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1、学习好资料欢迎下载O F x y P M H 专题 13 圆锥曲线的定义、性质和方程 高考在考什么【考题回放】1已知 ABC 的顶点 B、C 在椭圆23xy21 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是 (C ) （A）2 3（B）6 （C）4 3（D）12 2已知双曲线22221xyab的一条渐近线方程为y43x，则双曲线的离心率为(A) （A）53(B)43(C)54(D)323如果双曲线的两个焦点分别为)0 , 3(1F、)0, 3(2F，一条渐近线方程为xy2，那么它的两条准线间的距离是（C）A36B4C2D14抛物线 y=4x2上的一点
2、M 到焦点的距离为1，则点 M 的纵坐标是 ( B) ( A ) 1617( B ) 1615( C ) 87( D ) 0 5已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（ 23，0），且长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的标准方程是221164yx6如图， F 为双曲线C：222210,0 xyabab的右焦点。 P 为双曲线C 右支上一点，且位于x轴上方， M 为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM 为平行四边形，|PF|= |OF|。（）写出双曲线C 的离心率 e与的关系式；（）当=1 时，经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A、B 点，若 |AB|=12，求此时的双曲线方程。【专家
3、解答 】四边形OFPM是，| |OFPMc，作双曲线的右准线交PM 于 H，则2| | 2aPMPHc，又222222|222PFOFceeaPHcaecc，220ee。（）当1时，2e，2ca，223ba，双曲线为2222143xyaa四边形OFPM是菱形，所以 直 线OP的 斜 率 为3， 则 直 线AB的 方 程 为3(2 )yxa， 代 入 到 双 曲 线 方 程 得 ：22948600 xaxa，又12AB，由2212121()4ABkxxx x得：224860122 ()499aa，解得294a，则2274b，所以2212794xy为所求。 高考要考什么【考点透视】椭圆、双曲线、抛
4、物线的定义，标准方程，简单的几何性质，椭圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习好资料欢迎下载xy0MABA1A2M1M2B1B2的参数方程。【热点透析】主要题型：（1）定义及简单几何性质的灵活运用；（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）。题型一般为二小一大，小题基础灵活，解答题一般在中等难度以上，一般具有较高的区分度。 突破重难点【范例 1】过椭圆左焦点F，倾斜角为60 的直线交椭圆于A、B 两点，若 |FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为( B )(A)23(B)23(C)12(D)22解：设点A、B
5、到椭圆左准线的距离分别为d1，d2， FA=r1， FB=r2，则12112rrdd=e，即 d1=22re，同理 d2=2re，两式相减得212rdde. 因为直线AB 的倾斜角为60 ，2|d1-d2|=|AB|=3 r2，e=23【点晴】 本题关键在于利用椭圆的第二定义将60 倾斜角、 |FA|=2|FB|这两个条件与椭圆的离心率建立联系。【文】 若 F1、F2为双曲线12222byax的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足：)(,111OMOMOFOFOPPMOF)0(，则该双曲线的离心率为（）A2B3C2D3 解：由PMOF1知四边形F1
6、OMP 是平行四边形，又11(OFOFOP)OMOM知 OP 平分 F1OM，即 F1OMP 是菱形，设 |OF1|=c，则 |PF1|=c. 又|PF2|-|PF1|=2a， |PF2|=2a+c ，由双曲线的第二定义知122eccae,且 e1， e=2，故选 C. 【范例 2】定长为 3 的线段 AB 的两个端点在y=x2上移动， AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。分析： （1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1，x12)，B(x2，x22)，又设 AB 中点为 M(x0,y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于 x0的函数表达式，用函数思想求出最短距离。（2）M 到 x
7、轴的距离是一种“ 点线距离 ” ，可先考虑M 到准线的距离，想到用定义。解法一： 设 A( x1，x12)，B(x2，x22)，AB 中点 M(x0，y0) 则0222102122221221229)()(yxxxxxxxxx由得 (x1-x2)21+(x1+x2)2=9， 即(x1+x2)2-4x1x2 1+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0) 1+(2 x0)2=9 2020041944xxy，2200022009944(41)14141yxxxx, 5192450y当 4x02+1=3 即220 x时，4
8、5)(min0y此时)45,22(M法 2：如图32222ABBFAFBBAAMM232MM，即23411MM，451MM，当 AB 经过焦点F 时取得最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习好资料欢迎下载M 到 x 轴的最短距离为45【点晴】 解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1， x2，从而形成y0关于 x0的函数，这是一种“ 设而不求 ” 的方法。 而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B 到准线的距离和，结合定义与三角形
