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1、高中数学知识点汇总（高一）高中数学知识点汇总（高一） . 1一、集合和命题 . 2二、不等式 . 4三、函数的基本性质 . 6四、幂函数、指数函数和对数函数 . 12（一）幂函数 . 12（二）指数 &指数函数 . 13（三）反函数的概念及其性质 . 14（四）对数 &对数函数 . 15五、三角比 . 17六、三角函数 . 24精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 28 页一、集合和命题一、集合：（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性；（2）元素与集合的关系： aAa属于集合 A； aAa不属于集合 A（3）常用的数集
2、：N自然数集；*N正整数集； Z整数集；Q有理数集； R实数集；空集； C复数集；负整数集正整数集ZZ；负有理数集正有理数集QQ；负实数集正实数集RR（4）集合的表示方法：集合描述法无限集列举法有限集；例如：列举法： , , , , z h a n g；描述法： 1x x（5）集合之间的关系：BA集合 A是集合 B的子集；特别地，AA；ABACBCBA或ABAB集合 A与集合 B 相等；AB集合 A是集合 B 的真子集例：NZQRC ；NZQRC空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集（6）集合的运算：交集：BxAxxBA且集合 A与集合 B的交集；并集：BxAxxBA或集合 A与集合 B
3、的并集；补集：设 U 为全集，集合A是U 的子集，则由 U 中所有不属于 A的元素组成的集合，叫做集合 A在全集 U 中的补集，记作ACU得摩根定律：()UUUCABC AC BIU；()UUUCABC AC BUI精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 28 页（7）集合的子集个数：若集合 A有*()n nN个元素，那么该集合有2n个子集； 21n个真子集； 21n个非空子集；22n个非空真子集二、四种命题的形式：（1）命题：能判断真假的语句（2）四种命题：如果用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，那么四种命题
4、形式就是：命题原命题逆命题否命题逆否命题表示形式若，则若，则；若，则；若，则逆命题关系原命题逆命题逆否命题否命题否命题关系原命题否命题逆否命题逆命题逆否命题关系原命题逆否命题逆命题否命题同真同假关系（3）充分条件，必要条件，充要条件：若，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件；若且，即，那么既是的充分条件，又是的必要条件，也就是说，是的充分必要条件，简称充要条件欲证明条件是结论的充分必要条件，可分两步来证：第一步：证明充分性：条件结论；第二步：证明必要性：结论条件（4）子集与推出关系：设 A、 B是非空集合，具有性质xxA，具有性质yyB，则BA与等价结论：小范围大范围；例如：小明是上海人小明是中
5、国人小范围是大范围的充分非必要条件；大范围是小范围的必要非充分条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 28 页二、不等式一、不等式的性质：不等式的性质1、cacbba,；2、cbcaba；3、bcaccba0,；4、dbcadcba,；5、bdacdcba0,0；6、baba1100；7、)(0*Nnbabann；8、)1,(0*nNnbabann二、一元一次不等式：一元一次不等式bax0a0a0a0b0b解集abxabxR三、一元二次不等式：)0(02acbxax的根的判别式042acb042acb042acb)0(2ac
6、bxaxy)0(02acbxax,21xx，21xx0 x)0(02acbxax12(,)(,)xxU),(),(00 xxR)0(02acbxax),(21xx)0(02acbxax12(,)xxURR)0(02acbxax,21xx0 x四、含有绝对值不等式的性质：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 28 页（1）bababa；（2）nnaaaaaa2121五、分式不等式：（1）0)(0dcxbaxdcxbax；（2）0)(0dcxbaxdcxbax六、含绝对值的不等式：axaxaxax0a0a0a0a0a0a0a0a0
