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1、-同济大学(高等数学)_第三篇_常微分方程-第 30 页第三篇 常微分方程第六章 常微分方程函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义但是在许多问题中，常常不能直接找出这种函数关系，但却能根据问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法第一节 微分方程的概念下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念11 引例引例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点处的切线斜率为，求这条曲线方程解 设所求曲线方程为，且曲线上任意一点的坐标为根据题意以及导数的几何意
2、义得 两边同时积分得 （为任意常数） 又因为曲线通过（1，2）点，把，代入上式，得故所求曲线方程为引例2 将温度为的物体放入温度为的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的速度与温度成正比，求物体的温度与时间之间的函数关系解 依照冷却定律，冷却方程为 （为比例常数），所求函数关系满足，以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系下面我们介绍有关微分方程基本概念1.2 微分方程的基本概念 定义1 含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程在微分方程中，若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程若未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程例如 下列微分方程中，（1） ； （2）
3、； （3） （4）； （5） 都是微分方程，其中（1）、（2）、（3）、（5）是常微分方程，（4）是偏微分方程 本课程只讨论常微分方程 定义2 微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶 在上例中，（1）、（2）、（5）是一阶常微分方程，（3）是二阶常微分方程 一般地，阶微分方程记为：定义3 若将代入微分方程中使之恒成立，则称是微分方程的解（也称显式解）；若将代入微分方程中使之恒成立，则称关系式是微分方程的隐式解定义4 微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解引例1中，积分后得到为微分方程的通解，由于通解中含有任意常数，所以它不能
4、完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数，为此，要根据实际问题，提出确定通解中的常数的条件设微分方程中未知函数，如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是；如果微分方程是二阶的确定任意常数的条件是，上述这些条件叫做初始条件定义5 求解微分方程满足初始条件的特解问题称为一阶微分方程的初值问题记作例1 验证是微分方程的解解 的一阶导数和二阶导数分别是把和代入微分方程中，因此，是微分方程的解如果、是任意常数，则解是二阶微分方程的通解例2 已知是微分方程的通解，求满足初始条件，的特解 解 由题意得把，分别代入得即于是微分方程的特解为 习题 6-1 1指出下列各微分方程的阶数 （1）； （2）；
5、 （3） ； （4）； (5)； (6) ； （7）； （8） 2. 验证下列函数是所给的微分方程的解 （1）； （2）； （3） ； （4） 3验证函数是微分方程的解，并求满足初始条件的特解 4写出下列条件确定的曲线所能满足的微分方程 （1）曲线在任一点处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍 （2）曲线在任一点处的切线斜率与该点横坐标成正比 5英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus)在担任牧师期间，查看了当地教堂100多年来的人口出生统计资料，发现了如下现象：人口出生率是一个常数在1798年，他发表了人口原理一书，其中提出了著名的Malthus人口模型他假定条件如下：在人口的自然增长过程中，人口
6、增长率与人口总数成正比表示时间（变量），表示人口总数（依赖于时间变化），表示人口增长率与人口总数之间的比例常数，试用微分方程表达上述条件 6一棵小树刚栽下去的时候生长缓慢， 渐渐地， 小树长高了并且长得越来越快， 几年之后， 绿荫底下已经可乘凉了； 但长到某一高度后， 它的生长速度趋于稳定， 然后再慢慢降下来 如果假设树的生长速度既与目前的高度成正比， 又与最大高度和目前高度之差成正比，试用微分方程来描述这一过程（设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度为的是比例常数）第二节 可分离变量微分方程 本节我们讨论的是一阶微分方程的解法2.1 可分离变量微分方程 引例 微分方程，显然不能直