9、中两边之和大于第三边（当三角形“ 压扁 ” 时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F， 而且点 M 的坐标也不能直接得出。请思考：当|AB|在什么范围内取值时不能用解法二？【文】 （北京卷）椭圆22221( ,0)xya bab的两个焦点F1、 F2， 点 P 在椭圆 C 上， 且 PF1PF2， | PF1|=34，| PF2|=314.（I）求椭圆 C 的方程； （II）若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点，且 A、B 关于点 M 对称，求直线l 的方程。解法一： ()因为点 P 在椭圆
10、 C 上，所以6221PFPFa，a=3. 在 RtPF1F2中，,52212221PFPFFF故椭圆的半焦距c=5, 从而 b2=a2c2=4, 所以椭圆C 的方程为4922yx1. ()设 A，B 的坐标分别为（x1,y1）、（ x2,y2）. 由圆的方程为 （x+2）2+(y1)2=5,所以圆心 M 的坐标为（ 2， 1） . 从而可设直线l 的方程为 y=k(x+2)+1,代入椭圆 C 的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0. 因为 A，B 关于点 M 对称 . 所以.29491822221kkkxx解得98k，所以直线l 的方程为, 1)2(98
11、xy即 8x-9y+25=0. (经检验，符合题意) 解法二： ()同解法一 . ()已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M 的坐标为（2， 1）. 设 A，B 的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意 x1x2且, 1492121yx, 1492222yx由得.04)(9)(21212121yyyyxxxx因为 A、B 关于点 M 对称，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2, 代入得2121xxyy98，即直线 l 的斜率为98，所以直线 l 的方程为 y198（x+2） ， 即 8x9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意.)【范例 3】如图 1，已知
12、 A、B、C 是长轴为4 的椭圆上三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心 O，且0ACBC，2BCAC。（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（2）如果椭圆上两点P、Q 使直线 CP、CQ 与 x 轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数使PQAB？请给出证明。解：（ 1）以 O 为原点， OA 所在的直线为x 轴建立如图直角坐标系，则A（2，0），椭圆方程可设为图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习好资料欢迎下载2221(02)4xybb。而 O 为椭圆中心，由对称性知|OC|=|OB|又0AC
13、BC，所以 ACBC 又2BCAC，所以 |OC|AC|，所以 AOC 为等腰直角三角形，所以点C 坐标为（ 1， 1）。将（ 1，1）代入椭圆方程得243b，则椭圆方程为223144xy。（2）由直线CP、CQ 与 x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形，设直线CP 的斜率为k，则直线CQ 的斜率为k，直线 CP 的方程为y=k (x-1)，直线 CQ 的方程为y=-k (x-1)。由椭圆方程与直线CP 的方程联立，消去 y 得 (1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0因为 C（1，1）在椭圆上，所以x1 是方程的一个根，于是2236113Pkkxk同理2236113Qkkx
14、k这样，13PQPQPQyykxx， 又 B（ 1， 1），所以13ABk，即 kAB=kPQ。所以 PQAB，存在实数使PQAB。【点晴】 利用斜率互为相反数关系，整体替换，可简化解题过程。【文】（ 06 上海春 ） 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022yx，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹 是 以y轴 为 对 称 轴 、764,0M为 顶 点 的 抛 物 线 的 实 线 部 分 ， 降 落 点 为)0, 8(D. 观 测 点)0,6()0,4(BA、同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运
15、行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点BA、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解：（ 1）设曲线方程为7642axy，由题意可知，764640a. 71a. 曲线方程为764712xy. （2）设变轨点为),(yxC，根据题意可知)2(,76471) 1(, 125100222xyyx得036742yy，4y或49y（不合题意，舍去）. 4y. 得6x或6x（不合题意，舍去）. C点的坐标为)4,6(，4|,52|BCAC. 答：当观测点BA、测得BCAC、距离分别为452、时，应向航天器发出指令. 【范例 4】过抛物线x2=4y 上不同两点A、
16、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0PBPA（1）求点 P 的轨迹方程；（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得0)(2FPFBFA？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习好资料欢迎下载解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211xxxxBxxA由,42yx得：2xy2,221xkxkPBPA4,021xxPBPAPBPA直线 PA 的方程是)(241121xxxxy即42211xxxy同理，直线PB 的方程是：42222xxxy由得：),(, 14221