7、a0aaxaaxax或Raxa0 xaxax或R七、指数不等式：（1）)()()1()()(xxfaaaxxf；（2）)()()10()()(xxfaaaxxf八、对数不等式：（1）)()(0)() 1)(log)(logxxfxaxxfaa；（2）)()(0)()10)(log)(logxxfxfaxxfaa九、不等式的证明：（1）常用的基本不等式：Rbaabba、(222，当且仅当ba时取“”号)；Rbaabba、(2，当且仅当ba时取“”号)；补充公式：222ab2abab211abRcbaabccba、(3333，当且仅当cba时取“”号)；Rcbaabccba、(33，当且仅当cba
8、时取“”号)；naaanaaannn(2121为大于 1 的自然数，Raaan,21，当且仅当naaa21时取“”号)；（2）证明不等式的常用方法：比较法；分析法；综合法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 28 页三、函数的基本性质一、函数的概念：（1）若自变量fx对应法则因变量 y ，则 y 就是x的函数，记作Dxxfy),(；x的取值范围 D函数的 定义域 ； y 的取值范围函数的 值域求定义域一般需要注意：1( )yf x，( )0f x；( )nyf x ，( )0f x；0( )yf x，( )0f x；log(
9、)ayf x，( )0f x；()logfxyN，( )0f x且( )1f x（2）判断是否函数图像的方法：任取平行于y 轴的直线，与图像最多只有一个公共点；（3）判断两个函数是否同一个函数的方法：定义域是否相同；对应法则是否相同二、函数的基本性质：（1）奇偶性：函数Dxxfy),(前提条件“定义域D关于 0 对称”成立“定义域 D 关于 0 对称” ； “)()(xfxf” ； “( )()f xfx”不成立 或者成立、都不成立)()(xfxf成立( )()f xfx成立奇偶性偶函数奇函数非奇非偶函数奇偶函数图像性质关于 y 轴对称关于)0,0(O对称注意： 定义域包括 0 的奇函数必过原
10、点(0,0)O（2）单调性和最值：前提条件Dxxfy),(，DI，任取12,x xI区间单调增函数)()(2121xfxfxx或)()(2121xfxfxx单调减函数)()(2121xfxfxx或)()(2121xfxfxx最小值)(0minxfy任取00,( )()xDxD f xf x存在最大值)(0maxxfy00,( )()xDxD f xf x任取存在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 28 页注意：复合函数的单调性：函数单调性外函数( )yf xZZ内函数( )yg xZZ复合函数( )yf g xZZ如果函数)
11、(xfy在某个区间 I 上是增（减）函数，那么函数)(xfy在区间 I 上是单调函数，区间 I 叫做函数)(xfy的单调区间 （3）零点：若Dxxfy),(，Dc且0)(cf，则cx叫做函数)(xfy的零点零点定理 ：0)()(,),(bfafbaxxfy00( , )()0 xa bf x存在；特别地，当( ), , yf xxa b是单调函数 ，且( )( )0f af b，则该函数在区间 , a b上有且仅有 一个零点， 即存在 唯一0( , )xa b，使得0()0f x（4）平移的规律：“左加右减，下加上减” 函数向左平移 k向右平移 k向上平移 h向下平移 h备注)(xfy)(kx
12、fy)(kxfy)(xfhy)(xfhy0,hk（5）对称性：轴对称的两个函数：函数)(xfy对称轴x轴y 轴xyxymxny函数)(xfy)( xfy)(yfx)(yfx)2(xmfy)(2xfyn中心对称的两个函数：函数对称中心函数)(xfy),(nm)2(2xmfyn轴对称的函数：函数)(xfy对称轴y 轴mx条件( )()f xfx( )(2)f xfmx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 28 页注意：()()f axf bx( )f x关于2abx对称；()()f axf ax( )f x关于xa对称；( )()
13、f xfx( )f x关于0 x对称，即( )f x是偶函数中心对称的函数：函数)(xfy对称中心(, )m n条件( )2(2)f xnfmx注意：()()f axf bxc( )f x关于点(,)22ab c对称；()()0f axf bx( )f x关于点(,0)2ab对称；()()2f axf axb( )f x关于点( , )a b对称；( )()0f xfx( )f x关于点(0,0)对称，即( )f x是奇函数（6）凹凸性：设函数( ),yf xxD，如果对任意12,x xD，且12xx，都有1212()()22xxfxfxf，则称函数( )yf x在 D 上是凹函数；例如：2y
14、x进一步，如果对任意12,nxxxDL，都有1212()()()nnxxxf xf xf xfnnLL，则称函数( )yf x在 D 上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；设函数( ),yf xxD，如果对任意12,x xD，且12xx，都有1212()()22xxfxf xf，则称函数( )yf x在 D 上是凸函数例如：lgyx进一步，如果对任意12,nxxxDL，都有1212()()()nnxxxfxfxf xfnnLL，则称函数( )yf x在 D 上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
15、 - -第 8 页，共 28 页（7）翻折：函数翻折后翻折过程( )yf x()yfx将( )yf x在 y 轴右边的图像不变，并将其翻折到y 轴左边， 并覆盖 ( )yf x将( )yf x在x轴上边的图像不变，并将其翻折到x轴下边， 并覆盖 ()yfx第一步：将( )yf x在 y 轴右边的图像不变，并将其翻折到左边，并覆盖 ；第二步：将x轴上边的图像不变，并将其翻折到x轴下边， 并覆盖 ( )yf x将( )yf x在x轴上边的图像保持不变，并将x轴下边的图像翻折到x轴上边，不覆盖 （8）周期性：若Rxxfy),(，0T，xR任取，恒有)()(xfTxf，则称 T 为这个函数的周期注意：
16、若 T 是)(xfy的周期，那么)0,(kZkkT也是这个函数的周期；周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期()()f xaf xb， ab( )f x是周期函数，且其中一个周期Tab ；（阴影部分下略）( )()f xf xp，0p2Tp；()()f xaf xb， ab2Tab ；1( )()f xf xp或1( )()f xf xp，0p2Tp；1()( )1()f xpf xf xp或()1( )()1f xpf xf xp，0p2Tp；1()( )1()f xpf xf xp或()1( )()1f xpf xf xp，0p4Tp；( )f x关于直线xa， xb， ab都对称
17、2Tab ；( )f x关于两点( , )a c，( , )b c， ab都成中心对称2Tab ；( )f x关于点( , )a c，0a成中心对称，且关于直线xb， ab对称4Tab ；若( )()(2 )()f xf xaf xaf xnamL（m为常数，*nN） ，则( )f x是以(1)na为周期的周期函数；若( )()(2 )()fxf xaf xaf xnamL（m为常数，n为正偶数），则( )f x是以2(1)na为周期的周期函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 28 页三、 V 函数：定义形如(0)ya x
18、mh a的函数，称作 V 函数分类,0ya xmh a,0ya xmh a图像定义域R值域 ,)h(, h对称轴xm开口向上向下顶点(, )m h单调性在(,m上单调递减；在,)m上单调递增在(,m上单调递增；在,)m上单调递减注意当0m时，该函数为偶函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 28 页四、分式函数：定义形如(0)ayxax的函数，称作 分式函数 分类,0ayxax（耐克函数 ）,0ayxax图像定义域(,0)(0,)U值域(, 22,)aaUR渐近线0 x， yx单调性在(,a，,)a上单调递增；在,0)a，
19、(0,a上单调递减在(,0)，(0,)上单调递增；五、曼哈顿距离：在平面上，11(,)Mxy，22(,)N xy，则称1212dxxyy 为 MN 的曼哈顿距离六、某类带有绝对值的函数：1、对于函数 yxm ，在xm时取最小值；2、对于函数 yxmxn ，mn，在, xm n时取最小值；3、对于函数 yxmxnxp ， mnp ，在xn时取最小值；4、对于函数 yxmxnxpxq ， mnpq，在 ,xn p时取最小值；5、推广到122nyxxxxxxL，122nxxxL，在1,nnxxx时取最小值；1221nyxxxxxxL，1221nxxxL，在nxx时取最小值思考：对于函数1232yxx
20、x，在x_时取最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 28 页四、幂函数、指数函数和对数函数（一）幂函数（1）幂函数的定义：形如)(Raxya的函数称作幂函数，定义域因a而异（2）当1 ,0a时，幂函数)(Raxya在区间),0上的图像分三类，如图所示（3）作幂函数)1 , 0(axya的草图，可分两步：根据a的大小，作出该函数在区间),0上的图像；根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在0,(上的图像（4）判断幂函数)(Raxya的a的大小比较：方法一：)(Raxya与直线(1)xm m的交点越靠上，a越大；方法二：