7、接用积分法求解，但是适当地变形：此时，方程右边是只含的函数的微分，方程左边是只含的函数的微分，对上式积分，得即（为任意常数）这就是微分方程的通解一般地，一阶微分方程，如果能变形为的形式，则方程称为可分离变量的微分方程此处，为连续函数根据以上所述，解可分离变量的微分方程的步骤如下：第一步：分离变量，将方程写成的形式；第二步：两端积分：；第三步：求得微分方程的通解，其中分别为的原函数 例1 求微分方程的通解 解 将方程分离变量，得到 =，两边积分，即得 ，即由于是任意非零常数，又也是方程的解，故原方程的通解为（为任意常数）注：变量分离过程中，常将微分方程变形，有时会产生“失解”的现象：如果存在，使
8、得满足微分方程，且包含在通解中，可与通解合并如果不包含在通解中，求解微分方程时，必须补上，和通解一起共同构成微分方程的解 例2 求微分方程的解 解 将方程分离变量，得到 ，两边积分:，得，整理得方程的通解是（为任意非零常数）由于，解得，也是方程的解另外，包含在通解中，不含在通解中，故原方程的解为（为任意常数）和例3 镭的衰变有如下规律：镭的衰变速率与它的现存量成正比当时，求镭的存量与时间的函数关系解 由题意得满足初始条件此微分方程为变量分离方程，变量分离，得积分，得即将初始条件代入上式，得，故镭的衰变规律为 2.2 齐次方程如果一阶微分方程中，有些方程不能直接分离变量，但可以通过适当的变量代换
9、，化为可分离变量的微分方程，齐次微分方程就是其中一种如果可化为的形式，则称此方程为齐次方程例如 微分方程可化为即等号右边分子、分母同除以，得故此方程为齐次方程齐次方程的解法：令，则，代入齐次方程即为变量分离方程例4 求微分方程的通解 解 令，则，代入上式，得化简，分离变量，得积分，得即把回代，得原方程的通解思考：如何观察一阶微分方程是齐次的？ 特点：分式中分子与分母的各项中与的幂次之和无一例外的“整齐”次，则该微分方程是齐次方程例5 求微分方程的通解解 原方程可化为 令，则，代入上式，得化简，分离变量，得积分，整理，得把回代，得原方程的通解习题6-2 1求下列微分方程的通解 （1）； （2）；
10、 （3）； （4）； (5) ； (6) ； (7) ； (8) 2求下列微分方程在初始条件下的特解 （1）； （2）； （3）； (4) , 3求下列齐次方程的通解或特解 （1）； （2）； （3）； (4) ； （5），； （6）， 4作适当的变量代换，求下列微分方程的通解 （1）； （2）； （3） ； （4） 5已知放射性物质镭的衰变速度与该时刻现有存镭量成正比由经验材料得知，镭经过1600年后，只剩余原始量的一半试求镭的质量与时间的函数关系6假设设备在每一时刻由于磨损而价值损耗的速度与它的实际价格成正比已知最初价格为，试求年后的价格 7由物理学知道，物体冷却的速率与当时物体的温度和周
11、围环境温度之差成正比现在把100的沸水注入杯中，放在室温为20的环境中冷却，5min中后测得水温为60.求水温（）与时间t（min）之间的函数关系 8探照灯的聚光镜的镜面是一张旋转曲面，它的形状由坐标面上的一条曲线绕轴旋转而成按聚光镜性能的要求，在其旋转轴（轴）上一点处发出的一切光线，经它反射后都与旋转轴（轴）平行求曲线的方程第3节 一阶线性微分方程 31 一阶线性齐次微分方程 形如 （6-3-1）的方程，叫做一阶线性齐次微分方程方程（6-3-1）是可分离变量的微分方程，分离变量，得两端积分，得整理，得其中也是方程的解 一阶线性齐次微分方程的通解为 （为任意的常数）32 一阶线性非齐次微分方程
12、 方程 （6-3-2）且则方程（6-3-2）叫做一阶线性非齐次微分方程现在我们用常数变易法来求一阶线性非齐次微分方程的通解这个方法是把（6-3-1）的通解中的C换成的未知函数，即作变换 ， （6-3-3）于是 （6-3-4）将（6-3-3）和（6-3-4）代入（6-3-2）得两端积分得代入（6-3-3）得方程（6-3-2）的通解 （6-3-5）上述方法求一阶线性非齐次微分方程通解的步骤，可以总结为：（1）先求对应的齐次方程的通解；（2）将齐次方程通解中的常数变换为待定函数，代入原方程，求出，得到非齐次方程的通解 这种方法称为常数变易法例1 求微分方程的通解解 原方程即 ，这是一阶线性非齐次微分
13、方程，其中（I）：常数变易法先求原方程对应的齐次方程的通解.分离变量得两边积分，得 ，（为了方便计算记）故 ，将上式中的任意常数变换成函数，即设原来的非齐次微分方程的通解为则 ，将和代入原方程，得整理得 ，两边积分，得 ，故原方程的通解为（II）：公式法将代入公式（6-3-5），得例 2 求微分方程满足初始条件下的特解. 解 这是一阶线性非齐次微分方程，其中套用公式（6-3-5），得把初始条件代入上式，得，故所求的特解是 例3 求微分方程的通解解 上述微分方程可改写为即为关于未知函数的微分方程，其中，套用公式（6-3-5），得33贝努利方程 方程 （） （6-3-6）叫做贝努利方程这个方程不是
