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1、数列一、数列的概念（ 1）数列定义：按肯定次序排列的一列数叫做数列；（ 2）通项公式的定义：假如数列 an 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式；例如： 1 , 2 , 3 , 4, 5,1： 11 1 1, , , ,2 3 4 5（ 3）数列的函数特点与图象表示：456789序号： 123456项 ： 456789（ 4）数列分类：按数列项数是有限仍是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摇摆数列；例：以下的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列？（ 1）1, 2, 3,4
2、, 5, 6,210, 9, 8, 7, 6, 5,3 1, 0, 1, 0, 1, 0,4a, a, a, a, a,S1 n1（ 5）数列 an 的前 n 项和Sn 与通项a n 的关系： anSnSn 1n 2例：已知数列 an 的前 n 项和 sn2n23,求数列 an 的通项公式二、等差数列题型一 、等差数列定义：一般地,假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示；用递推公式表示为anan 1dn2 或 an 1andn1；例：等差数列an2n1 , anan 1题型二 、等差数列的通
3、项公式：ana1n1d ；等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性： d0 为递增数列, d0 为常数列, d0为递减数列；例： 1. 已知等差数列an中, a7a916, a41,就a12 等于（）A15B30C31D 642. an 是首项a11,公差 d3 的等差数列,假如 an2005,就序号 n 等于（ A） 667（ B） 668（ C） 669（D） 670题型三 、等差中项的概念：定义：假如 a , A , b 成等差数列,那么A叫做 a 与 b 的等差中项；其中Aab2a , A , b 成等差数列Aab 2即： 2an 1anan 2（ 2anan man m ）例： 1
4、设an 是公差为正数的等差数列,如a1a2a315 , a1a2a380 ,就a11a12a13（）A 120B 105C 90D 752. 设数列 an 是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为 48,就它的首项是（）A 1B.2C.4D.8题型四 、等差数列的性质：（ 1）在等差数列an中,从第 2 项起,每哪一项它相邻二项的等差中项；（ 2）在等差数列an中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（ 3）在等差数列a中,对任意 m , nN , aanmd , danammn ；（ 4）在等差数列nnman中,如 m, n , p , qN 且 mnpq ,就 amnmanap
5、aq ；题型五 、等差数列的前 n 和的求和公式： Snna1anna1nn1) d1 n 2（ a1d ） n ；2222 SAn 2Bn A, B为常数a是等差数列 nn递推公式： Sn a1an n 2aman m21 n例： 1. 假如等差数列an中, a3a4a512,那么 a1a2.a7（ A） 14（B） 21（ C） 28（ D） 352. 设 Sn 是等差数列an的前 n 项和,已知a23 ,a611,就S7 等于 A 13B 35C 49D 633. 设等差数列an 的前 n项和为Sn ,如S972 , 就 a2a4a9 =4. 如一个等差数列前3 项的和为 34,最终 3
6、 项的和为 146,且全部项的和为 390,就这个数列有 （）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项5. 设等差数列a的前 n项和为 S ,如 a5a 就 S9nn53S56. 已知 an数列是等差数列,a1010 ,其前 10 项的和S1070 ,就其公差 d 等于 2112A. BC.D.33337. 设 an为等差数列, Sn 为数列 an的前 n 项和,已知 S77, S15 75,Tn 为数列n 项和,求 Tn；Sn的前n题型六 . 对与一个等差数列,Sn , S2nSn , S3nS2n 仍成等差数列；例： 1. 等差数列 an 的前 m项和为 30,前 2m项和为 10
7、0,就它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602. 一个等差数列前 n 项的和为 48,前 2 n项的和为 60,就前 3 n 项的和为；3. 设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和, S414,S10S730,就S9 =4（ 06 全国 II ）设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和,如S3 1 ,就S63S6 S12A. 3 10B. 13C 18D 19题型七 判定或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：an 1and常数）（ nN ）an 是等差数列中项法：2an 1anan 2（nN an是等差数列n通项公式法：anknbk,b为常数an是等差数列前 n 项和
8、公式法：SAn2Bn A, B为 常 数an 是等差数列例： 1. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n24 ,就数列 an 为（）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定2. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n2 ,就数列 an 为（）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定3. 数列an 满意a1 =8, a42,且 an 22an 1an0 （ nN）求数列an 的通项公式；题型八 . 数列最值（ 1）a10 , d0 时,Sn 有最大值；a10 , d0 时,Sn 有最小值；n（ 2）S 最值的求法：如已知S
9、 , S 的最值可求二次函数San2bn 的最值；nnn可用二次函数最值的求法（nN ）；或者求出an中的正、负分界项,即：如已知an ,就Sn 最值时 n 的值（ nN ）可如下确定an0或an 10an0；an 10例： 1等差数列an 中,a10,S9S12 ,就前项的和最大；2设等差数列an的前 n 项和为Sn ,已知a312,S120, S130求出公差 d 的范畴,指出S1,S2,S12 中哪一个值最大,并说明理由；3. 已知 an 是等差数列,其中a131,公差 d8 ；（ 1）数列 an 从哪一项开头小于0？（ 2）求数列 an 前 n项和的最大值,并求出对应n 的值题型九 .
