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1、固定收益证券的价值分析第一页，讲稿共七十页哦固定收益证券的特征n固定收益证券(Fixed-Income Securities)：收入固定且定期得到支付，主要是指一些债务类工具，如中长期国债、公司债券，一般期限较长（1年以上）。n注意：短期国债是货币市场工具，是贴现发行，到期时一次性付息，而平时不付息，而固定收益证券按合约提供固定的现金流（Cash flow），故有其名称。n债券是一种基本的固定收益证券。第二页，讲稿共七十页哦n债券（bond）是以借贷协议形式发行的证券。n借者为获取一定量的现金而向贷者发行（如出售）债券，债券是借者的“借据”。n这张借据使发行者有法律责任，需在指定日期向债券持有
2、人支付特定款额，称为“息票支付”。n债券的息票率（coupon rate）决定了所需支付的利息：每年的支付按息票率乘以债券面值计算。n债券到期时，发行者再付清面值（par value,face value）。第三页，讲稿共七十页哦n息票率、到期日和面值是债券契约（bond indenture）的基本要素n假定有一张面值1000美元，息票率为8%的债券，出售价格为1000美元。因此，n买方有权在标明的有效期内（假设为30年）每年得到 80美元的报酬。n这80美元一般分为两个半年期支付，即每半年支付40美元。n到这张债券30年期满时，债券发行人要将面值标明的1000 美元付给持有者。n请注意它与短
3、期国债的主要区别？第四页，讲稿共七十页哦总结：固定收益证券的特点n标准化的借据u债券本质上只是借款的凭证（借据），但一般的借据由于是个性化，因此不可转让，但债券是一种非个性化（标准化）的借据。u金融工具的首要条件：标准化u债券仍是反映债券债务关系。借款人出具债务凭证是向很多不知名的投资者借钱，因此，每个人的条件都是标准化的，格式相同、内容相同、责任义务相同这样债券才具有可分割、可转让。第五页，讲稿共七十页哦固定收益证券的主要类别n中、长期国债n中期国债（T-Notes）：1年以上10年以下n长期国债（T-Bonds）：10年30年。n国债的收益（资本利得和利息）可以免税。n美国：两者都是以10
4、00美元的面值发行，每半年付息一次，属于息票（Coupon）债券。n注：传统的债券附有息票，投资者需要撕下息票到债券发行机构的代理处索取相应的利息，但现在都被计算机取代。第六页，讲稿共七十页哦n市政债券n市政债券（Municipal Bonds）是由州或地方政府发行的债券。n普通债务债券（General Obligation Bonds）：由地方政府未来全部税收和负债能力作为偿债来源的一种债券。n收益债券（Revenue Bonds）：以特定项目收益作为偿还债券本息保证的一种债券。如机场、医院、收费公路、自营港口等。n由所投资建设的基础设施项目按成本收取的使用费形成的收入。但投资项目的现金流与
5、多种因素相关，如宏观经济（或全球经济）波动、地方经济状况变化、宏观体制和政策调整、投资项目的管理以及自然和社会因素等等，都可能给项目现金流带来难以预料的影响。n收益债券的违约风险大于责任债券。第七页，讲稿共七十页哦n公司债券n公司债券是公司依照法定程序发行、约定在一定期限内还本付息的资本证券。n发行债券的公司和债券投资者之间的债权债务关系，公司债券的持有人是公司的债权人，而不是公司的所有者，是与股票持有者最大的不同点。n债券持有人有按约定条件向公司取得利息和到期收回本金的权利，取得利息优先于股东分红，公司破产清算时，也优于股东而收回本金。n债券持有者不能参与公司的经营、管理等各项活动。n公司债
6、券与国债的区别：风险程度的不同，购买公司债券必须考虑违约风险。第八页，讲稿共七十页哦n可赎回债券n可转换债券n固定利率债券n浮动利率债券第九页，讲稿共七十页哦违约风险与债券评级n债券评级（Rating）是对债券质量的一种评价制度，主要是对债券发行者的信誉评级，核心是违约的可能性。n债券的违约风险直接影响到期收益率的实现n债券评级不是面向投资者的评级，不是对当前某种债券的市场价格是否合理进行评级，也不是推荐你要去投资某一种债券，而只是给债券贴上了商标。第十页，讲稿共七十页哦债券评级的基本原则n违约的可能性：还本付息的能力和意愿（财务指标）n债务的性质和条款（发行的证券的特征和条件）：债权人是否优
