《2022年高中数学选修4系列1-4-5知识点总结 2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学选修4系列1-4-5知识点总结 2.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 1. 课程内容：必修课程 由 5 个模块组成：必修 1：集合、函数概念与基本初等函数指、对、幂函数必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修 3：算法初步、统计、概率。必修 4：基本初等函数三角函数 、平面向量、三角恒等变换。必修 5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内
2、容。选修课程 有 4 个系列：系列 1：由 2 个模块组成。选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列 2：由 3 个模块组成。选修 21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修 22：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修 23：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列 3：由 6 个专题组成。选修 31：数学史选讲。选修 32：信息安全与密码。选修 33：球面上的几何。选修 34：对称与群。选修 35：欧拉公式与闭曲面分类。选修 36：三等分角与数域扩充。系列 4：由 10 个专题组成。选
3、修 41：几何证明选讲。选修 42：矩阵与变换。选修 43：数列与差分。选修 44：坐标系与参数方程。选修 45：不等式选讲。选修 46：初等数论初步。选修 47：优选法与试验设计初步。选修 48：统筹法与图论初步。选修 49：风险与决策。选修 410：开关电路与布尔代数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页2 解题基本方法配方法换元法待定系数法定义法数学归纳法参数法反证法消去法分析与综合法特殊与一般法类比与归纳法观察与实验法常用的数学思想数形结合思想分类讨论思想函数与方程思想转化化归思想2重难点及考点：重点：函数，
4、数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点： 函数、圆锥曲线高考相关考点：集合与简易逻辑 : 集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的
5、方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的概念与运算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页3 高中数学选修 4-5 知识点1、不等式的基本性质对称性abba传递性,ab bcac可加性aba
6、cbc同向可加 性dbcadcba,异向可减 性dbcadcba,可积性bcaccba0,bcaccba0, 同向正数 可乘性0,0abcdacbd异向正数 可除性0,0ababcdcd平方法则0(,1)nnababnNn且开方法则0(,1)nnabab nNn且倒数法则babababa110;1102、几个重要不等式222abab abR，, 当且仅当ab时取号 . 变形公式：22.2abab基本不等式2abababR，,当且仅当ab时取到等号. 变形公式：2abab2.2abab用基本不等式求最值时积定和最小，和定积最大，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.三个正数的算术几何平均不等
7、式33abcabc()abcR、 、当且仅当abc时取到等号 .222abcabbcca abR，当且仅当abc时取到等号 . 3333(0,0,0)abcabc abc当且仅当abc时取到等号 . 0,2baabab若则当仅当 a=b 时取等号0,2baabab若则当仅当a=b 时取等号banbnamambab1， 其中000)abmn，规律：小于1 同加则变大，大于1 同加则变小 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页4 220;axaxaxaxa当时，或22.xaxaaxa绝对值三角不等式.ababab3、几个
8、著名不等式平均不等式：2211222abababab，,a bR（，当且仅当ab时取号 . 即调和平均几何平均算术平均平方平均 . 变形公式：222;22ababab222().2abab幂平均不等式：222212121.(.) .nnaaaaaan二维形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy1122(,).x yxyR二维形式的柯西不等式：22222()()() ( , , ,).abcdacbda b c dR当且仅当adbc时，等号成立. 三维形式的柯西不等式：22222221231231 1223 3()()() .aaabbba ba ba b一般形式的
9、柯西不等式：2222221212(.)(.)nnaaabbb21 122(.) .nna ba ba b向量形式的柯西不等式：设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立 .排序不等式排序原理：设1212.,.nnaaabbb为两组实数 .12,.,nc cc是12,.,nb bb的任一排列，则12111 122.nnnnna ba ba ba ca ca c1 122.nna ba ba b 反序和乱序和顺序和 ，当且仅当12.naaa或12.nbbb时，反序和等于顺序和. 琴生不等式: 特例 : 凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数( )f x, 对于定义域中任意
10、两点1212,(),xxxx有12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或则称 f(x) 为凸或凹函数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页5 4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法作差，作商法、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法 等. 常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如22131()() ;242aa将分子或分母放大缩小，如211,(1)kk k211,(1)kk k2212,21kkkkkk*12(,1
