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1、数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；（2）通项公式的定义：如果数列na的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如： 1 ，2 ，3 ，4， 5 ，：514131211，（3）数列的函数特征与图象表示：4 5 6 7 8 9 序号： 1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 （4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6， (
2、2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,（5）数列 na的前 n 项和nS与通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn例：已知数列na的前 n 项和322nsn，求数列na的通项公式二、等差数列题型一 、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaad n或1(1)nnaad n。例：等差数列12nan，1nnaa题型二 、等差数列的通项公式：1(1)naand；
3、等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d0为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。例： 1. 已知等差数列na中，12497116aaaa，则，等于（）A15 B 30 C 31 D 64 2.na是首项11a，公差3d的等差数列，如果2005na，则序号n等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）670 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 题型三 、等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，
4、那么A叫做a与b的等差中项。其中2abAa，A，b成等差数列2abA即：212nnnaaa（mnmnnaaa2）例： 1设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380a a a，则111213aaa（）A120 B105C90 D752. 设数列na是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A1 B.2 C.4 D.8 题型四 、等差数列的性质：（1）在等差数列na中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列na中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列na中，对任意m，nN，()nmaanm d，nmaadnm
5、()mn；（4）在等差数列na中，若m，n，p，qN且mnpq，则mnpqaaaa；题型五 、等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnn aan nSnadnda）（2n2112。(),(2为常数BABnAnSnna是等差数列 ) 递推公式：2)(2)()1(1naanaaSmnmnn例： 1. 如果等差数列na中，34512aaa，那么127.aaa（A）14 （B）21 （C）28 （D）35 2. 设nS是等差数列na的前 n 项和，已知23a，611a，则7S等于 ( ) A13 B35 C49 D 63 3. 设等差数列na的前n项和为nS，若972S, 则249aaa=
6、4. 若一个等差数列前3 项的和为 34， 最后 3 项的和为 146， 且所有项的和为390， 则这个数列有 （）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项5. 设等差数列na的前n项和为nS，若535aa则95SS6. 已知na数列是等差数列，1010a，其前 10 项的和7010S，则其公差d等于 ( ) 3132BA C.31 D.32名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 7设an为等差数列，Sn为数列
7、an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列nSn的前n项和，求Tn。题型六 . 对与一个等差数列，nnnnnSSSSS232,仍成等差数列。例： 1. 等差数列 an 的前m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前3m项和为（）A.130 B.170 C.210 D.260 2. 一个等差数列前n项的和为 48，前 2n项的和为 60，则前 3n项的和为。3. 设nS为等差数列na的前n项和，971043014SSSS，则，= 4 （06 全国 II ）设Sn是等差数列an的前n项和，若36SS13，则612SSA 310B13 C18D19题型七 判断或证明一个数列是等差数列的
8、方法：定义法：）常数）（Nndaann(1na是等差数列中项法：)221Nnaaannn（na是等差数列通项公式法：),(为常数bkbknanna是等差数列前n项和公式法：),(2为 常 数BABnAnSnna是等差数列例： 1. 已知一个数列na的前 n 项和422nsn，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2. 已知一个数列na的前 n 项和22nsn，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3. 数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且（Nn）求数列na的通项公式；题型八
9、. 数列最值（1）10a，0d时，nS有最大值；10a，0d时，nS有最小值；（2）nS最值的求法：若已知nS，nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；可用二次函数最值的求法（nN） ；或者求出na中的正、负分界项，即：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 若已知na，则nS最值时n的值（nN）可如下确定100nnaa或100nnaa。例： 1等差数列na中，12910SSa，则前项的和最大。 2设等差数列na的
10、前n项和为nS，已知001213123SSa，求出公差d的范围，指出1221SSS，中哪一个值最大，并说明理由。3. 已知na是等差数列，其中131a，公差8d。（1）数列na从哪一项开始小于0？（2）求数列na前n项和的最大值，并求出对应n的值题型九 . 利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项1已知数列na的前n项和，142nnSn则2. 设数列na的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列na的通项公式；3. 已知数列na中，31a前n和1) 1)(1(21nnanS求证：数列na是等差数列求数列na的通项公式4. 设数列na的前 n 项和2nSn，则8a的值为（）（A） 15 (B)
11、16 (C) 49 （D）64 等比数列等比数列定义：一、递推关系与通项公式mnmnnnnnqaaqaaaa推广：通项公式：递推关系：111q1 在等比数列na中,2,41qa，则na2在等比数列na中，22a，545a，则8a= 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3. 在各项都为正数的等比数列na中，首项13a，前三项和为21，则345aaa（）A 33 B 72 C 84 D 189 二、等比中项：若三个数c
12、ba,成等比数列，则称b为ca与的等比中项，且为acbacb2，注：是成等比数列的必要而不充分条件. 例： 1.23和23的等比中项为 ( ) ( )1A()1B()1C()2D三、等比数列的基本性质，1. （1）qpnmaaaaqpnm，则若),(Nqpnm其中（2）)(2Nnaaaaaqmnmnnmnmn，（3）na为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）na既是等差数列又是等比数列na是各项不为零的常数列. 例： 1在等比数列na中,1a和10a是方程22510 xx的两个根 , 则47aa( ) 5()2A2()2B1()2C1()2D2. 在等比数列na中，14361
13、3233nnaaaaaa，求na若nnnTaaaT求,lglglg213. 等比数列na的各项为正数，且5647313231018,loglogloga aa aaaa则（） A12 B10 C8 D2+3log 5四、等比数列的前n 项和，)1(11)1() 1(111qqqaaqqaqnaSnnn例： 1. 已知等比数列na的首相51a，公比2q，则其前n 项和nS2. 设等比数列na的前 n 项和为nS，已, 62a30631aa，求na和nS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
14、 - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3设4710310( )22222()nf nnN，则( )f n等于（）A2(81)7nB12(81)7n C32(81)7n D 42(81)7n五. 等比数列的前n 项和的性质若数列na是等比数列，nS是其前 n 项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列 . 例： 1. 一个等比数列前n项的和为 48，前 2n项的和为 60，则前 3n项的和为（）A83 B108 C75 D63 2. 已知数列na是等比数列，且mmmSSS323010，则，六. 等比数列的判定法（1）定义法：（常数）qaann
15、1na为等比数列；（2）中项法：)0(221nnnnaaaana为等比数列；（3）通项公式法：为常数）qkqkann,(na为等比数列；（4）前n项和法：为常数）（qkqkSnn,)1(na为等比数列。为常数）（qkkqkSnn,na为等比数列。七. 利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项例： 1. 数列 an 的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an 的通项公式2. 已知数列na的首项15,a前n项和为nS，且*15 ()nnSSnnN， 证明数列1na是等比数列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
16、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 求数列通项公式方法（1） 公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例： 1 已知等差数列na满足：26, 7753aaa， 求na；2. 已知数列na满足)1( 1,211naaann，求数列na的通项公式； 3.数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且（Nn） ，求数列na的通项公式；4. 已知数列na满足211,211nnaaa，求数列na的通项公式；5. 设数列na满足01a且111111nnaa，求na的通项公式6.