21、)(Raxya与直线(01)xmm的交点越靠下，a越大（5）关于形如()axbyccxd0的变形幂函数的作图：作渐近线（用虚线） ：dxc、ayc；选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0,)bd；画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 28 页（二）指数 & 指数函数1、指数运算法则：yxyxaaa；xyyxaa )(；xxxbaba)(；()xxxaabb，其中),0,(Ryxba、2、指数函数图像及其性质：/ )1(aayx)10(aayx图像定义
22、域R值域),0(奇偶性非奇非偶函数渐近线x轴单调性在(,)上单调递增；在(,)上单调递减；性质指数函数xay的函数值恒大于零；指数函数xay的图像经过点) 1 ,0(；当0 x时，1y；当0 x时，10y当0 x时，10y；当0 x时，1y3、判断指数函数xya中参数a的大小：方法一：xya与直线(0)xm m的交点越靠上，a越大；方法二：xya与直线(0)xm m的交点越靠下，a越大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 28 页（三）反函数的概念及其性质1、反函数的概念：对于函数( )yf x，设它的定义域为D ，值域为
23、A，如果对于 A中任意一个值 y ，在 D 中总有唯一确定的x值与它对应，且满足( )yf x，这样得到的x关于 y的函数叫做( )yf x的反函数，记作1( )xfy在习惯上，自变量常用x表示，而函数用y 表示，所以把它改写为1( )()yfxxA2、求反函数的步骤：（ “解”“换”“求” ）将( )yf x看作方程，解出( )xfy；将x、 y 互换，得到1( )yfx；标出反函数的定义域（原函数的值域） 3、反函数的条件：定义域与值域中的元素一一对应4、反函数的性质：原函数)(xfy过点),(nm，则反函数)(1xfy过点),(mn；原函数)(xfy与反函数)(1xfy关于xy对称，且单
24、调性相同；奇函数的反函数必为奇函数5、原函数与反函数的关系：/ 函数)(xfy)(1xfy定义域DA值域AD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 28 页（四）对数 & 对数函数1、指数与对数的关系：abNNab底数指数幂bNalog对数真数2、对数的运算法则：01loga，1logaa，NaNalog；常用对数NN10loglg，自然对数NNelogln；NMMNaaaloglog)(log，NMNMaaalogloglog，MnManaloglog；bNNaablogloglog，abbalog1log，bnmbaman
25、loglog，bbacacloglog，loglogNNbaab3、对数函数图像及其性质：/ ) 1(logaxya)10(logaxya图像定义域),0(值域R奇偶性非奇非偶函数渐近线y 轴单调性在),0(上单调递增；在),0(上单调递减；性质对数函数xyalog的图像在 y 轴的右方；对数函数xyalog的图像经过点)0 , 1(；当1x时，0y；当10 x时，0y当1x时，0y；当10 x时，0y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 28 页4、判断对数函数log,0ayx x中参数a的大小：方法一：log,0ayx
26、x与直线(0)ym m的交点越靠右，a越大；方法二：log,0ayx x与直线(0)ym m的交点越靠左，a越大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 28 页五、三角比1、角的定义：（1）终边相同的角：与2,kkZ表示终边相同的角度；终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；与,kkZ表示终边共线的角（同向或反向） （2）特殊位置的角的集合的表示：位置角的集合在x轴正半轴上2,kkZ在x轴负半轴上2,kkZ在x轴上,kkZ在 y 轴正半轴上2,2kkZ在 y 轴负半轴上32,2kkZ在 y 轴上,2kkZ在坐标轴上,2
27、kkZ在第一象限内22,2kkkZ在第二象限内22,2kkkZ在第三象限内322,2kkkZ在第四象限内3222 ,2kkkZ（3）弧度制与角度制互化：180rad；1801rad；1180rad 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 28 页（4）扇形有关公式：rl；弧长公式：rl；扇形面积公式：21122Slrr （想象三角形面积公式） （5）集合中常见角的合并：22222222,244542424324424xkxkxkkxxkxkxkkxkZxkxkxkkxxkxkxk（6）三角比公式及其在各象限的正负情况：以角的顶