11、)1kNkkkk等. 5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法 . 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿奇穿偶切 ，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集 . 7、分式不等式的解法：先移项通分 标准化，则( )0( )( )0( )( )( )0( )0( )0( )f xf xg xg xfxg xf xg
12、 xg x“或”时同理规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2( )0( )(0)( )f xf xa af xa2( )0( )(0)( )f xf xa af xa2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页6 2( )0( )( )( )0( ) ( )f xf xg xg xf xg x( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg
13、x规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法：当1a时,( )( )( )( )fxg xaaf xg x当01a时, ( )( )( )( )fxg xaaf xg x规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法当1a时, ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x当01a时, ( )0log( )log( )( )0.( )( )aaf xf xg xg xf xg x规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：定义法：(0).(0)aaaaa平方法：22( )( )
14、( )( ).f xg xfxgx同解变形法，其同解定理有：(0);xaaxa a(0);xaxaxa a或( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xg xf xg xg x( )( )( )( )( )( )( )0)f xg xf xg xf xg xg x或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个或两个以上绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法解形如20axbxc且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
15、- - - - - - -第 6 页，共 19 页7 讨论a与 0 的大小；讨论与 0 的大小；讨论两根的大小. 14、恒成立问题不等式20axbxc的解集是全体实数或恒成立的条件是：当0a时0,0;bc当0a时00.a不等式20axbxc的解集是全体实数或恒成立的条件是：当0a时0,0;bc当0a时00.a( )f xa恒成立max( );f xa( )f xa恒成立max( );f xa( )f xa恒成立min( );f xa( )f xa恒成立min( ).f xa15、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线0AxByC的同一侧的所有点的坐标代入A
16、xByC后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)xy如原点，由00AxByC的正负即可判断出0AxByC(或0)表示直线哪一侧的平面区域. 即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点. 法二： 根据0AxByC(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，假设同号，0AxByC(或0)表示直线上方的区域；假设异号，则表示直线上方的区域. 即：同号上方，异号下方.二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 利用线性规划求目标函数zAxBy (,A B为常数的最值：精选学习资料 - - - - -
17、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页8 法一：角点法：如果目标函数zAxByxy、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值法二：画移定求：第一步， 在平面直角坐标系中画出可行域；第二步， 作直线0:0lAxBy，平移直线0l据可行域，将直线0l平行移动确定最优解；第三步，求出最优解( ,)x y；第四步，将最优解( ,)x y代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值 . 第二步中 最优解确
18、实定方法：利用z的几何意义：AzyxBB,zB为直线的纵截距. 假设0,B则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；假设0,B则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值 . 常见的目标函数的类型：“截距”型：;zAxBy“斜率”型：yzx或;ybzxa“距离”型：22zxy或22;zxy22()()zxayb或22()() .zxayb在求该 “三型” 的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义 求解，从而使问题简单化.精选学习资料 - - - - -
19、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页9 选修 4-4 数学知识点一、选考内容 坐标系与参数方程 高考考试大纲要求：1坐标系： 理解坐标系的作用. 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. 能在极坐标系中给出简单图形如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2参数方程： 了解参数方程，了解参数的意义. 能选择适当的参
20、数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结：1伸缩变换：设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换).0( , yy0),(x,x:的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 ，简称 伸缩变换 。2. 极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做 极点 ；自极点O引一条射线Ox叫做 极轴 ；再选定一个长度单位、一个角度单位( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向) ，这样就建立了一个极坐标系 。3点M的极坐标： 设M是平面内一点，极点O与点M的距离| OM叫做点M的极径 ，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点
