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1、多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课一、主要内容一、主要内容平面点集平面点集和区域和区域多元函数概念多元函数概念多元函数多元函数的极限的极限极极 限限 运运 算算多元函数多元函数连续的概念连续的概念多元连续函数多元连续函数的性质的性质全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念方向导数方向导数全微分全微分的应用的应用复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用多元函数的极值多元函数的极值1 1、多元函数的极限、多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是
2、任意的；0PP （2）二元函数的极限运算法则与一元）二元函数的极限运算法则与一元函数类似函数类似存在性存在性定义，夹逼定理定义，夹逼定理不存在不存在特殊路径、两种方式特殊路径、两种方式求法求法运算法则、定义验证、夹逼定理运算法则、定义验证、夹逼定理 消去致零因子、化成一元极限等消去致零因子、化成一元极限等2 2、多元函数的连续性、多元函数的连续性)()(lim00PfPfPP 3 3、偏导数概念、偏导数概念定义、求法定义、求法偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系高阶偏导数高阶偏导数纯偏导、混合偏导纯偏导、混合偏导4 4、全微分概念、全微分概念定义定义可微的必要条件可微的必要条件可微的充
3、分条件可微的充分条件利用定义验证不可微利用定义验证不可微多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导5 5、复合函数求导法则、复合函数求导法则),(),(),(yxvvyxuuvufz xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 法则22 “分道相加，连线相乘分道相加，连线相乘”法则的推广法则的推广任意多个中间变量，任意多任意多个中间变量，任意多 个自变量个自变量如何求二阶偏导数如何求二阶偏导数6 6、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的
4、全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu 、vu 、dvvzduuzdz .7 7、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(zyxGzyxF 0),(0),()4(vuyxGvuyxFzyzxFFyzFFxz ,公式法公式法直接法直接法全微分法全微分法8 8、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用(1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线求直线、平面的方程求直线、平面的方程定点（过点）、定向（方向向量、法向量）定点（过点）、定向（方向向量、法向量）曲线：参数式，一
5、般式给出曲线：参数式，一般式给出曲面：隐式、显式给出曲面：隐式、显式给出求隐函数偏导数的方法求隐函数偏导数的方法1010、多元函数的极值、多元函数的极值9 9、方向导数与梯度、方向导数与梯度定义定义计算公式（注意使用公式的条件）计算公式（注意使用公式的条件）梯度的概念梯度的概念向量向量梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系极值、驻点、必要条件极值、驻点、必要条件充分条件充分条件) 0(2 ACB求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：最值最值条件极值，目标函数、约束条件条件极值，目标函数、约束条件 构造构造 Lagrange 函数函数),(),(),(zyxzyxfzyx
6、F 二、典型例题二、典型例题例例1 1.)(lim2200yxxxyyx 求极限求极限解解)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等价于等价于则则yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0)(lim2200 yxxxyyx故故例例2 已知已知),(ztzyyxfw 求求twzwywxw 解解1fxw 21ffyw 32ffzw 3ftw twzwywxw 0 例例3 已知已知 )sin(cbyaxz 求求nmnmyxz 解解)cos(cbyaxaxz )2sin( cbyaxa)22sin(222 cbyaxaxz)2sin(
7、 mcbyaxaxzmmm)22sin(1 mcbyaxbayxzmmm)2)(sin( nmcbyaxbayxznmnmnm 例例4 4.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设解解)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2214fxfxx )(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx .2422114213f yf yxfxfx 例例5 5.,
8、0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数设设 解解,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 显然显然,dxdz求求得得的的导导数数两两边边求求对对,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故)(zyxezyx 求求22222,yzyxzxz 解一解一 记记)(),(zyxezyxzyxF 则则zyxFFF )(1zyxe 1 yzxz22222yzyx
9、zxz 0 解二解二 方程两边对方程两边对 x 求偏导求偏导 )1(1)(xzexzzyx 01)1()( zyxexz例例6 设设 1 xz由轮换对称性由轮换对称性1 yz22222yzyxzxz 0 两边取全微分两边取全微分 )()(dzdydxedzdydxzyx 0)(1 )( dzdydxezyx0 dzdydx即即dydxdz 1 yzxz22222yzyxzxz 0 解三解三 设有方程组设有方程组 3333322222cuzyxbuzyxauzyx求求dxdy解解两边对两边对 x 求导求导 00012222uuzzyyxuuz zyyxuzy这是一个以这是一个以 uzy ,为未知