14、线性方程，但可以通过变量代换化为线性方程事实上，对于上式两端同除以，得 （6-3-7）令，那么用（）乘方程（6-3-7），得求出方程的通解后，以代得贝努利方程的通解例4 求方程的通解解 以除以方程两端，得令，则上述方程成为 它的通解为 以代，解得方程的通解为习题 6-3 1求出下列微分方程的通解 （1） ； （2）； （3） ； （4）； （5） ； （6）2求下列微分方程满足所给初始条件的特解 （1）， ； （2） ； （3）； （4） ； （5） ； （6）； 3.求解下列贝努利方程的通解（1）； （2）；（3）； （4）4.一容器内盛盐水100L，含盐50g现以的盐水注入容器内，其流量为
15、设注入盐水与原有盐水被搅拌成均匀的混合液，同时，此混合液有以流量为流出试求容器内的含盐量与时间t的函数关系5.设有一质量为m的质点作直线运动从速度为零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为）的力作用于它，此外还受到与速度成正比（比例系数为）的阻力求质点运动的速度与时间的函数关系第4节 可降阶的高阶微分方程 4.1 型微分方程 微分方程的右端仅含有自变量 ，可以对微分方程两边积分，得到一个阶的微分方程同理可得 依次继续进行，积分次，便得方程的含有个任意常数的通解 例1 求微分方程 的通解 解 对所给方程接连积分两次，得 记，原方程的通解例2 求方程的通解解 设代入方程,得，
16、 解线性方程得为任意常数)，即 两端积分得 再积分得到方程的通解为 其中为任意常数. 例3 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动设力仅是时间t的函数:F=F(t) 在开始时刻t=0时F(0)=，随着时间t的增大，此力均匀地减小，直到t=T时， 如果开始时质点位于原点，且初速度为零， 求这质点的运动规律 解 设表示在时刻t时质点的位置， 根据牛顿第二定律， 质点运动的微分方程为由题设， 力随t增大而均匀地减小，且t=0时， F(0)= ，所以；又当t=T时，F(T)=0，从而于是质点运动的微分方程又写为其初始条件为， 把微分方程两边积分，得再积分一次，得由初始条件x|t=0=0， 得于是
17、所求质点的运动规律为，0tT4.2 型微分方程 方程 (6-4-1)的右端不显含未知函数，如果我们设，则方程化为这是关于的一阶方程，设的通解为=j(x,C1)，则 对它进行积分，原方程的通解为 例4 求微分方程(1+x2)y=2xy满足初始条件y|x=0=1, y|x=0=3的特解 解 所给方程是y=f(x, y)型的 设y=p， 代入方程并分离变量后， 有两边积分，得ln|p|=ln(1+x2)+C，即 p=y=C1(1+x2) (C1=eC)由条件y|x=0=3，得C1=3，所以 y=3(1+x2)两边再积分，得y=x3+3x+C2又由条件y|x=0=1，得C2=1，于是所求的特解为y=x
18、3+3x+1 4.3型微分方程 方程 (6-4-2) 的右端不显含自变量，看作未知函数，即令y=p，并利用复合函数的求导法则把方程化为 原方程化为设方程的通解为y=p=j(y, C1), 则原方程的通解为例5 求微分方程yy-y2=0的通解 解 设y=p， 则，代入方程, 得 在y0、p0时， 约去p并分离变量， 得两边积分得即 p=C y或y=C y (C=c)再分离变量并两边积分, 便得原方程的通解为即 y=C1eCx (C1=c1)例6 求微分方程满足初始条件 的特解.解 令由代入方程并化简得上式为可分离变量的一阶微分方程，解得再分离变量,得由初始条件，得出，从而得再两边积分,得或，由得
19、出，从而所求特解为 习题 6-41求下列各微分方程的通解 （1） ； （2）； （3） ； （4） ； 2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解（1）； （2）；（3） ； （4）3设有一质量为的物体，在空中静止开始下落，如果空气阻力为（其中为常数，为物体运动的速度），试求物体下落的距离与时间的函数关系第5节 二阶线性微分方程本节课，我们主要讨论二阶线性微分方程解的结构及其解法.5.1二阶线性微分方程解的结构 二阶线性微分方程的一般形式为y+P(x)y+Q(x)y=f(x)，若方程右端f(x)0时，方程称为齐次的； 否则称为非齐次的.先讨论二阶齐次线性方程y+P(x)y+Q(x)y=0， 即
20、 定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0，的两个解， 那么y=C1y1(x)+C2y2(x)，也是方程的解， 其中C1、C2是任意常数.证明 对y=C1y1(x)+C2y2(x)求一阶导得 C1y1+C2y2=C1 y1+C2 y2，再求二阶导得 C1y1+C2y2=C1 y1+C2 y2. 因为y1与y2是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的解， 所以有 y1+P(x)y1+Q(x)y1=0及y2+P(x)y2+Q(x)y2=0，从而 C1y1+C2y2+P(x) C1y1+C2y2+Q(x) C1y1+C2y2 =C1y1+P(x)y1+Q(x)y1+C
