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1、1/29,一、一个方程的情形,二、方程组的情形,第五节 隐函数求导法,三、小结,2/29,隐函数在实际问题中是常见的.,平面曲线方程,空间曲面方程,空间曲线方程,下面讨论如何由隐函数方程,如,求偏导数.,3/29,一、一个方程的情形,在一元函数微分学中,现在利用复合函数的链式法则给出隐函数(1),的求导法.,并指出:,曾介绍过隐函数,的求导公式,隐函数存在的一个充分条件.,4/29,隐函数存在定理1,设二元函数,的某一邻域内满足:,在点,则方程,的某一邻域内,并有,(1) 具有连续偏导数;,它满足条件,在点,隐函数的求导公式,(2),(3),恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数,(证明从略
2、)仅推导公式.,将恒等式,两边关于x求导,由全导数公式,得,5/29,或简写:,于是得,所以存在,的一个邻域,在这个邻域内,6/29,解.,令,则,例1.,7/29,则方程,内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的,并有,具有连续偏导数;,若三元函数,的某邻域内,函数,它满足条件,在点,在点,2.,由三元方程,确定二元隐函数,隐函数存在定理2,的某一邻域,(1),(2),(3),满足:,8/29,(证明从略)仅推导公式.,将恒等式,两边分别关于x和y求导,应用复合函数求导法得,是方程,所确定的隐,设,函数,则,所以存在,的一个邻域,在这个邻域内,因为,连续,于是得,9/29,例2.,解.,则,
3、令,注意：,10/29,将,再一次对y求偏导数,得,11/29,例3. 设有隐函数 ,其中F的偏导数连续,求,解.,令,法一,由公式.,12/29,将隐函数方程两边取全微分,即,故,从而,此法步骤清楚,法二,利用全微分.,求,得,13/29,将方程两边求导.,对x求偏导:,u,v,即,自己练习,法三,14/29,解.,令,则,整理得,1.,2.,把z看成x, y的函数对x求偏导数,得,把x看成y, z的函数对y求偏导数,得,例4.,15/29,整理得,整理得,3.,把y看成x, z的函数对z求偏导数,得,16/29,二、方程组的情形(隐函数组),下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的,确定两个二
4、元函数,求,故由方程组,求导方法.,17/29,将恒等式,两边关于x求偏导,解这个以,为未知量的线性方程组,由链式法则得:,18/29,解得,当系数行列式不为零时,即,雅可比行列式,Jacobi,C.G.j.(德)1804-1851,19/29,同理,两边关于y求偏导,得,20/29,特,如果方程组,它可能确定两个,现假定它确定,且两个函数都,则求,的方法同前面求,的方法相同.,为,可微,别,一元函数,21/29,例5.,解.,分析,方程组两边对,x求导,22/29,得,例6.,设方程组,确定函数,解.,原方程组两边分别对,x求偏导数：,23/29,解方程组得,移项得：,24/29,原方程组两边分别对,解方程组得,y求偏导数：,25/29,解. 用全微分,一阶连续导数和一阶连续偏导数,例7.,26/29,(以下三种情况),隐函数的求导法则,三、小结,27/29,思考题,分析,方程组中含有五个变量,由题意看出,是因变量,是自变量,y究竟是因变量,还是自变量?,在这种所求偏导是一阶,而又有,一变量的属性不太明确的情况下,形式不变性来处理比较简便.,用全微分,28/29,解答,的两边求全微分,得,