10、 利用 anS1nSnSn 1 n1求通项21. 已知数列an 的前 n 项和 Snn 24n1,就2. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn=2n ,求数列 an的通项公式；23. 已知数列an 中, a13,前 n和 Sn1 n21 an11求证：数列an 是等差数列2求数列an 的通项公式4. 设数列 an 的前 n 项和Snn ,就a8 的值为（）（ A） 15B 16C49（D） 64等比数列等比数列定义：一、递推关系与通项公式递推关系：通项公式：an 1aanqn 1aq推广： ann1maqn m1. 在等比数列an中, a14, q2 ,就 an2. 在等比数列an 中, a2
11、2 , a554 ,就a8 =3. 在各项都为正数的等比数列 an中,首项a13,前三项和为21,就 a3a4a5（）A 33B 72C 84D 189二、等比中项：如三个数a, b, c 成等比数列,就称 b 为 a与c 的等比中项,且为 bac,注： b 2ac是成等比数列的必要而不充分条件.例： 1. 23 和 23 的等比中项为 A1 B1C 1 D 2三、等比数列的基本性质,1. （ 1） 如mnpq,就 amana paq 其中m, n, p,qN （ 2） qn man2, anaman man m nN （ 3） an为等比数列,就下标成等差数列的对应项成等比数列.（ 4） a
12、n既是等差数列又是等比数列an 是各项不为零的常数列.例： 1在等比数列a中, a 和 a 是方程 2 x25 x10 的两个根 , 就 aan110475 A2 B2 21C21 D22. 在等比数列an中, a1a633, a3a432, anan 1求 an如 Tnlg a1lg a2lg an ,求Tn3. 等比数列 an 的各项为正数,且a5a6a4a718,就log3 a1log3 a2log3 a10（）A 12B10C 8D 2+ log3 5四、等比数列的前n 项和,Snna1na1 1q 1qq1a1an q1qq1例： 1. 已知等比数列 an 的首相 a15 ,公比 q
13、2 ,就其前 n 项和 Sn2. 设等比数列 an 的前 n 项和为Sn ,已 a26, 6a1a330 ,求an 和 Sn3. 设f n2242721023 n nN ,就f n 等于（）10A 2 8n17B 2 8n 117C 2 8n 317D 2 8n 417五.等比数列的前 n 项和的性质如数列a n 是等比数列,Sn 是其前 n 项的和, kN * ,那么Sk , S2kSk , S3kS2k成等比数列 .例： 1. 一个等比数列前 n项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,就前 3 n 项的和为（）A 83B 108C 75D 632. 已知数列an 是等比数列,且 Sm1
14、0,S2m30,就S3m六. 等比数列的判定法an 1（ 1）定义法：anq（常数）an为等比数列；（ 2）中项法：2an 1anan 2 an0an 为等比数列；（ 3）通项公式法： ankqnk, q为常数）an 为等比数列；（ 4）前 n 项和法： Snk1qn （k,q为常数）an 为等比数列；Snkkqn（k, q为常数）an为等比数列；七. 利用 anS1nSnSn 1 n1求通项2例： 1. 数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an 1 an 的通项公式1Sn , n=1, 2, 3,求 a2, a3, a4 的值及数列32. 已知数列a的首项 a5, 前 n项和
15、为 S ,且 SSn5 nN,证明数列a1 是*n1nn 1nn等比数列求数列通项公式方法（ 1）公式法（定义法）依据等差数列、等比数列的定义求通项例： 1 已知等差数列 an 满意： a37, a5a726, 求 an ；2. 已知数列 an 满意 a12,anan 11n1 ,求数列 an 的通项公式；3. 数列 an满意 a1 =8, a42,且 an 22an 1an0 （ nN）,求数列an 的通项公式；4. 已知数列 an 满意 a1112,an 1an2 ,求数列an 的通项公式；5. 设数列 an 满意 a10 且11an 111 an1 ,求 an的通项公式6. 已知数列 a
16、n 满意 a12, an3an1 n1) ,求数列 an 的通项公式；7. 已知数列 an 满意 a12, a24且an 2anan 1（ nN）,求数列an 的通项公式；8. 已知数列 an 满意 a12,且 an 15n 12an5n （ nN）,求数列an的通项公式；9. 已知数列 an 满意 a12,且 an52n 12 3an52n2) （ nN ）,求数列an的通1项公式；（ 2）累加法1、累加法适用于：an 1anf na2a1f 1如 an 1anf n n2 ,就a3a2f 22an 1anf n两边分别相加得an 1a1nf nk 1例： 1.已知数列 an1 满意 a1,
17、 2an 1an14n 2,求数列 an 1的通项公式；2. 已知数列 an 满意an 1an2n1,a11,求数列 an的通项公式；3. 已知数列 an 满意an 1a23n1,a13 ,求数列 an 的通项公式；4. 设数列 an 满意 a12 , an 1ann2n 123,求数列 an 的通项公式（ 3）累乘法适用于：an 1f n an如 an 1f n ,就 a2a3f 1f 2,an 1f n,ana1a2an例： 1. 已知数列 a 满意 a2n15na , a3 ,求数列 a 的通项公式；nn 1n1n2. 已知数列an 满意 a12, an 13nan ,求n1an ；3.