28、点为坐标原点，始边为x轴的正半轴建立直角坐标系，在的终边上任取一个异于原点的点( , )P x y，点P到原点的距离记为r，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 28 页（7）特殊角的三角比：角度制030456090180270360弧度制0 6432232sin0 2122231 0 10 cos1 2322210 10 1 tan0 331 3无0 无0 （8）一些重要的结论：（注意，如果没有特别指明，k 的取值范围是 kZ ）角和角的终边：角和角的终边关于x轴对称关于 y 轴对称关于原点对称sinsincoscost
29、antansinsincoscostantansinsincoscostantan的终边与2的终边的关系的终边在第一象限(2,2)2kk(,)24kk；的终边在第二象限(2,2)2kk(,)242kk；的终边在第三象限3(2,2)2kk3(,)224kk；的终边在第四象限3(2,22 )2kk3(,)24kk sin与 cos 的大小关系：sincos3(2,2)44kk的终边在直线 yx右边（0 xy） ；sincos5(2,2)44kk的终边在直线 yx左边（0 xy） ；sincos52244kk，的终边在直线 yx上（0 xy） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
30、纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 28 页 sin与 cos的大小关系：sincos(,)44kk的终边在00 xyxy或00 xyxy；sincos3(,)44kk的终边在00 xyxy或00 xyxy；sincos344kk,，kZ的终边在 yx2、三角比公式：（1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）第一组诱导公式：第二组诱导公式：第三组诱导公式：（周期性）（奇偶性）（中心对称性）cot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkkkcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(cot)cot(tan)tan(c
31、os)cos(sin)sin(第四组诱导公式：第五组诱导公式：第六组诱导公式：（轴对称）（互余性）cot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)2cot(cot)2tan(sin)2cos(cos)2sin(tan)2cot(cot)2tan(sin)2cos(cos)2sin(（2）同角三角比的关系：倒数关系：商数关系：平方关系：1cottan1seccos1cscsin)0(sinsincoscot)0(coscossintan222222csccot1sectan11cossin（3）两角和差的正弦公式：sincoscossin)sin(；两角和差的余弦公式：s
32、insincoscos)cos(；两角和差的正切公式：tantan1tantan)tan(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 28 页（4）二倍角的正弦公式：cossin22sin；二倍角的余弦公式：1cos2sin21sincos2cos2222；二倍角的正切公式：2tan1tan22tan；降次公式：万能置换公式：22222221 cos2sin21cos2sin21cos2cos21cos2cos21 sinsincos221 cos2tan1 cos21 sinsincos22；2222tan1tan22tanta
33、n1tan12costan1tan22sin半角公式：sincos1cos1sin2tan；（5）辅助角公式：版本一：)sin(cossin22baba，其中2222cossin,20baabab版本二：22sincossin()abab，其中,0,0,tan2ba ba3、正余弦函数的五点法作图：以sin()yx为例，令x依次为30,222，求出对应的x与 y 值，描点( , )x y作图4、正弦定理和余弦定理：（1）正弦定理：RRCcBbAa(2sinsinsin为外接圆半径)；其中常见的结论有：ARasin2，BRbsin2，CRcsin2；RaA2sin，RbB2sin，RcC2sin
34、；cbaCBA:sin:sin:sin；22sinsinsinABCSRABC；sinsinsinsinsinsinABCaRBCSbRACcRAB；4ABCabcSR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 28 页（2）余弦定理：版本一：CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222；版本二：abcabCacbcaBbcacbA2cos2cos2cos222222222；（3）任意三角形射影定理（第一余弦定理） ：coscoscoscoscoscosabCcBbcAaCcaBbA5、与三角形有