7、先，在破产清算和利息支付中的位置，是否有担保等（债券契约）。n非常情况下的债权人的权利保障情况（债券契约）。第十一页，讲稿共七十页哦nAAA是信用最高级别，表示无信用风险，信誉最高，偿债能力极强，不受经济形势任何影响；nAA是表示高级，最少风险，有很强的偿债能力；nA是表示中上级，较少风险，支付能力较强，在经济环境变动时，易受不利因素影响；nBBB表示中级，有风险，有足够的还本付息能力，但缺乏可靠的保证，其安全性容易受不确定因素影响，这也是在正常情况下投资者所能接受的最低信用度等级，或者说，以上这四种级别一般被认为属投资级别，其债券质量相对较高。第十二页，讲稿共七十页哦固定收益证券（债券）定价
8、n现金流贴现法(Discounted Cash Flow Method,DCF)又称收入法或收入资本化法。nDCF认为任何资产的内在价值（Intrinsic value）取决于该资产预期的现金流的现值。1202120 ,.,(1)(1)(1)1,2.,()nnnttCFCCViiiVC tntFFace valueit其中，为债券的现值(内在价值)或理论价值；,为第 期债券的利息；为债券的面值；为 期的即期利率。第十三页，讲稿共七十页哦1i2ini012n第十四页，讲稿共七十页哦n为简化讨论，假设只有一种利率适合于任何到期日现金流的折现，即利率期限结构为平坦式n固定收益证券具有相同的息票支付C
9、（coupon payoff）和到期时支付本金F，所以其理论价值为01(1)(1)1 1(1)(1)1/1 =1/(1)(1)ntntnnnnCFViiFCiiiiCiFii年金因子年金因子现值因子现值因子第十五页，讲稿共七十页哦公式应用：年金与分期偿还n年金与分期偿还互为反函数。假设一笔现金流由每期金额为C的n期（期末）支付组成，并在n期结束。12n012nn-1时期时期第十六页，讲稿共七十页哦001/1/(1)(1)(1)1nnniAnnnity vCiiiivAmortization Ci例：从银行按揭贷款100,000元，15年期每月等额还款，现行的年利率是5.81%，计算每月还款额？
10、005.81%,12 15180,10000012(1)833.63(1)1nninviivCi（元）第十七页，讲稿共七十页哦债券的到期收益率n到期收益率（Yield to maturity）：使债券未来支付的现金流之现值与债券价格相等的折现率。n到期收益率是自购买日至到期日所有收入的平均回报率001,1111mnmnttPFnCmyCFmPyymm若已知债券当前购买价格，面值为，现在距离到期时间为 年，每年支付的利息总额为年内共分 次付息，则满足下式的 就是到期收益率（）第十八页，讲稿共七十页哦202101/2(2)(1/2)(1/2)(3)11ntntntntCFPyyCFPyy若每半年支
11、付1次利息，到期收益率仍以年表示则若每年付息1次则第十九页，讲稿共七十页哦到期收益率实际上就是内部报酬率(internal rate of return)注意：债券价格是购买日的价格，购买日不一定是债券发行日到期收益率能否实际实现，取决于3个条件：无违约(利息和本金能按时、足额收到）投资者持有债券到期：若此假设不成立则需要以持有期收益率来衡量收到利息能以到期收益率再投资：若此假设不成立，则需要用“已实现收益率来计量”第二十页，讲稿共七十页哦收到利息能以到期收益率再投资收到利息能以到期收益率再投资0101(1)(1)(1)(1),.,(1)ntntnnCFPyyPyCyCyCF以到期收益以到期收
12、益率再投资率再投资第二十一页，讲稿共七十页哦某公司债券的面值为100元，现距离到期日为15年，债券的票面利率为10，每半年付息一次。若该债券的现价为105元，求到期收益率。解：利用公式（2）有30301100 5100105(1/2)(1/2)Matlab y=0.0934ttyy解得（用程序）第二十二页，讲稿共七十页哦概念辨析：已实现（复利）收益率n若再投资收益率不等于到期收益率，则债券的利息的再投资收益必须按照实际的、已经实现的收益率计算，并在此基础上重新计算债券的实际回报。n例：某面值为1000元的债券，投资者以平价买入且持有2年，若票面利率为10%，再投资收益率为8%，则已实现（复利）