21、2y2+P(x)y2+Q(x)y2=0+0=0. 这就证明了y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的解. 下面讨论函数的线性相关与线性无关： 设y1(x), y2(x), , yn(x)为定义在区间I上的n个函数. 如果存在n个不全为零的常数k1, k2, , kn, 使得当xI 时有恒等式k1y1(x)+k2y2(x)+ + knyn(x)0成立，那么称这n个函数在区间I上线性相关； 否则称为线性无关. 对于两个函数， 它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数，如果比为常数，那么它们就线性相关，否则就线性无关. 例如， 1-cos2x ，sin2x 在整个
22、数轴上是线性相关的. 函数 x，5x2在任何区间(a, b)内是线性无关的. 定理2 如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线性无关的解，那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) (C1、C2是任意常数)是方程的通解. 例1 验证y1=cos x与y2=sin x是方程y+y=0的线性无关解，并写出其通解. 解 因为y1+y1=-cos x+cos x=0，y2+y2=-sin x+sin x=0，所以y1=cos x与y2=sin x都是方程的解.由于不恒为常数， 所以cos x与sin x在(-, +)内是线性无关的. 因此y1=cos x与y2=si
23、n x是方程y+y=0的线性无关解. 方程的通解为y=C1cos x+C2sin x. 推论1 如果y1(x), y2(x), , yn(x)是方程y(n)+a1(x)y(n-1)+ +an-1(x)y+ an(x)y=0的n个线性无关的解， 那么， 此方程的通解为y=C1y1(x)+C2y2(x)+ + Cnyn(x),其中C1, C2, , Cn为任意常数. 定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个特解，Y(x)是对应的齐次方程的通解, 那么y=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解. 例如，Y=C1cos x+C2sin x 是齐次方
24、程y+y=0的通解， y*=x2-2是y+y=x2的一个特解， 因此 y=C1cos x+C2sin x+x2-2是方程y+y=x2的通解. 定理4 设非齐次线性微分方程 y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的右端f(x)几个函数之和， 如y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+ f2(x)，而y1*(x)与y2*(x)分别是方程y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)与y+P(x)y+Q(x)y=f2(x)的特解，那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解.5.2常系数齐次线性微分方程 先讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法，再把二阶方程的解法推广到阶方程. 方程 y+py+qy=0 (6
25、-5-1)称为二阶常系数齐次线性微分方程， 其中p、q均为常数. 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解，那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.由定理2可知，要求二阶常系数线性齐次微分方程 (6-5-1)的通解，关键在于求出它的两个线性无关的特解.为此，我们分析一下方程 (6-5-1)有什么特点.容易看出，二阶常系数线性微分方程 (6-5-1)的左端是分别乘以“适当”的常数后，可以合并成零，这就是说，适合于方程 (6-5-1)的函数必须与其一阶导数、二阶导数之间只差一个常数因子.而指数函数（r为常数）就是具有此特征的最简单的函数.因此可用函数来试解（是待定常数）.将代入方
26、程 (6-5-1)得因为，所以有 (6-5-2)由此可见，只要是代数方程 (6-5-2)的根，那么就是微分方程 (6-5-1)的解.于是微分方程 (6-5-1)的求解问题，就转化为求代数方程 (6-5-2)的根的问题.代数方程(6-5-2)称为微分方程(6-5-1)的特征方程.特征方程是一个一元二次代数方程，它的根有三种情况，因此微分方程(6-5-1)的解也有三种情况：由一元二次方程的求根公式，有 (1) 当时，特征方程 (6-5-2)有两个不相等的实根和，则方程 (6-5-1)有两个线性无关的特解. 这是因为， 函数、是方程的解，又不是常数. 因此方程的通解为 (2) 当时，特征方程(6-5
