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1、数学物理方法格林函数现在学习的是第1页，共39页一、一、格林公式格林公式T上具有连续一阶导数上具有连续一阶导数,在区域在区域 及其边界及其边界()u r()v r和和 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理TdddTTdivASA V=A V(12.1.1)将对曲面将对曲面 的积分化为体积分的积分化为体积分 12.1 泊松方程的格林函数法泊松方程的格林函数法现在学习的是第2页，共39页d()dddTTTuuVuVuVSvvvv()uvu v u v 以上用到公式以上用到公式称上式为称上式为第一格林公式第一格林公式同理有同理有 d()dddTTTuu
2、Vu Vu VSvvvv上述两式相减得到上述两式相减得到()d()dTuuuuV Svvvv现在学习的是第3页，共39页n表示沿边界表示沿边界 的外法向偏导数的外法向偏导数称为称为第二格林公式第二格林公式进一步改写为进一步改写为()d()dTuSuuVn vuvvvn现在学习的是第4页，共39页二、泊松方程的格林函数法二、泊松方程的格林函数法1、讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题、讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题 泊松方程泊松方程()()ufrr边值条件边值条件()uunr()r是区域边界是区域边界 上给定的函数上给定的函数.是第一、第二、第三类边界条件的统一描述是第一、第二、第
3、三类边界条件的统一描述 现在学习的是第5页，共39页典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题()()()ufuunrrrn表示边界面表示边界面 上沿界面外法线方向的偏导数上沿界面外法线方向的偏导数 泊松方程泊松方程第一类边界条件：第一边值问题第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题狄里希利问题)第二类边界条件：第二边值问题第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题诺依曼问题)第三类边界条件：第三边值问题第三类边界条件：第三边值问题现在学习的是第6页，共39页2、格林函数的引入及其物理意义、格林函数的引入及其物理意义 引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须
4、定义一个与此定引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数解问题相应的格林函数 0(,)G r r 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：(,)()0GGGn00r rrr()0rr代表三维空间变量的代表三维空间变量的 函数函数，在直角坐标系中其形式为，在直角坐标系中其形式为 现在学习的是第7页，共39页0000()()()()xxyyzzrr格林函数的物理意义格林函数的物理意义：0r在区域在区域T内部内部 处放置一个单位正电荷，而该区域处放置一个单位正电荷，而该区域T的界面的界面上为零上为零
5、,那么该点电荷在区域那么该点电荷在区域T内内r处产生的电势，由此可以处产生的电势，由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函数为点源函数进一步理解通常人们为什么称格林函数为点源函数 现在学习的是第8页，共39页 格林函数互易定理格林函数互易定理：因为格林函数因为格林函数 0(,)G r r代表代表 0r处的点源在处的点源在 r处所产生的影响（或所产生的场）处所产生的影响（或所产生的场）,所以它只能是距离所以它只能是距离 0|rr的函数的函数,故它应该遵守如下的互易定理：故它应该遵守如下的互易定理：00(,)()GG,r rr r现在学习的是第9页，共39页()()()ufuunrrr()d()d
6、TuSuuVn vuvvvn根据格林第二公式根据格林第二公式 令令0(,)Gr rv得到得到()()d()()dTGuuGSuGG uVnrrrrndVrfrrGdVrrruTT)(),()()(00(,)()0GGGn00r rrr现在学习的是第10页，共39页根据根据函数性质有：函数性质有：00()()d()TuVurrrr故有故有 0000(,)()(,)()d(,)()dTGuuGfVGuSn r rr)rr rrr rrn称为称为泊松方程的基本积分公式泊松方程的基本积分公式 0000000000(,)()(,)()d(,)()dTuGuGfVGuSn r)r rrr rrr rrn格