21、M的极角 ，记为。有序数对),(叫做 点M的极坐标，记为),(M. 极坐标),(与)Z)(2,(kk表示同一个点。极点O的坐标为)R)(,0(. 4. 假设0, 则0, 规定点),(与点),(关于极点对称， 即),(与),(表示同一点。如果规定20,0，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(表示；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。5极坐标与直角坐标的互化：6。圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是r；在极坐标系中，以)0 ,(aC)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是cos2a；在极坐标系中，以)2,(aC)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标
22、方程是sin2a；7. 在极坐标系中，)0(表示以极点为起点的一条射线；)R(表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(aaA，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是acos. 8参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数),(),(tgytfx并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程 ，联系变数yx,的变数t叫做 参变数 ，简称 参数 。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 。9圆222)()(rbyax的参数方程可表示为)(.sin,cos为
23、参数rbyrax. 椭圆12222byax)0(ba的参数方程可表示为)(.sin,cos为参数byax. )0(nt,sin,cos,222xxyayxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页10 抛物线pxy22的参数方程可表示为)(.2,22为参数tptypxx. 经过点),(ooOyxM，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为.sin,cosootyytxxt为参数 . 10在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使yx,的取值范围保持一致.选修 4-1 数学知识点平
24、行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推理 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线所得的对应线段成比例。相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等， 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比或相似系数。由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6 个元素，即
25、三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：1两角对应相等，两三角形相似；2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；3三边对应成比例，两三角形相似。预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交， 所构成的三角形与三角形相似。判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成
26、比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。引理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。定理：1如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页11 2如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例
27、，那么这两个直角三角形相似。相似三角形的性质：1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；2相似三角形周长的比等于相似比；3相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。圆周定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论 2：半圆或直径
28、所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形的性质与判定定理定理 1：圆的内接四边形的对角互补。定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周
29、角。与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页12 割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。高中数学选修 4-1 知识点第一讲 相似三角形的判定及有关性质1.平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条
30、直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推理 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。2.平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线所得的对应线段成比例。3.相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等， 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比或相似系数。由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6 个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例
