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1、学习必备欢迎下载第十二章数项级数教学目的： 1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。教学重点难点 ：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。教学时数 ：18 学时1 级数的收敛性一概念 ：1级数 ：级数 ，无穷级数; 通项 ( 一般项 , 第项 ), 前项部分和等概念( 与中学的有关概念联系). 级数常简记为. 2.级数的敛散性与和: 介绍从有限和入手 , 引出无限和的极限思想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝
2、本, 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例 1讨论几何级数的敛散性 .（这是一个重要例题！）解时, . 级数收敛; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页学习必备欢迎下载时, 级数发散; 时, , , 级数发散; 时, , , 级数发散 . 综上, 几何级数当且仅当时收敛 , 且和为( 注意从 0开始 ). 例 2讨论级数的敛散性 . 解（利用拆项求和的方法）例 3讨论级数的敛散性 . 解设, , = , . , . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
3、第 2 页，共 27 页学习必备欢迎下载因此, 该级数收敛 . 例 4 讨论级数的敛散性 . 解, . 级数发散 . 3.级数与数列的关系: 对应部分和数列 , 收敛收敛; 对每个数列 , 对应级数, 对该级数 , 有=. 于是,数列收敛级数收敛. 可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 .4. 级数与无穷积分的关系: , 其中. 无穷积分可化为级数; 对每个级数 , 定义函数, 易见有=.即级数可化为无穷积分 . 综上所述 , 级数和无穷积分可以互化, 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
4、 - - - -第 3 页，共 27 页学习必备欢迎下载二.级数收敛的充要条件 Cauchy 准则 ：把部分和数列 收敛的 Cauchy 准则翻译成级数的语言， 就得到级数收敛的Cauchy 准则 . Th ( Cauchy 准则 ) 收敛和N, . 由该定理可见 , 去掉或添加上或改变( 包括交换次序) 级数的有限项, 不会影响级数的敛散性 . 但在收敛时, 级数的和将改变 . 去掉前项的级数表为或. 系( 级数收敛的必要条件) 收敛. 例 5证明级数收敛 . 证显然满足收敛的必要条件 . 令, 则当时有应用 Cauchy 准则时，应设法把式|不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，确定.
5、 例 6判断级数的敛散性 . ( 验证. 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页学习必备欢迎下载例 7( 但级数发散的例) 证明调和级数发散 . 证法一( 用 Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二证明发散. 利用已证明的不等式. 即得，. 三 收敛级数的基本性质： （ 均给出证明）性质 1 收敛， Const 收敛且有=( 收敛级数满足分配律) 性质 2 和收敛 ，收敛, 且有=. 问题 : 、三者之间敛散性的关系 . 性质 3 若级数收敛 , 则任意加括号后所得级数
6、也收敛,且和不变 . ( 收敛数列满足结合律) 例 8考查级数从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 . 该例的结果说明什么问题? 2 正项级数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页学习必备欢迎下载一. 正项级数判敛的一般原则: 1.正项级数: ; 任意加括号不影响敛散性. 2.基本定理: Th 1 设. 则级数收敛 . 且当发散时, 有, . ( 证 ) 正项级数敛散性的记法 . 3.正项级数判敛的比较原则: Th 2 设和是两个正项级数, 且时有, 则 , =, =.( 是的逆否命题) 例 1考查级数的敛散性 . 解
7、有例 2设. 判断级数的敛散性 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页学习必备欢迎下载推论 1 ( 比较原则的极限形式) 设和是两个正项级数且,则 时 , 和共敛散 ; 时 , , 时 , =, =. ( 证 ) 推论 2 设和是两个正项级数, 若=，特别地 ，若,， 则 若, 若, =. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页学习必备欢迎下载证 不妨设时就有成立 , 有依次相乘, , 即. 由, 得, 可见往后递增, . 推论 ( 检比法
8、的极限形式) 设为正项级数, 且. 则 , 或=, =. ( 证 ) 註倘用检比法判得=, 则有. 检比法适用于和有相同因子的级数 ,特别是中含有因子者. 例 4 判断级数的敛散性 . 解, . 例 5讨论级数的敛散性 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页学习必备欢迎下载解. 因此, 当时, ; 时, ; 时, 级数成为, 发散. 例 6判断级数的敛散性 . 注意对正项级数，若仅有，其敛散性不能确定 . 例如对级数和, 均有，但前者发散 , 后者收敛 . 2. 检根法 ( Cauchy 判别法 ): 也是以几何级
9、数作为比较的对象建立的判别法 . Th 4 设为正项级数, 且及, 当时 , 若, 若, =. ( 此时有.) ( 证 ) 推论 ( 检根法的极限形式) 设为正项级数, 且. 则, 和均为正项级数, 且有和; , . 同号项级数的性质 :Th 3 若， 则，. 若条件收敛, 则, . 证 由和, 成立 . 反设不真, 即和中至少有一个收敛, 不妨设.由= , =以及和收敛 , .而, ,与条件收敛矛盾 .绝对收敛级数的可重排性 : 更序级数的概念 .Th 4 设是的一个更序 . 若, 则, 且=. 证 若，则和是正项级数, 且它们的部分和可以互相控制 .于是 , , , 且和相等 . 对于一般