35、关的三角比：（1）三角形的面积：12ABCSdh；111sinsinsin222ABCSabCbcAacB；2222ABCllllSabc， l 为ABC的周长（2）在ABC中，sinsincoscoscotcotabABABABAB；若ABC是锐角三角形，则 sincosAB ；sin()sinsin()sinsin()sinABCBCAACB；cos()coscos()coscos()cosABCBCAACB；tan()tantan()tantan()tanABCBCAACB；sincos22sincos22sincos22ABCBACCAB；tancot22tancot22tancot2
36、2ABCBACCAB；sincos22sincos22ABAC；sincos22sincos22BABC；sincos22sincos22CACB；sinsincoscos2222sinsincoscos2222sinsincoscos2222ABABACACBCBCsinsinsincoscoscos222222ABCABC；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 28 页sinsinsin4coscoscos222coscoscos14sinsinsin222sinsinsin4sinsincos222ABCABCABCA
37、BCABCABC；sin2sin2sin24sinsinsincos2cos2cos24coscoscos1ABCABCABCABC；3 3sinsinsin(0,23coscoscos(1, 2ABCABC；3 3sinsinsin(0,8sinsinsincos coscos1coscoscos( 1, 8ABCABCABCABC其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明（3）在ABC中，角 A、 B、 C成等差数列3B（4）ABC的内切圆半径为2Srabc6、仰角、俯角、方位角：略7、和差化积与积化和差公式（理科） ：（1）积化和差公式：1sincossi
38、n()sin()21cossinsin()sin()21coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2；（2）和差化积公式：sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 28 页六、三角函数1、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质、图像：xysinxycosxytan定义域RR,2Zkkxx值域 1 ,11 , 1R奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性最小正周期2T最小正周期2T最小正周期 T单调性
39、2,222kkZ；32,222kk（Zk）2,2kkZ；2,2kk（Zk）(,)22kkZ（Zk）最值当22kx时，1miny；当22kx时，1maxy；当kx2时，1miny；当kx2时，1maxy；无图像例 1：求函数5sin(2)3yx的周期、单调区间和最值 （当x的系数为负数时，单调性相反）解析：周期22T，由函数xysin的递增区间2,222kk，可得222232kxk，即51212kxk，于是，函数5sin(2)73yx的递增区间为5,1212kk同理可得函数5sin(2)73yx递减区间为7,1212kk当 2232xk，即12xk时，函数5sin(2)3yx取最大值 5；精选学
40、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 28 页当 2232xk，即512xk时，函数5sin(2)3yx取最大值5例 2：求函数5sin(2)7,0,32yxx的单调区间和最值解析：由0,2x，可得42,333x然后画出23x的终边图，然后就可以得出当 2,33 2x，即0,12x时，函数5sin(2)73yx单调递增；当42,323x，即,12 2x时，函数5sin(2)73yx单调递减同时，当 232x，即12x时，函数5sin(2)73yx取最大值 12；当4233x，即2x时，函数5sin(2)73yx取最小值5 372；
41、注意：当x的系数为负数时，单调性的分析正好相反2、函数sin()yAxh&cos()yAxh&tan()yAxh，其中0,0A：（1）复合三角函数的基本性质：三角函数sin()yAxh其中0,0Acos()yAxh其中0,0Atan()yAxh其中0,0A振幅A无基准线yh定义域(,),2xxkkZ值域,Ah Ah(,)最小正周期2TT频率12fT1fT相位x初相精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 28 页（2）函数sin()yAxh与函数sinyx的图像的关系如下：相位变换：当0时，sinsin()yxyx向左平移个单位