31、，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：1两角对应相等，两三角形相似；2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；3三边对应成比例，两三角形相似。预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交， 所构成的三角形与三角形相似。判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：对于任
32、意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。引理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页13 角形的第三边。定理：1如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；2如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。相似三角形的性质：1
33、相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；2相似三角形周长的比等于相似比；3相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。4.直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。第二讲 直线与圆的位置关系1.圆周定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论 2：半圆或直径所对的圆周角是
34、直角；90的圆周角所对的弦是直径。2.圆内接四边形的性质与判定定理定理 1：圆的内接四边形的对角互补。定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。3.圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。4.弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
35、。5.与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。6.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。7.三角形的五心(1)内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。性质：到三边距离相等。(2)外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。性质：到三个顶点距离相等。(3)重
36、心：三条中线的交点。性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2 倍。(4)垂心：三条高所在直线的交点。(5)旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。性质：到三边的距离相等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页14 第三讲 圆锥曲线性质的探究1.平面与圆柱面的截线：当平面与圆柱的两底面平行时，截面是个圆；当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是个椭圆；定理 1：圆柱形物体的斜截口是椭圆。定理 2：在空间中，取直线l 为轴，直线l 与 l 相交于 O 点，夹角为，l围绕 l 旋转得到以O
37、 为顶点， l为母线的圆锥面，任取平面，假设它与轴l 的夹角为 (当与 l 平行时，记 =0)，则截面不过顶点时：(1)，平面与圆锥的交线为椭圆；(2)，平面与圆锥的交线为抛物线；(3)，平面与圆锥的交线为双曲线；截面过顶点时：(1)截面和圆锥面只相交于顶点，交线为一个点。(2)截面和圆锥面相交于两条母线，交线为两条相交曲线。(3)截面和圆锥面相切，交线为两条重合直线。人教 A 选修 4-1 几何证明选讲一、填空题选择题1 2012年高考天津文 如图 , 已知AB和AC是圆的两条弦, 过点B作圆的切线与AC的延长线相交于D. 过点C作BD的平行线与圆交于点E, 与AB相交于点F,3AF,1FB
38、,32EF, 则线段CD的长为_.2 2012年高考陕西文 如图 , 在圆 O 中, 直径 AB与弦 CD垂直 , 垂足为E,EFDB, 垂足为 F, 假设6AB,1AE, 则DF DB_ _.3 2012 年高考广东文 ( 几何证明选讲)如图 3 所示 , 直线PB与圆O相切于点B,D是 弦AC上 的 点 ,PBADBA. 假 设ADm,ACn, 则AB_.4 2012 年高考江西理 在直角三角形ABC中, 点 D是斜边 AB的中点 , 点 P为线段CD的中点,则222|PAPBPC=A2 B4 C 5 D105 2012 年高考北京理 如图, ACB=90 ,CDAB 于点 D,以 BD为
39、直径的圆与BC交于点 E, 则FECDBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页15 A CE CB=AD DBBCE CB=AD AB C AD AB= 2CDD CE EB= 2CD6 2012 年高考陕西理 如图 , 在圆 O中, 直径 AB与弦 CD垂直 , 垂足为 E,EFDB, 垂足为 F,假设6AB,1AE, 则DF DB_.7 2012 年高考湖南理 如图 2, 过点 P的直线与圆O相交于 A,B 两点 . 假设 PA=1,AB=2,PO=3,则圆 O的半径等于 _.8 2012 年高考湖北理 ( 选
40、修 4-1: 几何证明选讲 )如图 , 点D在O 的弦AB上移动 ,4AB, 连接OD,过点D 作 OD 的垂线交O 于点C, 则CD的最大值为_. 9 2012 年高考广东理 ( 几何证明选讲 ) 如图 3, 圆O的半径为1,A、B、C是圆周上的三点, 满足30ABC, 过 点A作 圆O的 切 线 与OC的 延 长 线 交 于 点P, 则PA_.二、解答题10 2012 年高考辽宁文 选修 41: 几何证明选讲如图, O和/O相交于,A B两点 , 过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点 , 连接DB并延长交O于点E.证明( )AC BDAD AB; ( ) ACAE. EDACBC B A
