A 是集合 B 的真子集(proper subset).记作：AB(或 BA)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系ABBA且，则 A与 B中的元素是一样的，因此A=B 要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作AA要点二、集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A或属于集

3、合B的元素所组成的集合，称为集合A与 B的并集，记作：AB读作：“A并 B”，即：AB=x|xA，或 xB Venn图表示：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 14 页 -要点诠释：（1）“xA，或 xB”包含三种情况：“,xAxB但”；“,x Bx A但”；“,x Ax B且”（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与 B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与 B的交集；记作：AB，读作：“A交 B”，即 A B=x|xA，且 xB；交集的 Venn图表示：要点诠释：（1）并

4、不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与 B没有公共元素时，不能说A与 B没有交集，而是AB（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“AB 中的任意元素都是A 与 B 的公共元素”，同时“A与 B的公共元素都属于AB”（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与 B的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A，由全集 U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：UUAA=x

5、|xUxA；即且；痧补集的 Venn图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集UAe是对给定的集合A和()U AU相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，补集不同（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z为全集；而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集（3）UAe表示 U为全集时A的补集，如果全集换成其他集合（如R）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即RAe）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 14 页 -4.集合基本运算的一些结论ABAABBAA=AA=AB=BA，AABBABAA=AA=AAB=

6、BA，UU(A)A=U(A)A=，痧若 AB=A，则AB，反之也成立若 AB=B，则AB，反之也成立若 x(AB)，则 xA且 xB 若 x(AB)，则 xA，或 xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【典型例题】类型一、集合间的关系例 1.集合|2,Aa ak kN，集合21|1(1)(1),8nBb bnnN，那么,A B间的关系是（）.A.AB B.BA C.A=B D.以上都不对【答案】

7、B【解析】先用列举法表示集合A、B，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合A是非负偶数集，即0,2,4,6,8,A.集合B中的元素211(1)(1)8nbn0()1(1)(1)()4nnnn为非负偶数时，为正奇数时.而1(1)(1)4nn（n为正奇数时）表示0 或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即1,3,5,7,n.由1(1)(1)4nn依次得 0,2,6,12，即0 2 612 20B，.综上知，BA，应选B.【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn 图

8、，或数形集合表示）.举一反三：【变式 1】若集合|21,|41,Ax xkkzBx xllz，则（）.A.AB B.BA C.A=B D.ABZ【答案】C 例 2.写出集合 a，b，c 的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集为，只含 1 个元素的子集为a，b，c，含有 2 个元素的子集有a，b，a，c，b，c，含有 3 个元素的子集为a，b，c，即含有 3 个元素的集合共有23=8 个不同的子集.如果集合增加第4 个元素 d，则以上8 个子集仍是新集合的子集，再将第4 个元素 d 放入这 8 个子集中，会得到新的8 个子集，即含有4 个元素的集合共有24=16 个不同子集，由此可推测，含有

9、n 个元素的集合共有 2n个不同的子集.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 14 页 -【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2 个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有a，b，a，c，然后不看a，再看 b 可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.举一反三：【变式 1】已知,a bA,a b c d e，则这样的集合A有个.【答案】7 个【变式 2】同时满足：1,2,3,4,5M；aM，则6aM的非空集合M有（）A.16 个 B.

10、15个 C.7个 D.6个【答案】C【解析】3a时，63a；1a时，65a；2a时，64a；4a时，62a；5a时，61a；非空集合M可能是：3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5，1,2,3,4,5共 7个.故选 C.例 3集合 A=x|y=x2+1，B=y|y=x2+1，C=(x,y)|y=x2+1，D=y=x2+1是否表示同一集合？【答案】以上四个集合都不相同【解析】集合A=x|y=x2+1的代表元素为x，故集合 A表示的是函数y=x2+1 中自变量 x 的取值范围，即函数的定义域A=(,)；集合 B=y|y=x2+1 的代表元素为y，故集合 B表示的是函数y=x2+