10、量的三元为未知量的三元一次方程组一次方程组若系数行列式若系数行列式 222111uzyuzyD （ Vandermond行列式）行列式）0)()( zuyuyz例例7 则有则有 2221111uzxuzxDy )()(1zuxuxzD )()(yuyzxuxz 在半径为在半径为R的圆的一切内接三角形中，的圆的一切内接三角形中，求其面积最大者求其面积最大者解解如图若以如图若以 x ,y , z 表示三角形的表示三角形的三边所对的圆心角，则三边所对的圆心角，则 zyx三角形的面积三角形的面积)sinsin(sin212zyxRA 例例8 问题就是求问题就是求A在条件在条件 zyx下的最大值下的最大
11、值 xyz)2()sinsin(sin),( zyxzyxzyxF),0( zyx 0cos0cos0cos zFyFxFzyxzyxcoscoscos zyx 32 2max433RA 记记例例9 已知已知 ),(yxuu 满足方程满足方程 02222 yuaxuayuxu试选择参数试选择参数 ,通过变换通过变换yxeyxvyxu ),(),(使原方程变形所得新方程中没有使原方程变形所得新方程中没有 v 对对 x , y 的一阶偏导数的一阶偏导数解解yxevxvxu )(yxevxvxvxu )2(22222yxevyvyu )(yxevyvyvyu )2(22222代入方程代入方程 消去消
12、去yxe 0)()2()2(222222 vaayvaxvayvxv 令令 0202aa 解得解得2,2aa 因因 0)(22 a故变换后的方程为故变换后的方程为 02222 yvxv例例1010?,),(0000222222模模此方向导数等于梯度的此方向导数等于梯度的具有什么关系时具有什么关系时的方向导数，问的方向导数，问的向径的向径处沿点处沿点在点在点求求cbarzyxMczbyaxu 解解 ,20202000000zyxrzyxr .cos,cos,cos000000rzryrx 处的方向导数为处的方向导数为在点在点 M coscoscos0MMMMzuyuxuru 0020002000
13、20222rzczrybyrxax )(22222220000czbyaxr .),(2202020000zyxzyxu 处的梯度为处的梯度为在点在点 MkzujyuixugraduMMMM ,222202020kczjbyiax ,2424242000czbyaxgraduM ,时时当当cba ,22222000zyxagraduM ,2)(2202022202022222000000zyxazyxzyxaruM ,0MMgraduru .,模模此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的相相等等时时故故当当cba例例1111之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面222
14、2 zyxyxz解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设分析分析:最小最小即即且使且使满足满足，使得，使得本题变为求一点本题变为求一点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令得得 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx .81,41,41 zyx解此方程组得解此方程组得),81,41,41(即得唯一驻点即得唯一
15、驻点处取得最小值处取得最小值驻点，故必在驻点，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距离的最小值)81,41,41(.647241414161min d试求曲面试求曲面 xyz=1上任一点上任一点 ),( 处的法线方程和切平面方程处的法线方程和切平面方程并证明切平面与三个坐标面所围成的并证明切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积是一个常量四面体的体积是一个常量证证设设1),( xyzzyxFxyFxzFyzFzyx ,法线法线 zyx切平面切平面0)()()( zyx即即3 zyx例例12 切平面在三个坐标轴上的切平面在三个坐标轴上的截距截距分别为分别为 33,
16、33,33 故切平面与三个坐标面所围成的四面体的故切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积体积为为高高底底面面积积 31V|3|3|3|2131 29 |29 是一个常量是一个常量例例13 设设 y = f ( x ,t ) 而而 t 是由是由 F (x ,y ,t) 确定的确定的 x ,y 的函数的函数 ，试证明，试证明tyttxtxFFffFFfdxdy 证一证一方程组方程组 0),(),(tyxFtxfy确定了两个一元隐函数确定了两个一元隐函数 y =y (x) , t =t ( x )两边分别对两边分别对 x 求导得求导得 xtyxtFdxdtFdxdyFfdxdtfdxdy解得解得ty
17、ttxtxFFffFFfdxdy 证二证二本题主要是弄清楚函数关系本题主要是弄清楚函数关系 ，具体求导则，具体求导则很简单，很简单，初看起来似乎初看起来似乎 y 是是 x 的显函数的显函数y = f ( x ,t ) ，但由但由F ( x , y , t ) =0 可得可得 t = t ( x , y ) ，代入，代入y = f ( x ,t ) 得得 y = f x , t ( x , y ) 这是这是y = y ( x ) 的隐函数表示形式的隐函数表示形式 按题意按题意t = t ( x , y ) 满足满足F ( x , y , t ) =0 故故tytxFFytFFxt 由由t = t
18、 ( x , y ) 得得dxdyytxtdxdt 又又t = t ( x , y ) 满足满足y = f ( x ,t ) ，故，故dxdtffdxdytx 从而从而)(dxdyytxtffdxdytx 解得解得tyttxtxFFffFFfdxdy 证三证三两边取全微分并移项得两边取全微分并移项得 dxFdtFdyFdxfdtfdyxtyxt消去消去 dt 得得dxfFfFdyfFFtxxttyt)()( 解得解得tyttxtxFFffFFfdxdy 证四证四曲面曲面 F ( x , y , t ) =0 及及 y = f ( x ,t ) 在（在（x , t , y ) 空间中的法向量分别为空间中的法向量分别为 ytxFFFn,1 1,2 txffn21nn 是两曲面的交线是两曲面的交线 L 的切向量的切向量L 的方程为的方程为 )()(xyyxttxx故故L 的切向量为的切向量为 dxdydxdt, 1 21/nn 即即 xttxyxxyttfFfFFfFFfFdxdydxdt , 1 解得解得tytfFF tyttxtxxttxFFffFFffFfFdxdy