17、已知数列na满足)1(3, 211naaann，求数列na的通项公式；7. 已知数列na满足2122142nnnaaaaa且，（Nn） ，求数列na的通项公式；8. 已知数列na满足，21a且1152(5 )nnnnaa（Nn） ，求数列na的通项公式；9. 已知数列na满足，21a且115 223(5 22)nnnnaa（Nn） ，求数列na的通项公式；（2）累加法1、累加法适用于：1( )nnaaf n若1( )nnaaf n(2)n，则21321(1)(2)( )nnaafaafaaf n名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
18、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 两边分别相加得111( )nnkaaf n例： 1.已知数列na满足141,21211naaann，求数列na的通项公式。2. 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。3. 已知数列na满足112 313nnnaaa，求数列na的通项公式。4. 设数列na满足21a，12123nnnaa，求数列na的通项公式（ 3）累乘法适用于：1( )nnaf n a若1( )nnaf na，则31212(1)(2)( )nnaaafff naaa，例： 1. 已知数列
19、na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。2.已知数列na满足321a，nnanna11，求na。3.已知31a，nnanna23131)1(n，求na。（4）待定系数法适用于1( )nnaqaf n解题基本步骤：1、确定( )f n2、设等比数列1( )naf n，公比为3、列出关系式)() 1(2211nfanfann名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 4、比较系数求1，25、解得数列1(
20、)naf n的通项公式6、解得数列na的通项公式例： 1. 已知数列na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。2在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na_ 3.已知数列na满足1123 56nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1152(5 )nnnnaxax4已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na5 已知数列na满足11124 31nnnaaa，求数列na的通项公式。（5）递推公式中既有nS又有na把已知关系通过11,1,2nnnS naSSn转化为数列na或nS的递推关系，然后采用相应的方法求解。1. 数列 an的前n
21、项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列 an的通项公式2. 已知数列na中，31a前n和1)1)(1(21nnanS求证：数列na是等差数列求数列na的通项公式3已知数列na的各项均为正数， 且前 n 项和nS满足1(1)(2)6nnnSaa，且249,aa a成等比数列，求数列na的通项公式。（6）倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例： 1. 已知数列na满足112,12nnnaaaa，求数列na的通项公式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
22、 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。dnnnaaanSnn2) 1(2)(11)1(1)1 ()1(11qqqaqnaSnn公比含字母时一定要讨论例： 1。已知等差数列na满足, 11a32a，求前n项和nS2已知等比数列na满足, 11a32a，求前n项和nS3. 设4710310( )22222()nf nnN，则( )f n等于（）A.2(81)7n B.12(81)7n C.32(81)7nD.42(81)7n2错位相减法求和：如：.,2211的和求等比等差nnnnbabababa例：
23、 1求和21123nnSxxnx2. 求和：nnanaaaS323213. 设na是等差数列，nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（）求na，nb的通项公式；（）求数列nnab的前n项和nS3裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项：111)1(1nnnn)121121(21)12)(12(1nnnn)211(21)2(1nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnn!)!1(!nnnn)!1(1!1)!1(nnnninininCCC111数列na是等差数列，数列11nnaa的前n项和名师资料总结 - - -精
24、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 例： 1. 数列na的前n项和为nS，若1(1)nan n，则5S等于 _ 2. 已知数列na的通项公式为1(1)nan n，求前n项的和；3. 已知数列na的通项公式为11nann，求前n项的和4. 求)( ,32114321132112111*Nnn。4倒序相加法求和综合练习：1. 等比数列na的各项均为正数，且13221aa，62239aaa（1）求数列na的通项公式（2）设naaanb333log.loglog21，求数列1nb的前 n项和2. 已知等差数列na满足02a, 1086aa. (1) 求数列na的通项公式及nS（2）求数列21nna的前 n 项和3. 设数列na满足21a，12123nnnaa（1）求数列na的通项公式（2）令nnnab，求数列nb的前 n 项和nS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -