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1、固体与半导体物理第二章现在学习的是第1页，共34页平衡位置时 两原子间的相互作用势能U(a)，产生相对位移后，相互作用势能变成U(a+)。将U(a+)在平衡位置附近用泰勒级数展开：annnaarUnrUrUaUaU)(!)(!2)()()(222 annnaarUnrUrUaUaU)(!)(!2)()()(222 恢复力为 arUUF)(22简谐近似 现在学习的是第2页，共34页第n个原子受到n-1个原子和n+1个原子的作用力分别为)()(1211nnnnxxFxxF)2(11nnnxxxF)2(11nnnnxxxxm 合力：)(tqnainAex运动方程：解：现在学习的是第3页，共34页qa
2、：相邻原子的位相差)(tqnainAex简谐波A:振幅q:波矢:角频率qna：第n个原子振动的位相因子2q现在学习的是第4页，共34页B：如果第m个原子与第n个原子的位相差为mqa-nqa=2S时，（S为整数），则有：aqa2A：相邻两个原子的位相差为ntqnaitqnaSitqmaimxAeAeAex)()2()()(tqnainAex现在学习的是第5页，共34页在晶体中存在着角频率为 的平面波 晶格振动是以平面波形式在晶体中传播-格波 n+2n-2n+1n-1n2q现在学习的是第6页，共34页)2(11nnnnxxxxm)(tqnainAex)21(sin422qamm2max)21sin
3、(maxqamaxmaxO/a-/aq格波色散关系aq=max q=0=min=0 现在学习的是第7页，共34页A：长波极限q0 2maxqa maaqqaqqvpmaxmax21222相速度与波长无关，与宏观的弹性波一致 波长时，相邻原子的振动相互差别不大，可以当作连续线来看待。现在学习的是第8页，共34页B：短波极限q增加，色散曲线逐渐偏离直线向下弯曲 aqaq=max，=2aC：色散关系的周期性和对称性偶对称 现在学习的是第9页，共34页aqa基本周期 anqq2例 其他周期)54(25aaaq现在学习的是第10页，共34页第二节第二节 一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动 1.1.
4、运动方程运动方程)2()2(2121221222212nnnnnnnnxxxxMxxxxm )tna2q(in2)ta)1n2(q(i1n2BexAexA、B分别为m、M原子的振幅，q为波矢 现在学习的是第11页，共34页2 2色散关系色散关系0)cos(2)2(0)cos(2)2(22AqaBMBqaAm有非零解，系数行列式为零 02)cos(2)cos(2222Mqaqam)2cos(2)(222qaMmmMmMMm现在学习的是第12页，共34页)2cos(2)()2cos(2)(222222qaMmmMmMMmqaMmmMmMMm光学支声学支现在学习的是第13页，共34页声学支的振动 2
5、122212222)(sin)(411)()2cos(1(2)()()2cos(2)(qamMMmmMMmqaMmmMmMMmqaMmmMmMMmx1 xx211)1(21)sin()2(21qamM 现在学习的是第14页，共34页长波极限长波极限 q0，qaqa)sin(qaqa)sin(qamM21)2(0)cos(2)2(0)cos(2)2(22AqaBMBqaAm12)cos(2)(2mqaBA原胞中两种原子运动完全一致 长声学波时，声学波实际代表原胞质心的振动 现在学习的是第15页，共34页短波极限短波极限 aq2M2maxA=0，但B0 短波极限，轻原子不振动，重原子振动 现在学习
6、的是第16页，共34页一般情况 0|q|0 02)cos(2)(2mqaBA声学波相邻原子沿同一方向振动 现在学习的是第17页，共34页光学支的振动 2122212222)(sin)(411)()2cos(1(2)()()2cos(2)(qamMMmmMMmqaMmmMmMMmqaMmmMmMMm)qa(sin)mM(Mm21)mM(Mm2222现在学习的是第18页，共34页长波极限 q0 0)(sin2qa212121max2)/(2)(2umMMmMmmM212121max2)/(2)(2umMMmMmmM折合质量：u=Mm/(M+m)mMmqamqaBA2max22)cos(22)cos
7、(2)(0 MBmA长光学波，异类原子反向振动，原胞质心不动 现在学习的是第19页，共34页短波极限 aq2m2minB=0，但A0 短波极限，重原子不振动，轻原子振动 现在学习的是第20页，共34页一般情况：0|q|0 02)cos(2)(2mqaBA光学波相邻原子沿相反方向振动 现在学习的是第21页，共34页第三节 周期边界条件与格波数实际晶体由有限个原子组成，必须考虑在一定边界条件下格波波矢的取值范围 周期边界条件 波恩和卡门边界条件 123NN-11N现在学习的是第22页，共34页一维布拉菲格子11Nxx11Nxx)1(1)(1taNqiNtqaiAexAex)1(1)(1taNqiN
8、tqaiAexAex1iqNaeqNa=2S11Nxx边界条件 aqaaqa22NSNS只能取N个值，因而q也只能取N个值 S只能取N个值，因而q也只能取N个值 一维复式格子现在学习的是第23页，共34页晶格振动的格波数 几个基本概念格波个、支数(1维)原子自由度 原胞原子的自由度总数 晶体原胞的自由度总数 一维，N个原胞布拉菲格子：N个格波复式格子：每个q有两个频率：一声，一光，共有2N个格波有N个q值)nnn()L2(m2E2z2y2x22现在学习的是第24页，共34页总结格波的支数=每个原胞中原子的自由度总数每支格波包含的格波数=晶体中的原胞数总的格波数=晶体中原子的自由度总数例：二维晶
9、体中有10个原胞，每个原胞有4个原子。三维晶体中有N个原胞，每个原胞有n个原子。现在学习的是第25页，共34页第四节 晶格振动的量子化与声子晶格振动 格波 简谐波 独立模式 独立简谐振子 声子 晶格振动一般解的简正表示 qiqnatiqqtiiqnaq)tqna(iqqnNeeANeeAeAxtiqqeANaNebiqnanqqnqqnbax现在学习的是第26页，共34页qqnnnniqanqqnnnqqanqqinqnqNebbNebb)(*)(*nqnnniqnanqbxNexa现在学习的是第27页，共34页晶格振动总能量的简正表示 动能 2()22222iqnaiqnanqqnnnqqi
10、 q q naqqqqqnqqmmmeeTxxxaaNNmema aa aN 势能ijjiijiiinxxxxUUxxxU21)()(021现在学习的是第28页，共34页总能量 qq*q2qqaa)q(aa 2mUTHqqqQQmH)(2222N个独立的谐振子的总能量 222()2qqmQQ现在学习的是第29页，共34页声子 谐振子能量 三维情况下 llln)21(NnlllnE31)21(NnlllnE31)21(晶格振动的能量是量子化的晶格振动的能量是量子化的晶格振动的能量子称为晶格振动的能量子称为“声子声子”，它是晶格振动能量的最小单位它是晶格振动能量的最小单位。现在学习的是第30页，共
11、34页第五节 晶格比热VVECT比热定义：一、晶格比热的量子理论一、晶格比热的量子理论思想：思想：晶格振动的能量是量子化的，晶格振动的能量是量子化的，振动频率为振动频率为的一个谐振子能量为：的一个谐振子能量为：)21(nn求出总能量：dTkEB)()1exp21(m0d)(表示角频率在+d间的格波数 现在学习的是第31页，共34页dTkTkTkkCmBBBBV)()1(expexp)(022温度很低时 NlBlBlBVTkTkkC312exp)(比热随温度的降低而迅速减少 与实验相符 BVNkC3比热为常数，与杜隆-珀替定律一致 温度很高时 现在学习的是第32页，共34页)(如何确立二、爱因斯坦模型 思想：晶体中所有的原子都以同种频率振动 22)1(expexp)(3THTHTHNkCEEEBVBEkH高温下实验符合得也很好 低温下与实验只能定性地符合 其中因为一般在红外区域，忽略了低频的影响所至。现在学习的是第33页，共34页三、德拜模型 思想：布拉菲晶格看作是各向同性的连续介质 TDDxxDBVDTRfedxxeTNkC0243)(3)1()(9TxxDDDDedxxeTTf0243)1()(3)(温度越低符合得越好 因为非常低温下，主要是长波激发，晶格看作连续介质。在高温下，有长波、有短波，有声学波，有光学波，不能再把晶格看作连续介质 其中现在学习的是第34页，共34页