11、1 中函数值 y 的取值范围，即函数的值域 B=1,)；集合 C=(x,y)|y=x2+1的代表元素为点（x，y），故集合C 表示的是抛物线y=x2+1 上的所有点组成的集合；集合 D=y=x2+1 是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件举一反三：【变式 1】设集合(,)|34Mx yyx，(,)|32Nx yyx，则MN（）A.1,1 B.1,1xy C.(1,1)D.(1,1)【答案】D【解析】排除

12、法：集合M、N 都是点集，因此MN只能是点集，而选项A 表示二元数集合，选项B表示二元等式集合，选项C 表示区间(1,1)（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D【变式 2】设集合|21,Mx yxxZ，|21,Ny yxxZ，则M与N的关系是（）A.NM B.MN C.NM D.NM【答案】A名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 14 页 -【解析】集合M 表示函数21,yxxZ的定义域，有M整数；集合 N 表示函数21,yxxZ的值域，有N奇数，故选 A.【高清课堂：集合的概念、表示及关系377430 例 2】【变式 3】设 M=x|x=a2

13、+1，aN+，N=x|x=b2-4b+5，bN+，则 M与 N满足()A.M=N B.MN C.NM D.M N=【答案】B【解析】当 aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1 对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中 b-2 可以是 0，所以集合N中元素是自然数的平方加1 对应的整数，即 M中元素都在 N中，但 N中至少有一个元素x=1 不在 M中，即 M N，故选 B.【高清课堂：集合的概念、表示及关系377430 例 3】例4已知,0,yxNyxxyxM若M=N，则2()(xyx)()1001002yxy=A200 B200 C 100 D0【思路

14、点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性【答案】D【解析】由M=N，知 M，N所含元素相同.由 O0，|x|，y 可知Ox,xy,x-y若 x=0，则 xy=0，即 x 与 xy 是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x0.若 xy=0，则 x=0 或 y=0，其中 x=0 以上讨论不成立，所以y=0，即 N中元素 0，y 是相同元素，破坏了 N中元素的互异性，故xy0 若0 x-y=，则 x=y，M，N可写为M=x，x2，0，N=0，|x|，x 由 M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|x|=0或|x|=1 若|x|=0即 x=0，以上讨论知不成立若

15、|x|=1即 x=1 当 x=1 时，M中元素|x|与 x 相同，破坏了M中元素互异性，故 x 1 当 x=-1 时，M=-1，1，0，N=0，1，-1 符合题意，综上可知，x=y=-1 2()(xyx)()1001002yxy=-2+2-2+2+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点举一反三：【变式 1】设 a，bR，集合b1,a+b,a=0,ba，则 b-a=()【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 14 页 -b1

17、kkZ表示除以 3 余 2的整数所组成的集合；集合|61,Dx xkkZ表示除以 6 余 1 的整数所组成的集合；ABACBC,BDD.【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.举一反三：【变式 1】已知集合M=y|y=x2-4x+3，xR，N=y|y=-x2-2x+8，xR，则 M N等于()A.B.R C.-1，9 D.-1，9【答案】D【解析】集合M、N 均表示构成相

18、关函数的因变量取值范围，故可知：M=y|y-1，N=y|y 9，所以 M N=y|-1 y9，选 D.例 6.设集合 M=3，a，N=x|x2-2x0，xZ，M N=1，则 M N为()A.1，3，a B.1，2，3，a C.1，2，3 D.1，3【思路点拨】先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题【答案】D【解析】由N=x|x2-2x0，xZ可得：N=x|0 xa.（1）若 A B，求实数 a 的取值范围；（2）若 A BA，求实数 a 的取值范围；（3）若 A B且 ABA，求实数 a 的取值范围【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点.【答案】（1）a4；（2）a-2；（

19、3）-2 aa，又 AB，如图，a4；(2)画数轴同理可得：a-2；(3)画数轴同理可得：如图，-2 a4.【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.举一反三：【变式 1】已知集合P=xx21,M=a.若 PM=P,则 a 的取值范围是（）A(-,-1 B1,+）C-1，1 D（-，-1 1，+）【答案】C【解析】Px11x又PMP，MP，11a故选 C例 9.设集合222|40,|2(1)10,Ax xxBx xaxaaR.（1）若ABB，求a的值；（2）若ABB，求a的值.【思路点拨】明确ABB、AB