27、-2)有两个相等的实根，则方程(6-5-1)只得到一个特解，这时直接验证可知是方程(6-5-)得另一个特解，且与线性无关，因此微分方程(6-5-1)的通解为 (3) 当时，特征方程(6-5-2)有一对共轭复根，其中.则方程(6-5-1)有两个线性无关的复数形式的特解.而在实际问题中，常用的是实数形式的解，为了得到实数形式的解.我们先利用欧拉公式把改写为由本节定理1知，微分方程(6-5-1)的两个解的线性组合仍是它的解，因此实数函数仍是微分方程(6-5-1)的解，且它们线性无关，因此方程(6-5-1)的通解为 综上所述，求二阶常系数线性齐次微分方程(6-5-1)的通解的步骤如下： （1） 写出微
28、分方程(6-5-1)的特征方程； （2） 求出特征方程的两个根，； （3） 根据两个根的不同情形，按下表写出微分方程(6-5-1)的通解：特征方程的两个根，微分方程的通解两个不相等的实根，两个相等的实根一对共轭复根 例1 求微分方程y-2y-3y=0的通解. 解 所给微分方程的特征方程为r2-2r-3=0， 即(r+1)(r-3)=0.其根r1=-1， r2=3是两个不相等的实根，因此所求通解为y=C1e-x+C2e3x. 例2 求方程y+2y+y=0满足初始条件y|x=0=4、y| x=0=-2的特解. 解 所给方程的特征方程为r2+2r+1=0，即(r+1)2=0.其根r1=r2=-1是两
29、个相等的实根， 因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x. 将条件y|x=0=4代入通解， 得C1=4， 从而y=(4+C2x)e-x， 将上式对x求导，得y=(C2-4-C2x)e-x. 再把条件y|x=0=-2代入上式，得C2=2. 于是所求特解为x=(4+2x)e-x. 例3 求微分方程y-2y+5y= 0的通解. 解 所给方程的特征方程为r2-2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i, r2=1-2i, 是一对共轭复根， 因此所求通解为y=ex(C1cos2x+C2sin2x). 方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + + pn-1y+pny=0，称为n
30、阶常系数齐次线性微分方程，其中 p1, p2 , , pn-1, pn都是常数. 二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式， 可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去. 引入微分算子D, 及微分算子的n次多项式：L(D)=Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + + pn-1D+pn，则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + + pn-1D+pn)y=0或L(D)y=0. 注：D叫做微分算子D0y=y, Dy=y, D2y=y, D3y=y, ,Dny=y(n). 分析： 令y=erx， 则L(D)y=L(D)erx=(rn +p1rn-1+p
31、2 rn-2 + + pn-1r+pn)erx=L(r)erx.因此如果r是多项式L(r)的根， 则y=erx是微分方程L(D)y=0的解. n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程： L(r)=rn +p1rn-1+p2 rn-2 + + pn-1r+pn=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程. 根据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程的解如下： （1） 单实根r 对应于一项： Cerx ； （2） 一对单复根r1, 2=a ib 对应于两项： eax(C1cosbx+C2sinbx)； （3） k重实根r对应于k项：erx(C1+C2x+ +Ck xk-1)； （4）一对k 重复根r1,
32、 2=a ib 对应于2k项： eax(C1+C2x+ +Ck xk-1)cosbx+( D1+D2x+ +Dk xk-1)sinbx.这样就得到阶常系数齐次线性微分方程的通解 例4 求方程y(4)-2y+5y=0 的通解. 解 这里的特征方程为r4-2r3+5r2=0，即r2(r2-2r+5)=0.它的根是r1=r2=0和r3, 4=12i. 因此所给微分方程的通解为y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x). 例5 求方程的通解， 其中b0. 解 这里的特征方程为r4+b 4=0.它的根为, . 因此所给微分方程的通解为5.3常系数非齐次线性微分方程本节课着重讨论二阶常系数非