41、 D O . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页16 11 2012 年高考课标文 选修 4-1: 几何选讲如图 ,D,E 分别是 ABC边 AB,AC的中点 , 直线 DE交ABC的外接圆与F,G 两点 , 假设 CF AB,证明 : ( ) CD=BC;( ) BCD GBD.12 2012 年高考新课标理 选修 4-1: 几何证明选讲如图 ,D E分别为ABC边,AB AC的中点 , 直线DE交ABC的外接圆于,F G两点 , 假设/ /CFAB, 证明 : (1)CDBC; (2)BCDGBD13 201
42、2 年高考辽宁理 选修 41: 几何证明选讲如图, O和/O相交于,A B两点 , 过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点 , 连接DB并延长交O于点E. 证明 ( )AC BDAD AB; ( ) ACAE. 14 2012 年高考江苏 选修 4 - 1:几何证明选讲 如图 ,AB是圆O的直径 ,D E为圆上位于AB异侧FGDEABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页17 的两点 , 连结BD并延长至点C, 使BDDC, 连结,AC AE DE. 求证 :EC. 14. 【答案】证明 : 连接AD. AB是圆O
43、的直径 , 090ADB( 直径所对的圆周角是直角). ADBD( 垂直的定义 ). 又BDDC, AD是线段BC的中垂线 ( 线段的中垂线定义). ABAC( 线段中垂线上的点到线段两端的距离相等). BC( 等腰三角形等边对等角的性质). 又,D E为圆上位于AB异侧的两点 , BE( 同弧所对圆周角相等). EC( 等量代换 ). 【考点】圆周角定理, 线段垂直平分线的判定和性质, 等腰三角形的性质. 【解析】要证EC, 就得找一个中间量代换, 一方面考虑到BE和是同弧所对圆周角, 相等 ; 另一方面由AB是圆O的直径和BDDC可知AD是线段BC的中垂线 , 从而根据线段中垂线上的点到线
44、段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到BC. 从而得证 . 此题还可连接OD, 利用三角形中位线来求证BC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页18 参考答案一、填空题1. 【解析】如图连结BC,BE,则1=2, 2=A1A, 又 B= B,CBFABC,ACCFABCBBCBFABCB, 代入数值得BC=2,AC=4,又由平行线等分线段定理得FBAFCDAC, 解得 CD=34. 2. 解 析 :5BE,25DEAE EB,5DE, 在RtDEB中,25DFDBDE3. 解析 :mn.PBAACBDB
45、A,A是公共角 , 所以ABCADB, 于是ABADACAB, 所以2ABAC ADmn, 所以ABmn. 4. D 【解析】此题主要考查两点间的距离公式, 以及坐标法这一重要的解题方法和数形结合的数学思想. 不失一般性 , 取特殊的等腰直角三角形, 不妨令4ACBC, 则4 2AB,CD12 22AB,1|22PCPDCD,22|PAPBADPD222 2210, 所以222|101010|2PAPBPC. 【点评】对于非特殊的一般图形求解长度问题, 由于是选择题, 不妨尝试将图形特殊化, 以方便求解各长度 , 到达快速求解的目的. 表达考纲中要求掌握两点间的距离公式. 来年需要注意点到直线
46、的距离公式. 5. 【答案】 A 【解析】由切割线定理可知2CE CBCD, 在直角ABC中,90 ,ACBCDAB, 则由射影定理可知2CDAD DB, 所以CE CBAD DB. 【考点定位】此题考查的是平面几何的知识, 具体到此题就是射影定理的各种情况,需要学生对于垂直的变化有比较深刻的印象. 6.解析 :5BE,25DEAE EB,5DE, 在RtDEB中,25DFDBDE7. 【答案】6【解析】设PO交圆 O于 C,D, 如图 , 设圆的半径为R,由割线定理知,1(12)(3-)(3),6.PA PBPC PDrrr即【点评】此题考查切割线定理, 考查数形结合思想, 由切割线定理知P
47、A PBPC PD, 从而求得圆的半径. 8.考点分析 : 此题考察直线与圆的位置关系解析 :( 由于,CDOD因此22ODOCCD, 线段OC长为定值 , ABPOCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页19 即需求解线段OD长度的最小值, 根据弦中点到圆心的距离最短, 此时D为AB的中点 , 点C与点B重合 , 因此2|21|ABCD. 9.解析 :3. 连接OA, 则60AOC,90OAP, 因为1OA, 所以3PA. 二、解答题10. 【答案与解析】【命题意图】此题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与
48、性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握，难度较小。证明：1由AC与O相切于A，得=CABADB，同理=ACBDAB，所以ACBDAB。从而=ACABADBD，即=AC BD AD AB 4 分2由AD与O相切于A，得=AEDBAD，又=ADEBDA，得EADABD从而=AEADABBD，即=AE BD AD AB，综合 1的结论，=AC AE 10 分【点评】此题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质, 考查推理论证能力和数形结合思想, 重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握, 难度较小 . 11. 【命题意图】此题主要考查线线平行判定、三
49、角形相似的判定等基础知识, 是简单题 . 【解析】 ( ) D,E 分别为 AB,AC的中点 , DE BC,CF AB, BCFD 是平行四边形 , CF=BD=AD, 连结AF,ADCF是平行四边形 , CD=AF,CF AB, BC=AF, CD=BC;( ) FG BC,GB=CF,由( ) 可知 BD=CF, GB=BD,DGB= EFC= DBC, BCD GBD.12. 【解析】 (1)/ /CFAB,/ / / /DFBCCFBDADCDBF/ /CFABAFBCBCCD(2)/ /BCGFBGFCBD/ /BCGFGDEBGDDBCBDCBCDGBD13. 【答案与解析】【命
50、题意图】此题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握，难度较小。证明：1由AC与O相切于A，得=CABADB，同理=ACBDAB，所以ACBDAB。从而=ACABADBD，即=AC BD AD AB 4 分2由AD与O相切于A，得=AEDBAD，又=ADEBDA，得EADABD从而=AEADABBD，即=AE BD AD AB，综合 1的结论，=AC AE 10 分【点评】此题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质, 考查推理论证能力和数形结合思想, 重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握, 难度较小