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1、平行四边形常用的证明方法一利用平行四边形的相关定理证明L (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形例题：已知在四边形ABCD中，ZA-ZC, NB=ND.求证：四边形ABCD是平行四边形证明：I四边形 ABCD 是平行四边形，A ZADC=ZABC, NBAD=NDCB, A ZADE-ZCBF, AAE=AD, CF=CB, Z. Z EAD二NADE, NCBF=NFCB, VZADC=ZABC, A ZEAD=ZBCF, J NEAD+NBAD=NBCF+NDCB,即 NEAF=NECF, ZEAD=ZBCF, ZEAD=ZADE, ZCBF=ZFCB, ZEAD=ZADE=ZCBF=
2、ZFCB, AZE=ZF,边形(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形例题：如图，0AECF的对角线交于点0, DB经过点0,分别与AE, CF交于B, D. 行四边形四边形AFCE是平行四求证：四边形ABCD是平证明：VZA=ZC, ZB=ZD, XV ZA+ZC+ZB+ZD=360, A ZA+ZB=ZC+ZD=180, A ABCD, ADBC,四边形ABCD是平行四边形(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形例题：如图，Z7ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且NBAE二NDCF.求证：四边形AECF是平行四边形证明：四边形ABCD是平行四边形，二ND, AB=CD, AE
3、=CF, BE-DF, VAD=BC, AAF=EC,二四边形 AECF 是平行四边形(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形例题：如图，在。ABCD中，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD, CF=CB.求证：四边形AFCE是平 行四边形证明：四边形 AECF 是平行四边形，JA0=CO, ZFCA=ZCAE, VZDOC=ZAOB, A AAOBACOD, ADO=BO, 四边形ABCD是平行四边形(5) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例题：如图，C7ABCD中，AM= (2/3) AB, CN= (2/3) CD.求证：四边形AMCN是平行四形DB证明:四边形 AB
4、CD 是平行四边形,ABCD, AB-CD, VAM= (2/3) AB, CN= (2/3) CD, AAM/7CN, AM= CN,四边形AMCN是平行四形(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形例题：如图，在AABC中，AB=AC, D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形证明：TAB=AC, I)为BC中点，AD_LBC, BD=DC,:四边形ABDE是平行四边形，AAE=BD, AEBD, :A、 D、C在一条直线上，AAE=CD, AECD,四边形ADCE是平行四边形，V ZADC=90,四边形ADCE是矩形有三个角是直角的四边形是矩形例题：如图，BD,
5、BE分别是NABC与它的邻补角NABP的平分线.AEBE, ADBD, E, D为垂足，求证：四 边形AEBD是矩形证明：VBD, BE分别是NABC与它的邻补角NABP的平分线，NPBE=NABE=O. 5NABP, NABD二NDBO 0. 5ZABC, VZABP+ZABC=90,，NABE+NABD=NPBE+NDBOO. 5义 180, A ZEBD=90, VAEBE, ADBD, ZAEB=90, ZADB=90,，NEBD=NAEB=NADB=90,二四边形 AEBD 是矩形， 对角线相等的平行四边形是矩形例题：如图，C7ABCD的对角线AC、BD相交于点0, AOAB是等边三
6、角形，求证：四边形ABCD是矩形证明：:OAB是等边三角形，OA=OB, :四边形ABCD是平行四边形，AOA=OC, OB-OD, AAO=OB=OC=OD, AAC=BD, 四边形ABCD是矩形(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形例题：如图，在AABC中，AB = BC, D、E、F分别为BC、AC、AB边的中点。求证：四边形BDEF是菱形证明：VD. E、F 分别为 BC、AC、AB 边的中点，AF=BF, AE=CF, BD=CD, AEFBD, EDBF,，四边形 BDEF 是平行四边形，AB = BC, BF=BD,四边形BDEF是菱形 四条边都相等的四边形是菱形例题：如图，AA
7、BC中，NBAO90。，BG平分NABC, GFLBC于点F, AD_LBC于点D,交BG于点E,连接EF, 求证：四边形AEFG为菱形证明：TBG 平分/ABC, GFJ_BC 于点 F, ADJ_BC 于点 D, AAG=FG, VAG=FG, BG=BG, ARtAAGBRtAFGB (HL),.AB=BF, VAB=BF, BE=BE, NABG=NFBG, Z. AAEBAFEB,，AE=FE, V ZFBG+ZDEB=90, NGEA二N DEB, A ZFBG+ZGEA=90, ; NABG+NAGB = 90, NABG=NFBG, A ZAGB-ZAEG,.AG = AE,
