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1、关于几个常用函数的导数现在学习的是第1页，共31页练习1、求函数y=f(x)=c的导数。0)()(xccxxfxxfxy因为00limlim00 xxxyy所以现在学习的是第2页，共31页1)()(xxxxxxfxxfxy因为11limlim00 xxxyy所以练习2、求函数y=f(x)=x的导数现在学习的是第3页，共31页探究？探究？(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？增加得最慢？（3）函数）函数y=kx(k0)增（减）的快慢与什么有关增（减）的快慢与什么
2、有关？在同一平面直角坐标系中，在同一平面直角坐标系中，画出画出y=2x,y=3x,y=4x的的图象，并根据导数定义，图象，并根据导数定义，求它们的导数求它们的导数。现在学习的是第4页，共31页xxxxxxfxxfxy22)()()(因为xxxxyyxx2)2(limlim00所以练习3、求函数y=f(x)=x2的导数xxxxxxxx2)(2222现在学习的是第5页，共31页你能不能求出函数y=f(x)=x3的导数。由函数y=x ，y=x2 ，y=x3的导数为1，2x，3x2y =3x2你猜测你猜测 y = x n 导数是什么导数是什么?y =nxn-1现在学习的是第6页，共31页xxxxxxf
3、xxfxy11)()(因为22001)1(limlimxxxxxyyxx所以练习4、求函数y = f(x) =- 的导数1xxxxxxxxxxx21)()(现在学习的是第7页，共31页探究？探究？画出函数画出函数 的图象。的图象。根据图象，描述它的变化情根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（况，并求出曲线在点（1，1）处的）处的切线方程切线方程。1yx求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1）求出函数在点求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的
4、点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 现在学习的是第8页，共31页例1 y=|x|(xR)有没有导函数，试求之。解: (1)当x0时，y=x, 则y =1(2)当x0时，比值为1，从而极限为1当x0时，比值为-1，从而极限为-1从而当x=0时，极限不存在。故y=|x|(xR)没有导函数。现在学习的是第10页，共31页基本初等函数的导数公式现在学习的是第11页，共31页练习练习 求下列函数的导数。求下列函数的导数。(1) y= 5(2) y= x 4(3) y= x -2 y= 2 x(4) y=log2x0 y34xy 1ln2yx 3322xxy2ln2xy 现在学习的是
5、第12页，共31页xxy )2(41) 1 (xy 思考如何求下列函数的导数：现在学习的是第13页，共31页例例2 假设某国家在假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为年期间的平均通货膨胀率为5，物价，物价p(单单位：元位：元)与时间与时间t（单位：年）有如下函数关系（单位：年）有如下函数关系 其中其中p0为为t = 0时的物价。假定某种商品的时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）?tptp%)51 ()(0解：根据基本初等函数导数公式表，有解：根据基本初等函数导数公式
6、表，有05. 1ln05. 1)( ttp)/(08. 005. 1ln05. 1)10( 10年元 p因此，在第因此，在第10个年头，这种商品的价格约以个年头，这种商品的价格约以0.08元元/年的速年的速度上涨。度上涨。现在学习的是第14页，共31页导数的运算法则:法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的和和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数
7、乘第二个函数的导数 ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去减去第一个函数乘第二个函数的导数第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方再除以第二个函数的平方.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x现在学习的是第15页，共31页解：因为因为)32(3xxy)3()2()(3xx232x所以，函数所以，函数y=x3-2x+3的导数是的导数是232y
8、x现在学习的是第16页，共31页5232(1)2(2)2354(3)3cos4sin(4)sincos(5)2sincos2122(6)(1)(2)xyeyxxxyxxyxxxxxyxyxx练习练习 求下列函数的导数。求下列函数的导数。现在学习的是第17页，共31页例例4 求下列函数的导数求下列函数的导数:22212(1);(2);1(3)tan;(4)(23);yxxxyxyxyxx答案答案:;41) 1 (32xxy ;)1 (1)2(222xxy ;cos1)3(2xy 2103(4);2xyx现在学习的是第18页，共31页例例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水纯净日常生活中