7、林函数满足互易定理格林函数满足互易定理 并利用格林函数的对称性则得到并利用格林函数的对称性则得到 现在学习的是第11页，共39页考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下：第一类边值问题：第一类边值问题：()()|()ufurrr相应的格林函数相应的格林函数0(,)G r r是下列问题的解：是下列问题的解：000(,)(-)(,)|0 GGr rr rr r0000000000(,)()(,)()d(,)()dTuGuGfVGuSn r)r rrr rrr rrn 考虑到格林函数的考虑到格林函数的齐次边界条件齐次边界条件，第一类边值问题的解第一类边值问题的解000
8、(,)()(,)()d()dTGuGfVS nr rrr rrr另一形式的另一形式的第一类边值问题的解第一类边值问题的解 000000(,)()(,)()d+()dTGuGfVS r rrr rrr0n现在学习的是第12页，共39页2.第二类边值问题第二类边值问题 ()()|()pufunrrr相应的格林函数相应的格林函数0(,)G r r是下列问题的解：是下列问题的解：000(,)(-)(,)|0GGnr rr rr r由公式可得由公式可得第二类边值问题解第二类边值问题解 000()(,)()d-()(,)dTuGfVGS rr rrrr r0000000000(,)()(,)()d(,)(
9、)dTuGuGfVGuSn r)r rrr rrr rrn现在学习的是第13页，共39页3.第三类边值问题第三类边值问题 ()()()pufuunrrr 相应的格林函数相应的格林函数0(,)G r r是下列问题的解：是下列问题的解：000(,)(-)(,)0GGGnr rr rr r泊松方程的泊松方程的边值条件边值条件，两边同乘以格林函，两边同乘以格林函G现在学习的是第14页，共39页格林函数的边值条件的两边同格林函数的边值条件的两边同乘以乘以函数函数u得得 0GuGn相减得相减得到到uGGuGnn()puGuGnr代入（代入（14.2.9）得到）得到第三类边值问题的解第三类边值问题的解 00
10、01()(,)()d(,)dTuGfVGS rr rrr)r r (14.2.20)利用利用格林函数的互易性格林函数的互易性则则得到得到 000001()(,)()d()(,)d0TuGfVGS rr rrrr r(14.2.21)现在学习的是第15页，共39页这就是第三边值问题解的积分表示式这就是第三边值问题解的积分表示式右边第一个积分表示区域右边第一个积分表示区域 T中分布的源中分布的源 0()f r在在r点产生的场的总和点产生的场的总和.第二个积分则代表边界上的状况对第二个积分则代表边界上的状况对r 点场的影响的总和两项积分中的格林函数相同这说明泊松点场的影响的总和两项积分中的格林函数相
11、同这说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场 对于对于拉普拉斯方程拉普拉斯方程 0()0fr第一边值问题的解为第一边值问题的解为0000(,)()()dGuS r rrrn第三边值问题的解第三边值问题的解为为0001()()(,)duGS rrr r现在学习的是第16页，共39页12.2无界空间的格林函数无界空间的格林函数 基本解基本解无界区域这无界区域这种情形公式中的种情形公式中的面积分应为零，面积分应为零，故有故有 0000()(,)()dTuGfVrr rr选取选取()u r和和0(,)G r r分别满足下列方程分别满足下列
12、方程 ()()ufrr00(,)(-)Gr rr r现在学习的是第17页，共39页 三维球对称三维球对称对于对于三维球对称情形三维球对称情形，我们选取，我们选取 00r对上式两边在球内积分对上式两边在球内积分(,0)d()dTTGVV rr （14.3.4）()d1TVr （14.3.5）利用高斯定理利用高斯定理（14.1.1）得到）得到 2(,0)d(,0)d(,0)dsin d dTTSSGGVGVGrr rrrS (14.3.6)现在学习的是第18页，共39页 故有故有 2sin d d(,0)d1STGrGVr r使上式恒成立使上式恒成立，有，有 2(,0)41Grr r 1(,0)4
13、Gcrr r 0G 因此因此0c，,故得到故得到 1(,0)4 Grr现在学习的是第19页，共39页对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为001(,)4|Gr rrr （14.3.7）代入代入（14.3.1）得到）得到三维无界区域问题的解为三维无界区域问题的解为00T00()1()d4|fuVrrrr （14.3.8）上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式 现在学习的是第20页，共39页二维轴对称情形二维轴对称情形用单位长的圆柱体来代替球积分在单位长的圆柱体内进行，即用单位长的圆柱体来代替球积分在单位长的圆柱体