13、收益率为21000(1)1000 10%(1 8%)1000(1 10%)9.91%realizedrealizedyy第二十三页，讲稿共七十页哦概念辨析：息票率n息票率：在发行证券时，证券发行人同意支付的协议利率。n息票率不是债券收益率的一个合适的衡量指标。n固定息票债券价格随市场波动，很少按照面值出售。第二十四页，讲稿共七十页哦若息票率大于市场利率，债券溢价发行，反之折价发行，最终债券的价格收敛到面值。溢价债券的价格将会溢价债券的价格将会下跌，资本损失抵消下跌，资本损失抵消了较高的利息收入了较高的利息收入第二十五页，讲稿共七十页哦概念辨析：持有期收益率若债券未持有到期则可以用另一种收益率来
14、衡量。若付息周期为n，且每年只付息一次，在第m期出售，则持有期收益率h为0111mmtmtPCPhh到期收益率实际上是到期收益率实际上是持有到期持有到期的持有期收益率。的持有期收益率。第二十六页，讲稿共七十页哦概念辨析：当前收益率n当前收益率：债券每年的利息收入除以当时的市场价格。n例：某面值为1000元的债券当前的市场价格为1010元，若该债券的票面利率为2.1%，还有1年到期，每年付息1次，则其当前收益率和到期收益率分别为21100%2.08%10101000+211000+21101011.09%11010yy 第二十七页，讲稿共七十页哦利率的期限结构n债务利率与债务期限的对应关系，被称
15、为利率的期限结构。反映这种函数关系的曲线，被称为债券的收益率曲线。n收益率曲线的形状n收益率曲线有多种形态，分为向上、水平、向下和波动四种。n其中向上形态最为长见。债券的期限越长，利率越高。n债券收益率开始随期限增加而急剧上升，然后开始变得平稳。第二十八页，讲稿共七十页哦对利率期限结构的解释n主要有三种理论n纯预期理论n流动性溢价理论n市场分割理论第二十九页，讲稿共七十页哦纯预期理论n该理论认为，利率的期限结构由投资者对未来市场利率的预期决定。第三十页，讲稿共七十页哦假定市场普遍预期各种利率将上升n这意味着当前持有的长期债券的价格在未来将下跌，在未来投资长期债券会有更高的回报。n因此，投资者在
16、当前将仅把资金投资于短期债券，以便利率上升后，再将手中的短期债券转变为高收益的长期债券；或者纷纷把已购买长期债券转换为短期债券，以避免资本损失。n大量抛售长期债券和购买短期债券，导致短期债券价格上升，利率下降，长期债券价格下降，利率上升。n这时收益率曲线将呈上倾状态。第三十一页，讲稿共七十页哦假定市场普遍预期各种利率将下降n这意味着当前持有的长期债券的价格将上升，现在持有长期债券在未来利率上升后获得资本利得收益（债券未来价格与当前价格之差，正值为资本利得，负值为资本损失）。n投资者在当前会购买长期债券，出售短期债券，结果是短期债券价格下降，收益率上升；长期债券价格上升，收益率下降。n这导致收益
17、率曲线呈下倾状态。第三十二页，讲稿共七十页哦用远期利率说明纯预期理论n债券当前的市场利率称为即期利率spot rate.对未来特定时期的特定期限贷款，合同双方当前一致同意使用的利率，称为远期利率forward rate。n纯预期理论认为，当前多期贷款的利率应该是未来各远期利率的几何平均数。即nint=(1+i1t)(1+r1t+1)(1+r1t+2)(1+r1t+n-1)1/n-1n其中，int=n期债券在时期t的利率，i1t=1期债券在时期t的利率，r1t+n-1=1期债券在时期n的利率。第三十三页，讲稿共七十页哦用远期利率说明纯预期理论-续n例如，两年内，连续两次投资1年期债券的收益，应该
18、等于一次投资2年期债券所得的收益。n即：第1年投资100元的收益，加第2年再投资100元的收益，应该等于用100元一次投资两年期债券的收益。用算式表示：n(1+i2t)2=(1+i1t)(1+r1t+1)n其中，i2t=两期债券在时期t的利率，i1t=1期债券在时期t的利率，r1t+1=1期债券在时期t+1的利率n假定i1t=5%，r1t+1=6%，L=0.5%，则ni2t=(1+5%)(1+6%)1/2-1 =(1.05)(1.06)1/2-1=1.05499-1 =5.499%第三十四页，讲稿共七十页哦对纯预期理论的评论n可以用来解释收益率曲线的变化。n但是，不能说明收益率曲线的常态为什么
19、是上倾的。n根据这一理论，利率的期限结构包含了市场对未来短期利率的预期。1)1()1)(1)(1()1()1()1)(1)(1()1()1()1()1)(1)(1()1(2121111112121111111121111nttttnntntnttttnntntnttttnntrrriirrrriirrrrii第三十五页，讲稿共七十页哦流动性溢价理论n这一理论认为，投资者普遍偏好流动性强和利率风险较低的短期债券，因此，只有在能得到一个补偿时，他们才愿意持有长期债券。第三十六页，讲稿共七十页哦收益率加上流动性溢价后的收益率曲线取消流动性溢价后的收益率曲线流动性溢价第三十七页，讲稿共七十页哦存在流动
20、溢价时的利率结构nint=(1+i1t)(1+r1t+1)(1+r1t+n-1)+Lnt 1/n-1n0L1tL1t+1L1t+1-Lntn假定i1t=5%，r1t+1=6%，Lnt=0.5%，则n无流动性溢价：ni2t=(1+5%)(1+6%)1/2-1 =(1.05)(1.06)1/2-1=1.05499-1 =5.499%n有流动性溢价：ni2t=(1+5%)(1+6%)+0.5%1/2-1 =(1.05)(1.06)+0.5%1/2-1=1.057355-1 =5.7355%第三十八页，讲稿共七十页哦市场分割理论n按照这一理论，投资者和借款人是根据自己的现金需要来选择债券的；不同的现金
21、需要使他们选择不同的债券，市场也因此而被分割。n因为在一般情况下人们对短期债券的需求大于长期债券，结果是短期债券价格较高，利率较低；长期债券价格较低，利率较低。收益率曲线因此常常上倾。n这种理论假定不同期限的债券有不可替代性，收益率曲线的平行上升或下降只是偶然现象。但是，实际上，投资者的资产选择有很大的灵活性，且各期限债券的收益率常常是同步变动的。第三十九页，讲稿共七十页哦收益率曲线的使用价值n预测利率n了解市场对经济波动的预期第四十页，讲稿共七十页哦利用利率期间结构预测未来短期利率n这表明，按照市场预期，两年后，1年期利率将从现在的5.8%降到3.8%的水平。%)8.3(038.01%)4.
22、51%)(8.51(%)51(1)1)(1()1()1)(1)(1()1(311133212111133ttttttttriirrrii第四十一页，讲稿共七十页哦在流动溢价上预期未来短期利率%)3622.3(033622.01%)4.51%)(8.51(%5.0%)51(1)1)(1()1()1)(1)(1()1(311133212111133ttttttttriLirLrrii第四十二页，讲稿共七十页哦利用收益率曲线了解市场对经济波动的预期n如果投资者普遍预期经济已经处于衰退的边缘，就会作出未来短期利率将下降的预期。投资者因此抛售短期债券，买进长期债券。短期债券价格下降，收益率上升，长期债券
23、价格上升，收益率下降。收益率曲线因此呈下倾或水平状。n如果投资者普遍预期经济正处于上升周期，就会作出未来短期利率将上升的预期。投资者将抛售长期债券，买进短期债券。长期债券价格下降，收益率上升，短期债券价格上升，收益率下降。收益率曲线就会以较大的斜率上倾。第四十三页，讲稿共七十页哦债券价格与市场利率的关系-1n债券价格与到期收益率YTM成反比n债券价格是未来现金流用到期收益率贴现所得的现值。n同一现金流，用较大贴现率对其贴现，将得到一个较小的现值；用较小的贴现率对其贴现，将得到一个较大的现值。n另一个解释是：债券价格是从未来各期付款中扣除利息的剩余部分。n未来各期付款=各期息票金额+票面值。n利