9、的饮用水通常是经过净化的。随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水净化到纯吨水净化到纯净度净度x%时所需费用（单位：元）为时所需费用（单位：元）为)10080(1005284)(xxxc求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90 （2）98解：解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数)1005284()( xxc2)100()100(5284)100(5284xxx2)100() 1(5284)100(0 xx2)100(5284x
10、现在学习的是第19页，共31页84.52)90100(5284)90( ) 1 (2c因为所以，纯净度为所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是时，费用的瞬时变化率是52.84元元/吨吨1321)98100(5284)98( )2(2c因为所以，纯净度为所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是时，费用的瞬时变化率是1321元元/吨吨现在学习的是第20页，共31页例例6 某运动物体自始点起经过某运动物体自始点起经过t秒后的距离秒后的距离s满足满足 解解: (1)令令s=0,即即1/4t4-4t3+16t2=0,所以所以t2(t-8)2=0,解得解得: t1=0,t2=8.故在故在t=0或或t
11、=8秒末的时刻运动物体在秒末的时刻运动物体在 始点始点. 即即t3-12t2+32t=0, 解得解得:t1=0,t2=4,t3=8, 0)(,3212)(23 tstttts令令故在故在t=0,t=4和和t=8秒时物体运动的速度为零秒时物体运动的速度为零.43214164sttt (1)此物体什么时刻在始点此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零什么时刻它的速度为零?现在学习的是第21页，共31页例例7 已知曲线已知曲线S1:y=x2与与S2:y=-(x-2)2,若直线若直线l与与S1,S2均均 相切相切,求求l的方程的方程.解解:设设l与与S1相切于相切于P(x1,x12),l与与
12、S2相切于相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于对于 则与则与S1相切于相切于P点的切线方程为点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即即y=2x1x-x12.,2,1xyS 对于对于 与与S2相切于相切于Q点的切线方程为点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4.),2( 2,2 xyS因为两切线重合因为两切线重合,.02204) 2( 222121222121 xxxxxxxx或或若若x1=0,x2=2,则则l为为y=0;若若x1=2,x2=0,则则l为为y=4x-4.所以所求所以所求l的方程为的方程为:y=0或或y=4x
13、-4.现在学习的是第22页，共31页 一般地，对于两个函数一般地，对于两个函数y=f(u)和和u=g(x),如果通过变如果通过变量量u,y可以表示成可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和和u=g(x)的的复合函数复合函数，记作，记作y=f(g(x).复合函数的概念复合函数的概念)(),()(xuxuyyxguufyxgfy的导数间的关系为的导数和函数复合函数现在学习的是第23页，共31页例例4 求下列函数的导数求下列函数的导数2)32() 1 (xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：32)32() 1 (22xuuyxy2()
14、(23)812xuxyyuuxx现在学习的是第24页，共31页105. 0)2(xey函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：105. 0) 1 (105. 0 xueyeyux0.051() ( 0.051)0.05xuxuxyyuexe 现在学习的是第25页，共31页)(sin()3(均为常数，其中xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：xuuyxysin)sin() 1 ()cos(cos)()(sinxuxuuyyxux现在学习的是第26页，共31页函数求导的基本步骤：函数求导的基本步骤：1，分析函数的结构和特征，分析函数的结构和特征2，选择恰当的求
15、导法则和导数公式，选择恰当的求导法则和导数公式3，整理得到结果，整理得到结果现在学习的是第27页，共31页求下列函数的导数求下列函数的导数2cos2sin. 1xxxy)32(sin. 22xy现在学习的是第28页，共31页如下函数由多少个函数复合而成：如下函数由多少个函数复合而成：22) 12(sin. 312. 22sin. 1xyxyxy现在学习的是第29页，共31页小结：小结： 复合函数复合函数y=f(x)要先分解成基本初等要先分解成基本初等函数函数y=g(u), u=h(v), v=i(x) 等，再求导：等，再求导：yx=yuuvv x根据函数式结构或变形灵活选择基根据函数式结构或变形灵活选择基本初等函数求导公式或复合函数求导方本初等函数求导公式或复合函数求导方法法现在学习的是第30页，共31页感谢大家观看感谢大家观看9/4/2022现在学习的是第31页，共31页