14、内进行，即因为因为(,0)d()dTTGVVrr()d1TVr(,0)d(,0)d(,0)dTTSGVGVG rrrS由于由于,rGGGre只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的圆柱体上、下底的面积分为零面积分为零，只剩下沿，只剩下沿侧面的积分侧面的积分，即，即 d d()d1TGrzVr r现在学习的是第21页，共39页选取的选取的圆柱的高度圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果为单位长，则很容易得到下面的结果 12Grr 11(,0)ln2Gcrr令令积分常数为积分常数为0，得到得到 11(,0)ln2Grr因此二维轴对称情形的格林
15、函数为因此二维轴对称情形的格林函数为0011(,)ln2|Gr rrr （14.3.9）将（将（14.3.9）代入式（）代入式（14.3.1）得到）得到二维无界区域的解二维无界区域的解为为000011()()lnd2|SufS|rrrr现在学习的是第22页，共39页 用电像法确定格林函数用电像法确定格林函数用格林函数法求解的主要困难还在于用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数需要寻找一个合适的格林函数 为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法为了求解的方便，对一些具体问题我们给
16、出构建格林函数的方法 电像法电像法 考虑一个具体的考虑一个具体的物理模型：设物理模型：设在一接地导体球内的在一接地导体球内的 0M放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零 点点现在学习的是第23页，共39页对于对于第一类边值问题第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解，其格林函数可定义为下列定解问题的解000(,)(-)(,)|0GGr rr rr r 为了满足边界条件：电势为零，所以还得在为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点（或边界外像点（或对称点）对称点）放置放置一个合适的负电荷，这样才能使这
17、两个电荷在界面上产一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产生的电势之和为零生的电势之和为零 这方法是基于这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数静电学的镜像原理来构建格林函数，所以我们称，所以我们称这种构建方法为这种构建方法为电像法（也称为镜像法）电像法（也称为镜像法）现在学习的是第24页，共39页 上半平面区域第一边值问题的格林函数构建上半平面区域第一边值问题的格林函数构建拉普拉斯方程的第一边值问题求解拉普拉斯方程的第一边值问题求解物理模型：物理模型：若在若在 000(,)Mx y处放置一处放置一正单位点电荷正单位点电荷 则虚设的则虚设的负负单位点电荷单位点电荷应该在应该在 100
18、(,)Mxy于是得到这两点于是得到这两点电荷电荷在在 xoy 的上半平面的的上半平面的电位分布电位分布也就是也就是本问题的格林函数，即为本问题的格林函数，即为 0010022220000220022001111(,)lnln2|2|1111(,|,)lnln22()()()()()()1 ln4()()GG x y xyxxyyxxyyxxyyxxyyr rrrrr （14.4.2）现在学习的是第25页，共39页据上述据上述物理模型物理模型可求解下列定解问题可求解下列定解问题 例例14.6.1 定解问题：定解问题：00,(0)|()xxyyyuuyux【解】【解】根据根据第一边值问题第一边值问
19、题，构建的格林函数满足，构建的格林函数满足 200()()xxyyGGGxxyy 0|0yG0000(,),(,)xyxy处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）构构建格林函数为建格林函数为 2200002200()()1(,|,)ln4()()xxyyG x y xyxxyy现在学习的是第26页，共39页边界外法线方向为负边界外法线方向为负y轴，故有轴，故有 0000222222000000111|=2()()()yyyyGGnyxxyxxyxxy代入到代入到拉普拉斯第一边值问题拉普拉斯第一边值问题解的公式（解的公式（14.2.13），拉普拉斯方程的）
20、，拉普拉斯方程的自由项自由项0f,则由则由000(,)()(,)()d()dTGuGfVS r rrr rrrn得得 0002200()(,)d()yxu xyxxxy (14.4.3)现在学习的是第27页，共39页或代入或代入拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的第一边值问题第一边值问题的解公式（的解公式（14.2.2214.2.22）0000(,)()()dGuS r rrrn得到得到00220()(,)d()g xyu x yxxxy (14.4.4)公式（公式（14.4.3）或（）或（14.4.4）称为）称为 上半平面的拉普拉斯积分公式上半平面的拉普拉斯积分公式现在学习的是第28页，共39页2.
21、泊松方程的第一边值问题求解泊松方程的第一边值问题求解 例例14.6.2 定解问题：定解问题：(,)(+,0)(,0)()(+,0)xxyyuuf x yxyu xxxy 根据根据第一类边值问题的解公式第一类边值问题的解公式(14.2.14)(14.2.14)得到得到 000000000000(,)(,)(,;,)(,)d d()|dyGu x yG x y xyf xyx yxx 0nr r （14.4.514.4.5）现在学习的是第29页，共39页根据根据半平面区域第一类边值问题的格林函数半平面区域第一类边值问题的格林函数(14.4.2)式式，得到，得到 2200002200()()1(,|
22、,)ln4()()xxyyG x y xyxxyy (14.4.6)因为边界上的法线为负因为边界上的法线为负y轴，故轴，故 002200|()yyGGnyxxy (14.4.7)将（将（14.4.6）和）和(14.4.7)代入（代入（14.4.5）得到泊松方程在）得到泊松方程在半平面区域第半平面区域第一边值问题的解一边值问题的解220000000022220000()()()11(,)ln(,)d dd4()()()xxyyyxu x yf xyx yxxxyyxxy 现在学习的是第30页，共39页14.4.2 上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题物
23、理模型物理模型:y z x 0000(,)Mx y z 1000(,)M x yz(,)M x y z 图 14.1 现在学习的是第31页，共39页例例14.4.3 在在上半空间上半空间0z内求解拉普拉斯方程的内求解拉普拉斯方程的第一边值问题第一边值问题 00,(0)|(,)xxyyzzzuuuzux y【解解】构建格林函数】构建格林函数000(,)G x y z xyz满足满足0000()()()|0 zGxxyyzzG 现在学习的是第32页，共39页00111(,)4|4|Gr rrrrr根据根据物理模型和无界区域的格林函数物理模型和无界区域的格林函数可以构建为可以构建为022222200
24、000011(,)4()()()4()()()Gx xy yz zx xy yz zr r(14.4.8)即有即有 现在学习的是第33页，共39页为了把为了把0(,)G r r代入代入拉普拉斯拉普拉斯第一边值问题第一边值问题的解的公式（的解的公式（14.2.22），），需要先计算需要先计算000|zGn即为即为000|zGz 000000222000002220000222 3/200|11 ()4()()()1 +()|()()()1 =2()()zzzGGnzzxxyyzzzxxyyzzzxxyyz现在学习的是第34页，共39页代入代入（14.2.22）即得到）即得到 0000222 3/
25、200(,)(,)d d2()()g xyzu x y zx yxxyyz 这公式叫作这公式叫作半空间的拉普拉斯积分半空间的拉普拉斯积分（14.4.9）现在学习的是第35页，共39页14.4.3 圆形区域第一边值问题的格林函数构建圆形区域第一边值问题的格林函数构建物理模型【物理模型【2】：】：在圆内任找一点在圆内任找一点 0()M 1R P 2R 1M 图 14.2 x 00()M 放置一个单位放置一个单位现在学习的是第36页，共39页根据图根据图14.2，这两线电荷在圆内任一观察点，这两线电荷在圆内任一观察点()P 所产生的所产生的电势电势为为0111lnln2|2|ucb 当观察点当观察点
26、P位于圆周上位于圆周上()a时，应该有时，应该有0u，即满足，即满足第一类齐次边值条件第一类齐次边值条件|0u ,即为即为2222001ln2cos()ln2cos()044aaababc现在学习的是第37页，共39页上式应对任何上式应对任何值成立，所以上式对值成立，所以上式对的的导数应为零导数应为零，即，即02222002sin()12sin()042cos()42cos()aabaaabab即得到即得到 22220002cos()2cos()0b aaabab要求上式对要求上式对任意任意的的值要成立，故提供了确定值要成立，故提供了确定,b的方程的方程22220000()()0220b aababab 现在学习的是第38页，共39页 联立解得联立解得 201,ab 于是圆形区域于是圆形区域()a的第一类边值问题的格林函数为的第一类边值问题的格林函数为02001111(,)lnln2|2|Ga （14.4.10）即为即为 2242000222002cos()1(,)ln42cos()aaGa (14.4.11)2222000,xyxy.其中其中现在学习的是第39页，共39页