24、率或到期收益率上升，各期付款中所含利息增加，从各期付款中扣除的利息额增加。在未来各期付款额（息票额和面值）不变条件下，这导致余额即债券价格减少。第四十四页，讲稿共七十页哦债券价格与市场利率的关系-2n债券的到期收益率YTM等于息票率，债券的市场价格等于其面值。n面值1000元，息票率为10%的1年期债券，在YTM大于10%时，其市场价格小于面值1000元；在YTM小于10%，其市场价格大于面值1000元。n这是因为，1000面值是用息票率做贴现率所得的现值。市场利率从而YTM等于息票率，就是用来对债券未来现金流贴现的贴现率等于息票率，所得现值自然等于债券面值。第四十五页，讲稿共七十页哦债券价格
25、与市场利率的关系-3n债券期限越长，对利率越敏感。n债券的利息可以看作是一个年金，即各期利息I=A1+A2+Ann市场利率上升，债券的到期收益率也上升。n这意味着所有债券都负担了一个新的年金 I=A1+A2+Ann利息（我们把它看作年金）现值的增额，就是债券价格（总现值）的减额。n1年期债券的新增年金A1的现值显著低于10年期债券新增年金的现值（可用年金现值公式计算），故利率上升导致的价格下降，长期债券比短期债券大。第四十六页，讲稿共七十页哦债券价格与市场利率的关系-4n随着债券到期日接近，债券价格向债券面值回归n这是长期债券对利率的敏感性大于短期债券的另一种说法。n更接近到期日的债券就是期限
26、更短的债券。这时候利率变动的影响急剧下降。n面值1000元息票率10%的债券，在剩余期限还有1天时，未来付款款=1000*(1+10%/365)=1000*(1+0.0247%)=1000+0.247=1000.247元n假定在最后1天利率上升，年率=50%，日率=50%/365=0.137%n把债券的未来付款1000.247按照50%的年率(0.137%的日率)贴现，得到到期前1天债券的现值：n1000.247/(1+0.137)=998.88，n1天后，得到收入=1000.247n该收入中利息部分=1000.247-998.88=1.37n利率上升了5倍，债券价格仅有轻微的下降，从1000
27、元降到998.88元。第四十七页，讲稿共七十页哦债券价格与市场利率的关系-5n债券的息票率越低，对利率变动越敏感n如果两种债券，到期收益率、面值和剩余期限都相同，息票率不同，则两者的价格一定不同。n息票率高的债券，每年付息速度快，剩余未付利息较少，受利率变动的影响也相对较小。n如，面值1000，期限5年，到期收益率都是10%的债券，A的息票率=20%，B的息票率=2%。两者的价格分别是：A=￥1386，B=￥619.n到期收益率=10%，意味着每年100元的本金得到10元利息。显然，息票率20%的债券付息更快，更早收回现金，留下较少的未偿利息来受利率变动的影响。第四十八页，讲稿共七十页哦债券价
28、格与市场利率的关系-6n到期收益率下降引起的价格上升变化，大于到期收益率上升引起的价格下降变化。n换句话说，当到期收益率偏离息票率时，其向下的偏离会导致债券价格更大的变化；向上的偏离则导致相对较小的变化。第四十九页，讲稿共七十页哦债券价格面值1000，息票率10%，2005-11-15发行，期限分别为1、10、20年的债券第五十页，讲稿共七十页哦债券价格面值1000，息票率10%，2005-11-15发行，期限分别为1、2、19和20年的债券第五十一页，讲稿共七十页哦息票率大小对债券利率敏感性的影响第五十二页，讲稿共七十页哦零息债券的息票率为零，其价格敏感性最高第五十三页，讲稿共七十页哦债券的
29、利率敏感性尺度n久期n凸性第五十四页，讲稿共七十页哦综合的债券利率敏感性尺度久期durationn久期是价值和时间加权的期限尺度，用来测量生息资产作为现金流入的时间和付息债务作为现金流出的时间n久期测量承诺的未来现金支付（现金付出或收入）的货币加权平均期限。n久期是测量债券价格利率敏感性的综合指标，其中包含了债券到期日和息票金额大小和支付时间等因素。n久期也可以被理解为债券对市场利率的价格弹性。第五十五页，讲稿共七十页哦n基本关系：n久期反映了市场利率变动与所引起的债券价格变动之间的关系。n较长的债券久期，表明债券价格对利率更大的敏感性。n影响久期的因素包括n到期收益率n债券期限n债券利息的大