42、；当0时，sinsin()yxyx向右平移个单位；周期变换：当1时，1sin()sin()yxyx所有各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）；当 01时，1sin()sin()yxyx所有各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）；振幅变换：当1A时，sin()sin()AyxyAx所有各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）；当 01A时，sin()sin()AyxyAx所有各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）；最值变换：当0h时，sin()sin()hyAxyAxh所有各点向上平行移动个单位；当0h时，sin()sin()hyAxyAxh所有各点向下平行移动个单位；注意：函数cos()
43、yAxh和函数tan()yAxh的变换情况同上3、三角函数的值域：（1）sinyaxb型：设sintx，化为一次函数yatb在闭区间 1,1上求最值（2）sincosyaxbxc，,0a b型：引入辅助角,tanba，化为22sin()yabxc （3）2sinsinyaxbxc型：设sin1,1tx，化为二次函数2yatbtc求解（4）sincos(sincos )yaxxbxxc型：设sincos2,2txx，则212sincostxx，化为二次函数2(1)2a tybtc在闭区间2,2t上求最值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
44、26 页，共 28 页（5）tancotyaxbx型：设tantx ，化为byatt，用“ Nike 函数”或“差函数”求解（6）sinsinaxbycxd型：方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为1sin1x求解（7）sincosaxbycxd型：化为sincosaxycxbdy，合并222sin()ay cxbdy，利用有界性，222sin() 1,1bdyxay c求解（8）22sincossincosaxxbxcx， （0, ,ab c不全为 0）型：利用降次公式，可得22sincossincossin2cos2222acbbcaxxbxcxxx，然后利用辅助角公式即可4
45、、三角函数的对称性：对称中心对称轴方程xysin)0 ,(k，Zk2kx，Zkxycos)0,2(k，Zkkx，Zkxytan)0,2(kZk/ xycot)0,2(kZk/ 备注：xysin和xycos 的对称中心在其函数图像上；xytan 和xycot的对称中心不一定在其函数图像上 （有可能在渐近线上）例 3：求函数5sin(2)73yx的对称轴方程和对称中心解析：由函数sinyx的对称轴方程2kx，Zk，可得 232xk，Zk解得122kx，Zk所以，函数5sin(2)73yx的对称轴方程为122kx，Zk由函数sinyx的中心对称点)0 ,(k，Zk，可得 23xk，Zk解得62kx，
46、Zk所以，函数5sin(2)73yx的对称中心为 (,7)62k，Zk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 28 页5、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像：xyarcsinxyarccosxyarctan定义域 1 , 1 1 ,1),(值域2,2,0)2,2(奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在 1,1上是增函数在1,1上是减函数在),(上是增函数对称中心点(0,0)点 (0,)2点(0,0)图像重要结论：（1）先反三角函数后三角函数： 1,1sin(arcsin)cos(arccos )aaaa；tan(arctan )aRaa（2）先三角函数后反三角函数：,2 2arcsin(sin)；0,arccos(cos )；(,)2 2arctan(tan)（3）反三角函数对称中心特征方程式： 1,1aarcsin()arcsinaa； 1,1aarccos()arccosaa；(,)aarctan()arctanaa6、解三角方程公式：sin,1( 1) arcsin ,cos,12arccos ,tan,arctan ,kxa axka kZxa axka kZxa aRxka kZ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 28 页