8、J AG = AE二FG = EF,四 边形AEFG为菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形例题：如图，0是矩形ABCD的对角线AC的中点，EF经过。点且垂直于AC.求证：四边形AFCE是菱形证明：如图，是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，AAO=OC, VZ1=Z2, Z3=Z4, A AAEOACFO, OF二0E, J四边形AFCE是平行四边形，EFJ_AC,四边形AFCE是菱形 每条对角线平分一组对角的四边形是菱形 4. (1)有一组邻边相等的矩形是正方形例题：如图，AABC中.NABC=90 ,BD是角平分线,DE_LAB,DF，BC,垂足分别是E、F.求证：四边形DEBF是
9、正方形证明：VZABC=90 ,DEAB,DFBC,.四边形 EBFD 是矩形，;BD 是角平分线，DELAB, DFJ_BC, ADE=DF, 四边形DEBF是正方形有一个角是直角的菱形是正方形例题：如图，正方形ABCD中，E, F, GH分别为四条边上的点，并且AE二BF二CG二DH.求证：四边形EFGH为正 方形证明：VAE=BF=CG=DH, AB=BOCD=DA, ABF=CG=DH=AE, 丁 NABONBCD=NCDA二NDAB=90。, AAEBFA FCGAGDHAHAE, EF=FG=GH=EH,，四边形 EFGH 是菱形，VAEBFAFCG, A ZBEF=ZGFC, V
10、ZBEF+Z BFE=90, .ZGFC+ZBFE=90,，NEFG=90, 四边形 EFGH 为正方形二面积证法例题：如图，AABCD中M是DA延长线上一点，连接MB, MC,且MC交AB与N,连结DN,试说明三角形BMN 与三角形AND面积相等证明：:CDN与7ABCD等底等高（都以CD作底），.Sndn=0. 5SZ7ABCD, e SaaND+ SacBN-0. 5SoABCD， 又? AMBC 与7ABCD等底等高（都以BC作底）J SamBC-0. 5s6BCD， SanBC- SamNB-0. 5SoaBCD, S/NBc+ SamNB-SaaND- SacBN? SaaND-
11、Smb,，三角形BMN与三角形AND面积相等例题：如图，平行四边形ABCD中，平行于边的两条线段EF, CH把平行四边形ABCD分成四部分，分别记这 四部分的面积为Si, S2, S3和则下列等式一定成立的是（）A SfS3B S1+S3 = S2+S4 C Ss-SiS2-S4D Si X 83_82 X SiD PH CZS4 / S5 /F解:如图,AG=ER, GB=RF,/ S： ;s2a 5-q做 PQ_LAB 于 Q,交 CD 于 P,交 EF 于 R, VsfAG RQ, s2=BG RQ, S3=RF PR, slER PR,又丁 Z.si S3= AG RQ RF PR=E
12、R RQ GB PR= GB RQ ER PR=S2 s4,选 D例题：如图，点P为。ABCD内一点，Saapb / S7ABCD-2 / 5,求 SAPCD / S解：过点P做EFLCD于点F,交AB于E, SaBP=0.5ABEP, SEP / EF=4 / 5,EP=4EF / 5, A PF= EF / 5, .-.SapcffO. 5CD - PF=0. 5 CD EF / 5= CD - EF / 10= S / 10, Z.SaPCD / SoABCD-l / 10练习：1.如图，0ABCD中，EF过AC的中点0,与AD、BC分别相交于E、F.证明：四边形AECF是平行四边形2.
13、如图，点0是AABCD的对角线AC与BD的交点，四边形0CDE是平行四边形.求证：0E与AD互相平分 E DGCB F.如图，0ABCD各角的平分线分别相交于点E, F, G, H,求证：四边形EFGH是矩形.已知C7ABCD中，M是边AB的中点，且BM=CM,求证：四边形ABCD是矩形HBDDDB5.如图，过。ABCD的对角线交点0作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证：四边形EFGH是菱形6.如图，在AABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CEBF,连接BE、CF.CDE； (2)若AB=AC,求证：四边形BFCE是菱形.
14、如图，在直角三角形ABC中，ZC=90 , NCAB、NADB的度数；(2)试说明四边形CEDF是什么形状的特殊四边形.如图，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的.求证:(1)求证：ABDF四边形EFGH是正方形以AD为边作等边AADE. (1) 4ACD和4CBF9.如图，ZXABC为等边, D、F分别为BC、AB边上的点，CD-BF,全等吗？请说明理由；(2)判断四边形CDEF的形状，并说明理由；(3) D在BC上移动到何处时，ZDEF=3010.如图，在AABC中，点0是AC边上的一个动点，过点0作直线MNBC,设MN交NBCA的平分线于点E,交N BCA的外角平分线于点F。
15、求证：E0=F0；当。点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；当 NACB满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并证明你的结论B11.如图，0ABeD 中，ABAC, AB=1D,BC=V5 ,对角线AC、BD相交于点0,将直线AC绕点0顺时针旋转一定角度后，分别交BC、AD于点E、F. (1) 转过程中，线段AF与EC总保持相等;证明：当旋转角为90。时，四边形ABEF是平行四边形；(2)试说明在旋 (3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由;如果能，说明理由并求出此时AC绕点0顺时针旋转的度数12.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点0, E是AC上一点，过A作AGLEB,垂足为G, AG交BD于F, 请说明0E=0F；对于上述命题，若点E在AC的延长线上，AG_LEB交EB的延长线于点G, AG的延长线交DB的延 长线于点F,其他条件不变，如图所示，请你想一想，结论0E=0F”还成立吗？如果成立，请给予说明；如 果不成立，请说明理由