30、小和支付的时间第五十六页，讲稿共七十页哦作为将未来付款作为现金收回所需加权平均时间的久期n久期是将未来现金流收回所需的“货币加权平均时间”n1tttn1tttYTM)(1CFYTM)(1CF*t D第五十七页，讲稿共七十页哦作为将未来付款作为现金收回所需加权平均时间的久期-续NNNDDDDPrCNPrCPrCD321221)1/()()1/()2()1/()1(0221001)1()1(2)1(1111PyTCFyCFyCFyPyPTTTtttTTyCFtPPyTCFyCFyCFD100221)1(11)1()1(2)1(1第五十八页，讲稿共七十页哦作为债券价格的利率弹性（敏感性）的久期久期也
31、是价格对利率敏感性指标，即债券价格的利率弹性。rDrrDrrDPPrrPPDurationM111D被称为麦考利久期，DM=D/(1+r)是已经标准化的修正久期.第五十九页，讲稿共七十页哦久期与证券价格的敏感性我们可以用下面的公式计算债券价格的利率敏感性：Pi)(1i D-PPi D-MP第六十页，讲稿共七十页哦久期定理n贴现债券的Macaulay久期等于其到期时间；显然，对贴现债券而言，其持续期就等于其到期期限。因为贴现债券只有到期时才会发生现金流。即，0121TCFCFCFTTTtttyCFyCFPVP）（1)1(10TTyCFtyPDTTTtt1101110）（）（第六十一页，讲稿共七十
32、页哦在到期时间既定时，息票率与久期负相关；注意：这里息票率不是到期收益率或预期收益率。这个定理的证明很简单，只要考虑债券每期最后一期除外的现金流等于息票率与面值之积后，求久期对息票率的偏导数即可证明。此处从略，请自己证明。第六十二页，讲稿共七十页哦在债券息票率不变的条件下，债券的到期时间与其久期正相关：即到期时间越长，久期也越大；反之则反是；证明：利用久期公式求久期对到期时间T的偏导数，易证明该偏导数为正。在其他条件既定时，债券的到期收益率与其久期负相关：即到期收益率越低，久期越大；反之成立。证明思路同上。只需证明久期对债券到期收益率的偏导数为负即可，请大家自己证明。第六十三页，讲稿共七十页哦
33、久期定义的内涵n 对于久期，我们可以从时间角度和久期的作用与功能角度两个方面来理解：从时间角度考察，表明债券的久期是债券在未来时间产生的收益现金流的加权平均时间长度，权数它是各期收益现金流的现值在债券理论价格中所占的权重；从久期的功能和作用考察，久期本质上反映了债券价格对利率的敏感程度，它衡量了债券未来收益的平均时间，也反映了投资于该债券或债券组合而使资产或资产组合暴露于风险中的时间长短。因此，久期越长，风险就越大。第六十四页，讲稿共七十页哦久期的缺陷 久期隐含的假设是利率期限结构term structure是平坦形状的，且利率以平移方式变动，这两点与现实经济活动中利率曲线的形状及移动实际相背
34、离第六十五页，讲稿共七十页哦n由于久期衡量的是债券价格和债券组合价格对利率变动的弹性，在数学上表现为一阶导数关系，因此只有在利率变动较小时久期才能准确反映债券或债券组合价格对利率的敏感性。但一旦利率发生大幅度震荡，久期的运用便相形见拙了我们已经具体地说明了。因此我们要引入凸性的概念以准确刻画利率大幅度震荡对债券或债券组合价值的影响。第六十六页，讲稿共七十页哦凸性n债券价格曲线的弯曲程度或非线性程度。久期测量价格相对于利率的变动或敏感性，凸性测量这种变动的加速度或敏感性本身的变化。n凸性计算方法如下：在 处，利用泰勒展开得到，*y)()(21)()(2*202*0*00yoyydyPdyydyd
35、PyPP其中，一阶导数和二阶导数在 取值。*y2*202*0*00)(21)()(yydyPdyydydPyPP第六十七页，讲稿共七十页哦n凸性测度的，是债券价格的线性变化（近似变化）与实际变化的差。因为这一差额始终为正，所以，凸性始终为正。第六十八页，讲稿共七十页哦定义，)(*000yPPP*yyy220200)(21ydyPdydydPP该式两边同除以债券价格得到，0220200001)(21PydyPdydyPdPPP因为，MDdyPdP0002202001)(21PydyPdyMDPP所以，第六十九页，讲稿共七十页哦定义02021PdyPdc 200)(21ycyMDPP 最后，我们考虑到债券价格不唯一地取决于收益率水平，因此，更准确地或严密地，我们定义凸度为：TtttyCFttPPyPc1200202)1()1(11第七十页，讲稿共七十页哦