20、B的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式BA和AB，是解决本题的关键.同时，在包含关系式BA中，不要漏掉B的情况.【答案】（1）1a或1a；（1）2【解析】首先化简集合A，得4,0A.（1）由ABB，则有BA，可知集合B为，或为0、4，或为0,4.若B时，224(1)4(1)0aa，解得1a.若0B,代入得21011aaa或.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -当1a时，2|400,4,Bx xxA符合题意；当1a时，2|00,Bx xA也符合题意.若4B，代入得2870aa，解得7a或1a.当1a时，已讨论，符合题意；当7a时，2|1648012

21、,4Bx xx，不符合题意.由，得1a或1a.（2）,ABBAB.又4,0A，而B至多只有两个根，因此应有AB，由（1）知1a.【总结升华】两个等价转化：,ABBAB ABBBA非常重要，注意应用.另外，在解决有条件AB的集合问题时，不要忽视A的情况.举一反三：【变式 1】已知集合222,|120ABx xaxa，若ABB,求实数a的取值范围.【答案】4,a或4a【解析】ABB,BA.当B时，此时方程22120 xaxa无解，由0，解得4,a或4a.当B时，此时方程22120 xaxa有且仅有一个实数解-2，0，且22(2)2120aa，解得4a.综上，实数a的取值范围是4,a或4a.【变式

23、,A B满足ABA,那么下列各式中一定成立的是（）A AB B BA CABB D ABA5若全集0,1,2,32UUC A且，则集合A的真子集共有()A3 个 B 5 个 C 7 个 D 8 个6设集合,412|ZkkxxM，,214|ZkkxxN，则()ANM B MN CNM D MN7用适当的符号填空：（1）m,m n；（2）m,m n；（3）,m n.8.若集合|6,Ax xxN，|Bx x是非质数，CAB，则C的非空子集的个数为 .9若集合|37Axx，|210Bxx，则AB_10设集合32Axx，2121Bxkxk，且AB，则实数k的取值范围是 .11已知221,

24、21Ay yxxBy yx，则AB_.12已知集合1,2,1,2,3,4,5AB，若AMB，请写出满足上述条件得集合M.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 14 页 -13已知25Axx，121 Bx mxm，BA，求m的取值范围.14已知集合22|20,|0Ax xpxBx xxq，且2,0,1AB,求实数,p q的值15设全集UR，2|10Mmmxx方程有实数根，2|0,Nnxxn方程有实数根UC MN求.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 14 页 -【巩固练习】11.设 A=(x,y)|x+1|+(y-2)2=0，B=-1,2，则

26、xxxACbxaxARUU或，则_ _ _ _ _ _,_ba.8某班有学生55 人，其中体育爱好者43 人，音乐爱好者34 人，还有4 人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人.9若21,4,1,AxBx且ABB，则x .10若|1,Ix xxZ，则NCI=.11 设全集(,),Ux y x yR，集合2(,)12yMx yx，(,)4Nx y yx，那么()()UUC MC N等于 _.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 14 页 -12设集合1,2,3,4,5,6M，12,kS SS都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的,i

27、iiSa b，,jjjSa b（,1,2,3,ij i jk），都有min,min,jjiiiijjababbaba（min,x y表示两个数,x y中的较小者）则k的最大值是 .13设222|40,|2(1)10Ax xxBx xaxa，其中xR，如果ABB，求实数a的取值范围.14设UR，集合2|320Ax xx，2|(1)0Bx xmxm；若()UC AB，求m的值.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 14 页 -15设1234,a aaaN，集合222212341234,Aa aa aBaaa a.满足以下两个条件：（1）1414,10;ABa aaa（2）集合AB中的所有元素的和为124，其中1234aaaa.求1234,a aa a的值.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 14 页 -

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