33、齐次线性微分方程的解法. 方程如果不恒为零，上述方程称为二阶常系数线性非齐次方程，其中p、q是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和： y=Y(x)+ y*(x).本节课只介绍方程右端取如下两种常见形式时，求的方法. 型 对于型，其中是常数，是的次多项式： 当f(x)=Pm(x)elx时， 可以猜想， 方程的特解也应具有这种形式. 下面用待定系数法求微分方程 （6-5-3）的一个特解.因为方程（6-5-3）的右端是多项式与指数函数的乘积，而多项式与指数函数之积的导数仍为多项式与指数函数之积，联系到方程（6-5-3
34、）左端的系数均为常数的特点，它的特解也应该是多项式与指数函数之积.因此设（其中是的待定多项式）是方程（1）的特解.则有将代入方程（6-5-3）并约去，得 （6-5-4）（I） 当不是特征方程的根时，即，要使（6-5-4）式的两端恒等，必须与同次，因此可设为另一个次多项式：（其中然后将所设特解代入方程（6-5-3），并通过比较两端的同次幂系数来确定.（II）当是特征方程的单根时，则必有而，此时要使式（6-5-4）两端恒等，必须是次多项式，从而是次多项式，因此可设（其中为次待定多项式）.然后将所设特解代入方程（6-5-3），并用与（I）同样的方法确定的系数.（III） 当是特征方程的二重根时，则必
35、有且，此时要使式 （6-5-4）两端恒等，必须是次多项式，从而是次多项式，因此可设（其中为次待定多项式）.然后将所设特解代入方程（6-5-3），并用与（I）同样的方法确定的系数.综上所述，我们有如下结论：二阶常系数线性齐次微分方程有如下形式的特解其中是与同次（次）的多项式，而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的二重根，分别取0，1或2. 例1 求微分方程y-5y+6y=xe2x的特解. 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=x, l=2). 则与所给方程对应的齐次方程为y-5y+6y=0， 它的特征方程为r2-5r +6=0
36、. 解得特征方程有两个实根r1=2， r2=3. 由于l=2是特征方程的单根， 所以应设方程的特解为y*=x(b0x+b1)e2x，把它代入所给方程， 得-2b0x+2b0-b1=x.比较两端x同次幂的系数，得，-2b0=1， 2b0-b1=0.由此求得， b1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为例 2 求微分方程的一个特解.解 因为方程右端，属于型，其中，且不是特征方程的根，所以可设特解为因而有，将代入原方程并整理，得比较两端同次幂的系数，有解之得所以原方程的特解为.例 3 求微分方程的通解.解 （1）先求对应齐次方程的通解 因为特征方程有两个相等的实根，所以对应齐次方程的通解为（2）求非
37、齐次方程的一个特解 因为方程右端，属于型，其中，且是特征方程的二重根，故设特解为因而有 ，将代入原方程并整理，得比较两端同次幂的系数，得，于是特解为 所以原方程的通解为 型 其中为常数，分别是的次，次多项式，并且其中有一个可以为零. 我们可以推导出这种类型的二阶常系数非齐次微分方程的特解的形式方程y+py+qy=elxPl (x)coswx+Pn(x)sinwx的特解形式 应用欧拉公式可得 elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx其中， 而m=maxl, n. 设方程y+py+qy=P(x)e(l+iw)x的特解为y1*=xkQm(x)e(l+iw)x，则必是方程的特解，其中k按liw
38、不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y+py+qy=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx的特解为 =xk elxR(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx. 综上所述，我们有如下结论： 如果f(x)=elx Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx， 则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=f(x)的特解可设为y*=xk elxR(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx，其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式， m=maxl, n， 而k 按l+iw (或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.例 4 求微分方程的一个特解.解 方程右端属于型，其中，因为原方程对应的齐次方程的特征方程的根为，故不是特征方程的根，所以可设特解为因而有 ，将代入原方程并整理，得比较两端同次幂的系数，有，解之得，所以原方程的特解为 习题 6-51求方程下列微分方程的通解 （1）； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6）；(7) ； (8) . 2. 求下列微分方程满足