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1、.教学内容【知识结构】1等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q 0），即：1nnaa=q（q 0）1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)na成等比数列nnaa1=q（Nn,q 02隐含：任一项00qan且“na 0”是数列na成等比数列的必要非充分条件3 q=1 时，an为常数2.等比数列的通项公式1:)0(111qaqaann3.等比数列的通项公式2:)0(11qaqaammn4既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 5 等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个
2、数G，使 a,G，b 成等比数列，那么称这个数 G为 a 与 b 的等比中项.即 G=ab（a,b 同号）如 果 在 a 与 b 中 间 插 入 一 个 数 G，使 a,G，b 成 等 比 数 列，则abGabGGbaG2，反之，若 G2=ab,则GbaG，即 a,G,b 成等比数列a,G,b 成等比数列G2=ab（a b 0）6 等比数列的性质：若 m+n=p+k，则kpnmaaaa在等比数列中，m+n=p+q，kpnmaaaa,有什么关系呢？由定义得：11n11nmmqaaqaa11k11kppqaaqaa名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -.221nm
3、nmqaaa，221kpkpqaaa则kpnmaaaa7等比数列的增减性：当 q1,1a0 或 0q1,1a1,1a0,或 0q0 时,na 是递减数列;当 q=1 时,na是常数列;当 q0,3a5a5;(2)a,1,c成等差数列,a c2,又 a2,1,c2成等比数列,a2 c21,有 ac1或 ac1,当 ac1 时,由 ac2 得 a1,c 1,与 a c 矛盾，ac 1,62)(222accaca3122caca.例 4 已知无穷数列,10,10,10,1051525150n，求证：（1）这个数列成等比数列（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的101，（3）这个数列的任意两项的积仍
4、在这个数列中证：（1）5152511101010nnnnaa（常数）该数列成等比数列（2）101101010154515nnnnaa，即：5101nnaa（3）525151101010qpqpqpaa，Nqp,，2qp11qp且Nqp1，51n521010qp，（第1qp项）例 5 设dcba,均为非零实数，0222222cbdcabdba，求证：cba,成等比数列且公比为d名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -.证一：关于d的二次方程0222222cbdcabdba有实根，044222222cbbacab，022acb则必有：02acb，即acb2，cba,
5、成等比数列设公比为 q，则aqb，2aqc代入02422222222qaqadaqaaqdqaa0122aq，即0222qqdd，即0qd证二：0222222cbdcabdba022222222cbcddbbabdda022cbdbad，bad，且cbddcba,非零，dbcab例 6设nS为数列na的前 n 项和，2nSknn，*nN，其中k是常数（1）求1a及na；（2）若对于任意的*mN，ma，2 ma，4ma成等比数列，求k的值解（1）当1,111kSan，12)1()1(,2221kknnnknknSSannnn（）经验，,1n（）式成立，12kknan（2）mmmaaa42,成等比
6、数列，mmmaaa422.，即)18)(12()14(2kkmkkmkkm，整理得：0)1(kmk，对任意的Nm成立，10kk或例 7 在等差数列 an中，若 a100，则有等式 a1+a2+an=a1+a2+a19n（n19，nN)成立.类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若 b91，则有等式成立名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -.答案：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*）；解：在等差数列 an中，由 a100，得 a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，所以 a1a2ana190，即 a1a2ana19a18an1，又a
7、1a19，a2a18，a19nan1a1a2ana19a18an1a1a2a19n，若 a90，同理可得 a1a2ana1a2a17n，相应地等比数列 bn中，则可得：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*）。【备选例题】例 8如图 31，在边长为 l 的等边 ABC 中，圆 O1为ABC 的内切圆，圆 O2与圆 O1外切，且与 AB，BC相切，圆 On+1与圆 On外切，且与 AB、BC相切，如此无限继续下去.记圆 On的面积为 an（nN*），证明 an 是等比数列；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 9 页 -.证明：记 rn为圆 On的半径，则 r1=2
8、ltan30=l63。nnnnrrrr11=sin30 =21，所以rn=31rn1（n 2），于是 a1=r12=91)(,122112nnnnrraal，故 an成等比数列。点评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终对应数值关系建立模型加以解析。例 9 已知数列na和nb满足：a1=,an+1=24,(1)(321),3nnnnanban其中 为实数，n 为正整数.（）对任意实数 ，证明数列na不是等比数列；（）试判断数列nb是否为等比数列，并证明你的结论.解：（）证明：假设存在一个实数，使na是等比数列，则有2213aa a,即,094949494)494()332(
9、222矛盾.所以na不是等比数列.()解：因为11122(1)(3121)(1)(321)33nnnnnnbananb（）又118b,所以当 18，10b(nN+),此时nb不是等比数列：当18 时，1180b,由上可知0nb，321nabb(nN+).故当-18 时，数列nb是以（18）为首项，32为公比的等比数列.点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。例 10 等比数列 na的前 n 项和为nS，已知对任意的nN，点(,)nn S，均在函数(0 xybr b且1,bb r均为常数)的图像上.（1）求 r 的值；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，
10、共 9 页 -.（2）当 b=2时，记1()4nnnbnNa求数列nb的前 n项和nT解:因为对任意的nN,点(,)nn S，均在函数(0 xybr b且1,bb r均为常数)的图像上.所以得nnSbr,当1n时,11aSbr,当2n时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb,又因为 na 为等比数列,所以1r,公比为b,所以1(1)nnabb（2）当 b=2时，11(1)2nnnabb,111114422nnnnnnnba则234123412222nnnT3451212341222222nnnnnT相减,得23451212111112222222nnnnT31211(1)1
11、12212212nnn12311422nnn所以113113322222nnnnnnT【巩固练习】1.设等比数列 an 的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则24aS=215 .2.等比数列 an 中,a3=7,前 3 项之和 S3=21，则公比 q 的值为 1或-21 .3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么 b=-3 ,ac=9 .名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -.4.在等比数列 an 中，已知 a1a3a11=8，则 a2a8=4 .5.若数列 an的前 n 项和 Sn=3n-a，数列 an为等比数列，则实数a 的值是1 .6.设 a1,
12、a2,a3,a4成等比数列，其公比为2，432122aaaa的值为41 .7.等比数列 an 前 n 项的积为 Tn,若 a3a6a18是一个确定的常数，那么数列 T10，T13，T17，T25中也是常数的项是 T17 .8.在等比数列na中,12a,前 n项和为nS,若数列1na也是等比数列,则nS等于（C ）.(A)122n (B)3n (C)2n (D)31nC.提示：因数列na为等比，则12nnaq，因数列1na也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12)01nnnnnnnnnnnnnaaaaaa aaaaaaaqqq即2na，所以2nSn，故选择答案 C。9.
13、若互不相等的实数,a b c成等差数列，,c a b成等比数列，且310abc，则a（D）A4 B2 C2 D4 提示：由互不相等的实数,a b c成等差数列可设 abd，cbd，由310abc可得 b2，所以 a2d，c2d，又,c a b成等比数列可得 d6，所以 a4 10.已知等比数列na中21a，则其前 3 项的和3S的取值范围是(D)A.,1 B.,01,C.3,D.,13,提示：设等比数列的公比为 q，213211,aaaa qqq.311Sqq，303qS当时，当1q时取等号；当0q时，31S，当1q时取等号名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -