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1、1/26,一、复合函数求导的链式法则,三、一阶全微分形式的不变性,第四节 多元复合函数的 求导法则,二、复合函数的高阶偏导数,四、小结,2/26,复合函数为,的情形.,一、复合函数求导的链式法则,3/26,则复合函数,偏导数存在,且可用下列公式计算,具有连续偏导数,1、定理,4/26,证.,可微,由于函数,有连续偏导数,5/26,同理可证另一个公式。,6/26,变量树图,7/26,2、项数,3、每一项,中间变量,函数对中间变量的偏导数，乘以中 间变量对其指定自变量的偏导数.,的个数.,公式特征： 1、偏导数公式个数自变量个数,8/26,中间变量多于两个的情形,类似地推广,复合函数,在对应点,的
2、两个偏导数存在,且可用下列公式计算:,9/26,解.,例1.,10/26,例2. 设,解.,求 .,11/26,二、复合函数的高阶偏导数,对复合函数求高阶偏导数时,需注意:,导函数仍是复合函数.,故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.,例3. 设 f具有二阶连续偏导数,解.,12/26,u,f具有二阶连续偏导数,13/26,u对中间变量 r,s 的偏导数,从而也是自变量x, t 的复合函数.,都是x, t 的函数,注2,注1,为了书写简便,常引进记号:,表示对第一个中间变量求偏导,表示对第二个中间变量求偏导,表示先对第一个中间变量求偏导,再,对第二个中间变量求偏导.,14/26,解
3、.,15/26,2、,的情形.,定理,且,其导数可用下列公式计算:,具有连续偏导数,导数,称为,全导数。,16/26,复合函数的中间变量多于两个的情况.,定理推广,变量树图,17/26,例5. 设 求,这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便.,法二,y,u,v,x,解.,法一,可用取对数求导法计算.,18/26,即,两者的区别,3.,的情形.,把复合函数,中的y,看作不变而对x的偏导数,把,中的u及y,看作不变,而对x的偏导数,19/26,例6. 设 求,解.,20/26,已知f(t)可微,证明 满足方程,提示,t, y 为中间变量, x, y 为自变量.,引入中间变量,则,练习,21/26,具有连续偏导数,则有,全微分,则有全微分,全微分形式不变性的实质,三、一阶全微分形式的不变性,22/26,解.,例7.,注：通过全微分求所有一阶偏导数,比链式法则求偏导数有时会显得灵活方便.,23/26,思考题,正确的是( ).,24/26,思考题解答,令,则,两边对t求导,得,25/26,多元复合函数求导法则 (链式法则),全微分形式不变性,(理解其实质),求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导,四、小结,