10、的, = , = .正项级数和分别是正项级数和的更序 . 由, 据 Th 1 , 和收敛 . 由上述 所证 , 有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页学习必备欢迎下载, , 且有=, =, =. 由该定理可见, 绝对收敛级数满足加法交换律 . 是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢? 回答是肯定的 . Th 5 ( Riemann ) 若级数条件收敛 , 则对任意实数( 甚至是) , 存在级数的更序, 使得=. 证以 Leibniz 级数为样本 , 对照给出该定理的证明 . 关于无穷和的交换律, 有如下结果 : 若
11、仅交换了级数的有限项, 的敛散性及和都不变 . 设是的一个更序 . 若, 使在中的项数不超过,则和共敛散 , 且收敛时和相等 . 三. 级数乘积简介 : 1. 级数乘积: 级数乘积, Cauchy 积.1 P20 21. 2级数乘积的 Cauchy 定理: Th 6 ( Cauchy ) 设, , 并设=, =. 则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛, 且乘积级数的和为. ( 证略 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27 页学习必备欢迎下载例 3 几何级数是绝对收敛的 . 将按 Cauchy 乘积排列 , 得到
12、. 四. 型如的级数判敛法：1Abel 判别法：引理 1 （分部求和公式，或称Abel 变换）设和（）为两组实数 .记. 则. 证注意到, 有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 27 页学习必备欢迎下载.分部求和公式是离散情况下的分部积分公式. 事实上 , . 可见 Abel 变换式中的相当于上式中的, 而差相当于, 和式相当于积分 . 引理 2 ( Abel ) 设、和如引理 1 .若单调 , 又对,有，则. 证不妨设. . 系设, (). 和如. 有. ( 参引理 2 证明 ) 精选学习资料 - - - - - - -
13、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页学习必备欢迎下载Th 7 (Abel 判别法 ) 设 级数收敛， 数列单调有界 . 则 级数收敛 . 证( 用 Cauchy 收敛准则, 利用 Abel 引理估计尾项) 设, 由收敛 , 对时 , 对, 有. 于是当时对有. 由 Cauchy 收敛准则, 收敛. 2. Dirichlet 判别法 : Th 8 ( Dirichlet ) 设 级数的部分和有界 , 数列单调趋于零 . 则级数收敛 . 证设, 则, 对, 有. 不妨设0 , 对. 此时就有. 由 Cauchy 收敛准则, 收敛. 精选学习资料 - - -
14、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页学习必备欢迎下载取0 , , 由 Dirichlet 判别法 , 得交错级数收敛 . 可见 Leibniz 判别法是 Dirichlet 判别法的特例 . 由 Dirichlet 判别法可导出Abel 判别法 . 事实上 , 由数列单调有界, 收敛 , 设. 考虑级数, 单调趋于零, 有界, 级数收敛 , 又级数收敛, 级数收敛. 例 4 设0. 证明级数和对收敛. 证，时 ，. 可见时, 级数的部分和有界 . 由 Dirichlet 判别法推得级数收敛 . 同理可得级数数收敛 . 习题课例 1判断级数的
15、敛散性 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 27 页学习必备欢迎下载解注意到, 所论级数绝对收敛, 故收敛 . ( 用 D-判法亦可). 例 2 考查级数的绝对及条件收敛性 . 解时为 Leibniz 型级数 , , 条件收敛; 时 , 绝对收敛 . 例 3 若. 交错级数是否必收敛 ? 解未必. 考查交错级数. 这是交错级数, 有. 但该级数发散 . 因为否则应有级数收敛 . 而. 由该例可见, 在 Leibniz 判别法中, 条件单调是不可少的 . 例 4 判断级数精选学习资料 - - - - - - - - -
16、名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 27 页学习必备欢迎下载的敛散性 . 解从首项开始 ,顺次把两项括在一起 , 注意到, 以及 级数, 所论级数发散 . 例 5设级数收敛. 证明级数收敛. 证 . 由 Abel 或 Dirichlet 判法, 收敛. 例 6, 判断级数的敛散性 . 解. , 现证 级数收敛 : 因时不, 又, 由 Dirichlet 判法, 级数收敛. 故本题所论级数发散 .例 7判断级数的绝对收敛性 . 解由 Dirichlet 判法,得级数收敛 .但. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2
17、5 页，共 27 页学习必备欢迎下载仿例 6 讨论,知本题所论级数条件收敛 . 例 8 设级数绝对收敛 ,收敛. 证明级数收敛.证 先证数列收敛 . 事实上 ,收敛 ,收敛. 令, 则数列收敛 ,故有界 . 设, 于是由 Abel 变换, 有, ( 或而,收敛. 又数列和收敛, 数列收敛 , 部分和数列收敛. 例 9设数列收敛 , 级数收敛 . 证明级数收敛 . 证注意到, 收敛 . 例 10 设,.证明级数收敛. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页学习必备欢迎下载证法一由,. 因此,所论级数是 Leibniz 型级数 , 故收敛 . 证法二, ,. 由Dirichlet 判法, 收敛. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 27 页