18、 已知 a13 , an 13n1ann3n21) ,求an ；（ 4）待定系数法适用于an 1qanf n解题基本步骤：1、确定 f n2、设等比数列an1 f n,公比为3、列出关系式an 11 f n12 an2 f n4、比较系数求1 , 25、解得数列an1 f n的通项公式6、解得数列an的通项公式例： 1. 已知数列 an 中, a11, an2an 11n2) ,求数列an 的通项公式；2. 在数列an中,如 a11, an 12an3n1) ,就该数列的通项 an3. 已知数列 an 满意an 12an3 5n, a6 ,求数列an的通项公式；1nn1解：设 ax52ax5
19、4. 已知数列n 1an 中, a1n51, an 1an 63 1 n 1 ,求 a1n25. 已知数列 an 满意an 12an4 3n1,a1,求数列an的通项公式；（ 5）递推公式中既有Sn 又有 an把已知关系通过 anS1, n1转化为数列an 或Sn 的递推关系,然后采纳相应的方法求解；SnSn 1, n211. 数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an 1的通项公式Sn , n=1, 2, 3,求a2, a3, a4 的值及数列 an32. 已知数列an中, a13,前 n 和 Sn1 n21 an11求证：数列an 是等差数列求数列an 的通项公式3. 已知数
20、列 an的各项均为正数, 且前 n 项和Sn 满意 Sn1an61an2 ,且 a2 , a4, a9成等比数列,求数列 an 的通项公式；（ 6）倒数变换法适用于分式关系的递推公式,分子只有一项例： 1. 已知数列 a 满意 a2an, a1 ,求数列 a 的通项公式；nn 11nan2数列求和1. 直接用等差、等比数列的求和公式求和；naa nn1na1 q1Sn11nna 2dSn2a1 11q n qq1) 公比含字母时肯定要争论例： 1；已知等差数列 an 满意 a11, a23 ,求前 n 项和 Sn2. 已知等比数列 an 满意 a11, a23 ,求前 n 项和 Sn3. 设f
21、 n2242721023n10 nN ,就f n 等于（）A. 2 8n71) B.2 8n 11C.72 8n 317D. 2 8n 4172. 错位相减法求和：如：an 等差 , bn等比 , 求a1b1a2b2an bn的和.例： 1求和 Sn12x3x2nxn 12. 求和： Sn123naa 2a3a n3. 设 an 是等差数列, bn是各项都为正数的等比数列,且a1b11 , a3b521, a5b313（）求 an , bn 的通项公式； （）求数列an的前 n 项和bnSn 3. 裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾如干项；常见拆项：1nn111nn1
22、2n11 2n11 122n112n111 1111 11nn22nn2nn1 n22 nn1n1 n2n n.n1.n.nn1.1n.n11.i 1iiCCCn 1nn 1数列 an是等差数列,数列1an an 1的前 n 项和例： 1. 数列 an 的前 n项和为Sn ,如 an1nn,就 S5 等于 12. 已知数列3. 已知数列 an an 的通项公式为 an 的通项公式为 an1nn,求前 n 项的和；11 ,求前 n 项的和4. 求1111nn11,nN* ；1 2 1 2 3 1 2 3 41 2 3n4. 倒序相加法求和综合练习：1. 等比数列 an 的各项均为正数,且2a13a221, a39a2 a633（ 1）求数列 an 的通项公式3（ 2）设 bnlog a1log a2.log an,求数列1 的前 n 项和bn2. 已知等差数列 an 满意 a 20 ,a6a810 .(1) 求数列 an 的通项公式及Sn（ 2）求数列 an 2n 1的前 n 项和3. 设数列 an 满意 a12 , an 1an3 22 n 1（ 1）求数列 an 的通项公式（ 2）令bnnan ,求数列 bn 的前 n 项和 Sn