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1、文科考研微积分第一章函数极限连续1现在学习的是第1页，共55页前言二、考试开卷考，其中60%以上的题为上课讲过的例题。一、例题基本上是往年考研题，题量大，全面涵盖考纲；三、课程分三部分：1、微积分，10次；2、线性代数，4次。3、综合，1次。2现在学习的是第2页，共55页(文科)考研辅导第一部分：微积分3现在学习的是第3页，共55页第一章 函数、极限、连续内容提要一、函数函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；反函数、复合函数、隐函数和分段函数；实际问题的函数关系的建立。基本初等函数的性质及其图形；初等函数；函数的概念及表示；4现在学习的是第4页，共55页二、极限数列极限与函数极限的定义及其性质
2、；)(lim0 xfxx存存在在 )0(),0(00 xfxf存存在在且且相相等等；无穷小量和无穷大量的概念及其关系*重要的等价无穷小：函数的左极限和右极限：0 x,sinxx,)1ln(xx,tanxx,1exx，221cos1xx.1)1(xx ,ln1axax*无穷小的比较，高阶、低阶、同阶、等价的定义；5现在学习的是第5页，共55页极限的四则运算法则；极限存在的两个判定准则：单调有界准则、夹逼准则；，1sinlim0 xxx.e)1(lim10 xxx两个重要极限：6现在学习的是第6页，共55页三、函数的连续性函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性：初等函数在其定义域内连续
3、。闭区间上连续函数的性质(最值定理，介值定理，零点定理).7现在学习的是第7页，共55页典型例题典型例题 (8 87 7 二二3 3)xxxxfcose|sin|)(，x是是().(A)有界函数；(B)单调函数；(C)周期函数；(D)偶函数分析 此题主要是考察函数的性质,用定义来分析.当当22 nxn时时,所以答案是(D).又，显然不是单调函数和周期函数,并且很容易证明它是偶函数.解只只要要 n,则则 e)22()(nxfn,所以所以)(xf无界无界.)(xf例18现在学习的是第8页，共55页(9 90 0)设设函函数数xxxxfsinetan)(,则则)(xf是是（）类题(A)偶函数；(B)
4、无界函数；(C)周期函数；(D)单调函数答案：(B)9现在学习的是第9页，共55页(8888 三三 5)5)设设2e)(xxf,xxf 1)(且且0)(x,求求)(x 及其定义域及其定义域.再求定义域：即即定定义义域域为为0,(.例2解,1e)(2 )(xxfx ,)1ln()(2xx ，而而0)(x,)1ln()(xx 0)1ln(x11 x,0 x10现在学习的是第10页，共55页若若对对任任意意x,有有xxxfxf2)1(2)(2 ,求求)(xf.与与原原式式联联立立,消消去去)1(xf,得得到到 )22(31)(2 xxxf.例3解，令令tx 1,1)1(2)1()(2)1(22 tt
5、ttftf则则，即即1)(2)1(2 xxfxf11现在学习的是第11页，共55页设设,nnncba均均为为非非负负数数列列，且且0lim nna,1lim nnb,nnclim,则则必必有有 （A A）nnba 对对任任意意 n 成成立立；（B B）nncb 对对任任意意 n成成立立；（C C）极极限限nnnca lim不不存存在在；（D D）极限极限nnncb lim不存在不存在。选(D).例4解(03,4)分分析析 本本题题考考查查极极限限概概念念，极极限限值值与与数数列列前前面面有有限限项项的的大大小小无无关关，可可立立即即排排除除(A),(B)；极极限限nnnca lim是是 0型型
6、未未定定式式，可可能能存存在在也也可可能能不不存存在在；极极限限nnncb lim属属 1型型，必必为为无无穷穷大大量量，即即不不存存在在.12现在学习的是第12页，共55页极限的计算：极限的计算：(9 92 2,数数一一)当当1x时时,函函数数112e11 xxx的的极极限限 (A A)等等于于 2 2 (B B)等等于于 0 0 (C C)为为 (D D)不不存存在在但但不不为为 答案：选(D)。解可可见见 1121e11lim xxxx 不不存存在在但但不不为为。例1一、左右极限法,211lim 21 xxx因为因为，所所以以0e11lim 1121 xxxx,e11lim1121 xx
7、xx,0elim111 xx,elim111 xx13现在学习的是第13页，共55页(9 92 2,数数一一)求求极极限限 )|sine1e2(lim410 xxxxx .解例2)|sine1e2(lim410 xxxxx )sine1e2(lim410 xxxxx ,1112 )|sine1e2(lim410 xxxxx )sin1eee2(lim4340 xxxxxx ,110 所所以以 原原式式1.14现在学习的是第14页，共55页二、未定式),0,1,0,00,(00 洛必达法则(8 89 9,5 5 分分)求求极极限限 xxxx)1cos1(sinlim .解例3所所以以 原原式式e
8、.令令tx 1，则则有有 原原式式tttt10)cos(sinlim ，tttytt)cosln(sinlimlnlim00 tttt1cossinlim0 ,1 15现在学习的是第15页，共55页(0 04 4,8 8 分分)求求极极限限 )cossin1(lim2220 xxxx。解例4xxxxxxxxxx2222202220sincossinlim)cossin1(lim 42202sin41limxxxx 3044sin212limxxxx 2064cos1limxxx 2206)4(21limxxx.34 16现在学习的是第16页，共55页(0 08 8,9 9 分分)求求极极限限
9、xxxxsinln1lim20.解例5xxxxsinln1lim20)1sin1ln(1lim20 xxxx30sinlimxxxx 2031coslimxxx xxx6sinlim0 .61 注：求未定式极限时，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.17现在学习的是第17页，共55页(0 09 9,4 4 分分)求求极极限限 11eelim32cos0 xxx.解例611eelim32cos0 xxx11)e1(elim321cos0 xxx2031cos1limexxx 2203121limexxx.e23 18现在学习的是第18页，共55页求求极极限限33201e)211(limxxxxx
10、x .分分子子)11(1e)211(32 xxxx，拆开考虑，(洛必达法则)原极限原极限312161 .解例73201e)211(limxxxxx 2203e21limxxxx,61 2121lim11lim330330 xxxxxx，(等价无穷小替换)19现在学习的是第19页，共55页xxxx10)1(elim ，xxy1)1(，xxy)1ln(ln 2)1ln(1xxxxyy )1()1ln()1()1(lim210 xxxxxxxx 2010)1ln()1(lim1)1(limxxxxxxxxx xxx2)1ln(lime0 .2e 及时分离非零因子 例820现在学习的是第20页，共55
11、页(+0 05 5,7 7 分分)计计算算极极限限 )1sin1(lim2xxxx 。解例9，令令xt1 )1sin1(lim2xxxx 30sinlimtttt 203cos1limttt ttt6sinlim0.61 21现在学习的是第21页，共55页(+0 08 8,9 9 分分)计计算算极极限限 2200720081)1(lim xxxxx。解例102200720081)1(lim xxxxx2)1(20081)1(1lim xxxxx2200801)1(lim1ttxttt 2)1ln(200801elimtttt 20)1ln(2008limtttt 202008limtttt .
12、2008 22现在学习的是第22页，共55页函数极限的逆问题：函数极限的逆问题：(04,4(04,4 分分)若若5)(cosesinlim0 bxaxxx，则，则 a=，b=.解因因为为 5)(cosesinlim0 bxaxxx，例1且且 0)(cossinlim0 bxxx，所所以以 0)e(lim0 axx，得得1 a，)(cos1esinlim0bxxxx ,51)(coslim0 bbxxxx得得4 b。23现在学习的是第23页，共55页(+0 06 6,7 7 分分)已已知知极极限限)31ln(sin4)(lim20 xxxxxfx 存存在在，求求)(lim0 xfx。解例2)31
13、ln(sin4)(lim0 xxxxxfx ,0lim)31ln(sin4)(lim020 xxxxxxfxx所以)31ln(sin4)(lim)(lim00 xxxxxfxfxx .1340 xxxxxx)31ln(limsin4lim00 24现在学习的是第24页，共55页(+0 09 9,9 9 分分)设设函函数数)(xf在在点点0 x的的邻邻域域内内连连续续,极极限限 解例3)1ln(2)(3lim20 xxxxfAx 存存在在，（1 1）求求)0(f的的值值；（2 2）若若 1 A，问问：)(xf在在点点0 x处处是是否否可可导导？如如不不可可导导，说说明明理理由由；如如可可导导，求
14、求出出 )0(f .(1)1ln(2)(3lim3lim)(lim2000 xxxxfxxfxxx ,3131320 Axxx3)1ln(lim320 因因)(xf在在点点0 x处处连连续续，所所以以 31)(lim)0(0 xffx.25现在学习的是第25页，共55页0)0()(lim)0(0 xfxffx2020)1ln(lim31)1ln(2)(3lim31xxxxxxxfxx .21)211(31 )1ln(2)(3lim20 xxxxfAx 存存在在，31)0(fxxfx1)(3lim310 (2)26现在学习的是第26页，共55页数列极限：数列极限：(9 90 0,3 3 分分).
15、)3(lim nnnnn 解例1)3(limnnnnn nnnnnnnnn 3)(3limnnnnnn 34lim.2 27现在学习的是第27页，共55页(0 06 6,4 4 分分).)1(lim)1(nnnn 解例2,1ln)1(limlnlimnnynnn )1(n 有有界界，,01lnlim nnn所所以以 01ln)1(lim nnnn，【答案】应填1。28现在学习的是第28页，共55页，记记21)tan(ttty 这是数列极限,不能直接使用洛必达法则,要先化为函数极限.令令xt1，则则原原极极限限化化为为210)tan(limtttt，例3分析(98三6).)1tan(lim2nn
16、nn 求求极极限限解，先求先求2)1tan(limxxxx)1(200lntanlnlimlnlimtttytt )00(ttttt21tanseclim20 tttt21cossin1lim0 tttttttcossin2cossinlim20 29现在学习的是第29页，共55页所所以以 原原极极限限31e.3022sin21limtttt 2062cos1limttt 22062limttt，31 tttttttcossin2cossinlim20 30现在学习的是第30页，共55页(0 06 6,1 12 2 分分,数数一一)设设数数列列nx满满足足 10 x,),2,1(sin1 nx
17、xnn.解例4（1 1）由由不不等等式式 )0(sin xxx知知，,sin1nnnxxx ,0 nx（1 1）证证明明nnx lim存存在在，并并求求该该极极限限 ；（2 2）计计算算 211)(limnxnnnxx 。即即知知数数列列nx单单调调减减少少且且有有界界，因因此此极极限限nnx lim存存在在；设设lxnn lim，在在nnxxsin1 两两边边令令 n，得得llsin，解解得得0 l，即即 0lim nnx。31现在学习的是第31页，共55页,)sin(lim)(lim)2(22111nnxnnnxnnnxxxx 令令nxt ，210)sinln(limtttt20sinln
18、limtttt 20)1sin1ln(limtttt 201sinlimtttt 30sinlimtttt 2031coslimttt ttt6sinlim0 ,61 所以.e)sin(lim)(lim6111122 nnxnnnxnnnxxxx32现在学习的是第32页，共55页设设101 x，nnxx 61，),2,1(n，试试证证数数列列nx极极限限存存在在，并并求求此此极极限限.(96三5)3 l类题33现在学习的是第33页，共55页.)(222的的极极限限存存在在，并并求求之之重重根根式式证证明明数数列列nxn 证类题,21nnxx 递递推推公公式式，22221 xx,221 x又又,
19、2 nx设设nnxx 21则则22 ,2;有有上上界界nx,lim存存在在nnx,21 nxxnn两两边边令令对对,2AA 得得1,2 AA解解得得(舍去).2lim nnx,1 nnxx设设;是单调递增的是单调递增的，由归纳法知由归纳法知nxnnxx 21则则12 nx,nx,limAxnn 设设,22AA 即即34现在学习的是第34页，共55页设设22222212111nnnnun ，求求 nnu lim.解例5222)(11)2(11)1(11nnnnnnnun ninin12)(111 1021dxxn102)1ln(xx.)21ln(35现在学习的是第35页，共55页例6 与上题不同
20、,每一项根号里提出n之后,得不到积分和式,改用夹逼定理,设设nnnnun 22212111，求求 nnu lim.解,122 nnunnnn,11limlim22 nnnnnnn因因为为.1lim nnu所所以以36现在学习的是第36页，共55页无穷小量的比较：无穷小量的比较：(89,3(89,3 分分)设设232)(xxxf，则当，则当0 x时时 (A)(A)(xf与与 x 是等价无穷小是等价无穷小 (B)(B)(xf与与 x 是同阶但非等价无穷小是同阶但非等价无穷小 (C)(C)(xf是比是比 x 更高阶的无穷小更高阶的无穷小 (D)(D)(xf是比是比 x 较低阶的无穷小较低阶的无穷小
21、【】解例1xxxx232lim0 13ln32ln2lim0 xxx ,16ln3ln2ln 【答案】应选(B)。37现在学习的是第37页，共55页(9 92 2,3 3 分分)当当0 x时时，下下列列四四个个无无穷穷小小量量中中，哪哪一一个个是是比比其其他他三三个个更更高高阶阶的的无无穷穷小小量量？(A A)2x (B B)xcos1 (C C)112 x (D D)xxtan 例2解,21cos12xx,211122xx 20tanlimxxxx xxx2sec1lim20 .02tansec2lim20 xxx【答案】应选(D)。38现在学习的是第38页，共55页(0 07 7,4 4
22、分分)当当 0 x时时，与与x等等价价的的无无穷穷小小量量是是(A)xe1 (B)1ln(x (C)11 x(D)xcos1 例3解【答案】应选(B).当当 0 x时时，有有 xe1)1e(x;x;)1ln(xx 11 x;21xxcos1.21)(212xx 39现在学习的是第39页，共55页(09,4(09,4 分分)当当0 x时，时，axxxfsin)(与与)1ln()(2bxxxg 是等价无穷小，则是等价无穷小，则 (A)(A)61,1 ba (B)(B)61,1 ba (C)(C)61,1 ba (D)(D)61,1 ba 例4解)1ln(sinlim)()(lim200bxxaxx
23、xgxfxx 30sinlimbxaxxx ,13cos1lim20 bxaxax因因为为 0)3(lim20 bxx，所所以以 0)cos1(lim0 axax，40现在学习的是第40页，共55页,13cos1lim20 bxaxax于于是是得得 1 a，,0)cos1(lim0 axax,1613cos1lim20 bbxxx.61 b【答案】应选(A).41现在学习的是第41页，共55页(+07,8(+07,8 分分)设设1x时，时，xCBxAx22ln )1(2 xo，其中其中)1(2 xo是当是当1x时比时比2)1(x高阶的无穷小高阶的无穷小，求常数求常数 A、B、C 之值之值 解例
24、52221)1(lnlim0 xxBABxAxx0)ln(lim221 xCBxAxx;0 CBA)1(21ln22lim1 xxxBAxx;02 BAxxxAxAxx)1(2ln222lim021 .1,2,1 CBA2224lim1xAAxx ;1 A42现在学习的是第42页，共55页函数的连续性及间断点的分类：函数的连续性及间断点的分类：(92,5(92,5 分分)设函数设函数 1 ,1 1 ,2sin1)1cos(ln)(xxxxxf，问，问函数函数)(xf在在1 x处是否连续？若不连续，修改函数在处是否连续？若不连续，修改函数在1 x处的定义使之连续。处的定义使之连续。解例1xxxf
25、xx2sin1)1cos(lnlim)(lim11 ttxtt2cos1coslnlim 1 0 ttt2cos11coslim0 220)2(2121limttt ,42 43现在学习的是第43页，共55页214)(lim xfx而而 1)1(f，故，故)(xf在在1 x处不连续；处不连续；若若令令24)1(f，则则函函数数在在1 x处处的的定定义义连连续续。44现在学习的是第44页，共55页设设函函数数nnxxxf21 1lim)(，求求)(xf的的分分段段表表达达式式，在在1 x处处间间断断；并讨论其连续性。(98,3分)(xf，0)01(f，2)01(f，)1(0)01()01(fff
26、在在1 x处处连连续续；所所以以)(xf仅仅在在1 x处处间间断断。1xy-1例2解1|x,01|x,1x 1 x,01 x,145现在学习的是第45页，共55页(0 03 3,8 8 分分)设设).1,21,)1(1sin11)(xxxxxf 例3解试补充定义试补充定义)1(f，使得，使得)(xf在在 1,21上连续。上连续。)1(1sin11lim)(lim11xxxxfxx xxxxx sin)1(sin)1(lim111 xxxxx cos)1(sincoslim111 46现在学习的是第46页，共55页xxxxx cos)1(sincoslim111 xxxxxx sin)1(cos
27、cossinlim11221 ,1 因因此此定定义义 1)1(f，可可使使)1(f在在 1,21上上连连续续。47现在学习的是第47页，共55页(0 08 8,4 4 分分)设设函函数数)(xf在在区区间间1,1 上上连连续续，则则0 x是是函函数数xttfxgx 0d)()(的的（）(A A)跳跳跃跃间间断断点点 (B B)可可去去间间断断点点 (C C)无无穷穷间间断断点点 (D D)振振荡荡间间断断点点 例4解xttfxgxxx 000d)(lim)(lim,)0()(lim0fxfx 所所以以0 x是是函函数数)(xg的的可可去去间间断断点点。【答案】应选(B).48现在学习的是第48
28、页，共55页(09,4(09,4 分分)函数函数xxxxf sin)(3 的可去间断点的个数为（的可去间断点的个数为（）(A)1(A)1 (B)2(B)2 (C)3(C)3 (D)(D)无穷多个无穷多个 例5解,03 xx,1,0 xxxxx sinlim30 xxx cos31lim20 ,1 xxxx sinlim31 xxx cos31lim21 ,2 xxxxf sin)(3 是是偶偶函函数数，所所以以 2sinlim31 xxxx，即即1,0 x均均为为函函数数)(xf的的可可去去间间断断点点。【答案】应选(C).49现在学习的是第49页，共55页讨讨论论函函数数)1/(e11)(x
29、xxf 的的间间断断点点及及其其类类型型.间间断断点点为为1 x及及0 x，所所以以1 x为为(第第一一类类)跳跳跃跃间间断断点点；所所以以0 x为为(第第二二类类)无无穷穷型型间间断断点点。，0)(lim1 xfx，1)(lim1 xfx，)(lim0 xfx例6解50现在学习的是第50页，共55页(+0 06 6,3 3 分分)设设1)23()2)(2(lim)(22 xxnxxnxfn，则则)(xf的的第第一一类类间间断断点点是是 。解例71)23()2)(2(lim)(22 xxnxxnxfnnxxxxnn123)2)(21(lim22 23222 xxxx,)2)(1()2)(1(x
30、xxx所所以以 2 x 是是第第一一类类（可可去去型型）间间断断点点。51现在学习的是第51页，共55页其它：其它：设设nnxxxu2cos4cos2cos，0 x，求求 nnu lim.解例1nnnnxxxxxu2sin2sin2cos4cos2cos ,2sin2sinnnxx nnnnnxxu2sin2sinlimlim 所以nnnxx22sinlim .sinxx 52现在学习的是第52页，共55页 xxfxcos1)(lim04)(lim220 xxfx，已知已知4cos1)(lim0 xxfx，求，求xxxxf10)(1(lim.,2)(lim20 xxfxxxfx)(lim0于于
31、是是xxxxf10)(1(lim 2)()(0)(1(limxxfxfxxxxf .e2 解例2.0)(lim20 xxxfx53现在学习的是第53页，共55页求求证证:方方程程0cos xqpx恰恰有有一一个个实实根根,其其中中qp,为为常常数数,且且10 q.设设xqpxxfcos)(,由于由于 )cos(lim)(limxqpxxfxx,所以所以21xx ,使使0)(1 xf,0)(2 xf,显显然然)(xf在在,21xx上上连连续续,由由介介值值定定理理,知知),(21xx ,使使得得0)(f,即即方方程程0)(xf至至少少有有一一实实根根.因因为为 0sin1)(xqxf,即即)(xf在在),(上上单单调调增增加加,例3证(92八6)存在性:,)cos(lim)(lim xqpxxfxx故根惟一.54现在学习的是第54页，共55页END55现在学习的是第55页，共55页