17、2121Rxxxxyxxx点 P 的轨迹方程是).(1Rxy（2）由（ 1）得：),14,(211xxFA),14,(222xxFB)1,2(21xxP4),2,2(2121xxxxFP，42)14)(14(2221222121xxxxxxFBFA2444)()(22212212xxxxFP，所以0)(2FPFBFA故存在=1 使得0)(2FPFBFA解法（二）：（1）直线 PA、PB 与抛物线相切，且,0PBPA直线 PA、PB 的斜率均存在且不为0，且,PBPA设 PA 的直线方程是)0,(kRmkmkxy由yxmkxy42得：0442mkxx016162mk即2km即直线 PA 的方程是
18、：2kkxy同理可得直线PB 的方程是：211kxky由2211kxkykkxy得：11yRkkx故点 P 的轨迹方程是).(1Rxy（2）由（ 1）得：)1,1(),1,2(),2(22kkPkkBkkA) 11,2(),1,2(22kkFBkkFA，)2,1(kkFP)1(2)11)(1(42222kkkkFBFA)1(24)1()(2222kkkkFP故存在=1 使得0)(2FPFBFA【点晴】 抛物线的切线方程成了近几年高考试题中的一个考查亮点。解法一、解法二是解决抛物线切线问题的常用方法，应熟练掌握。【文】 已知 ABC 的两顶点A、B 分别是双曲线2x2-2y2=1 的左、右焦点
19、, 且 sinC 是 sinA、 sinB 的等差中项 . （）求顶点C 的轨迹 T 的方程；（）设P(-2,0), 过点207E （，）作直线 l 交轨迹 T 于 M、N 两点，问 MPN 的大小是否为定值？证明你的结论 . 解： () 由条件知A (-1 , 0 ) , B (1 , 0 )，且 sinA + sinB = 2sinC|BC| + |AC| = 2|AB| = 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习好资料欢迎下载点 C 的轨迹是以A、B 为焦点，长轴长2a = 4 的椭圆（不包括x 轴上两点）
20、 . 点 C 的轨迹 T 的方程是3y4x22=1 (x 2) () 当 lx 轴时，直线l 的方程为x =72，代入3y4x22=1 解得 M、N 的坐标为（212,77），而|PE| =712， MPN = 90 ，猜测 MPN= 90为定值 . 证明：设直线l 的方程为my = x +72，由，得(3m2 + 4) y2 712my49576= 0 y1 + y2 =)4m3(7m122， y1 y2 =)4m3(495762PNPM= (x1 + 2 , y1) (x2 +2 , y2 ) = (x1 + 2 ) (x2 +2) + y1y2= (my1 +712) (my2 +712
21、) + y1y2 = (m2 +1) y1y2 +712m (y1 + y2) +49144=(m2 +1)257649(34)m+712m2127(34)mm+49144= 0 MPN = 90 ，为定值 . 自我提升1.若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0）， F2（， 0），则其离心率为（C ）A.43B.32C.21D.412.双曲线的虚轴长为4，离心率26e， F1、F2分别是它的左，右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于 A、B两点，且 |AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|为（ A）. A、28B、24C、22D、8 3.F1、F2为椭圆两个焦点，Q为椭圆上任一
22、点，以任一焦点作F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹为（ A）.A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线4双曲线12222byax的左支上一点P， O为 PF1F2的内切圆，则圆心O的横坐标为（ B）. A、a B、-aC、2acD、2ca5.已知点 F1(-4,0)，F2(4,0), 又 P(x,y)是曲线|153xy上的点 , 则 (C) A. |PF1|+|PF2|=10 B. |PF1|+|PF2|b 0）的两焦点，过F1的弦 AB 与 F2组成等腰直角三角形ABF2，其中 BAF2=900，则椭圆的离心率是_367已知椭圆E 的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线 C
23、以 F2为焦点， F1为其顶点，若P 为两曲线的公共点，且e|PF2|=|PF1|，则 e_。338已知 O：x2+y2=4，一动抛物线过A（ 1，0）、 B（1，0）两点，且以圆的切线为准线，则动抛物线的焦点F 的轨迹方程为 _xyy224310， 9如图，已知三点A(7, 0)，B(7,0)，C(2,12). 若椭圆过A、B 两点，且C 为其一焦点，求另一焦点P 的轨迹方程；x = my723x2 + 4y2 = 12 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习好资料欢迎下载xyF1F20ABCD若双曲线的两支分别过
24、A、B 两点，且C 为其一焦点，求另一焦点Q 的轨迹方程。解析： 由椭圆定义知，|AP|AC|BP|BC|，即| | | |PBPAACBCAB214故 P的轨迹为A （ 7， 0） 、 B （ 7， 0） 为焦点实轴长为2 的双曲线的一支， 其方程为xyx224810()；经讨论知，无论A 在双曲线的哪一支上, 总有 |QA|QB|AC|BC|28|AB|14 故点 Q 的轨迹为以A（ 7， 0）、 B（7，0）为焦点长轴长为28 的椭圆，其方程为xy221961471。10已知椭圆)52( 1122mmymx过其左焦点且斜率为1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于 A、B、C、D，设 f(
25、m)=|AB|-|CD |,（1）求 f(m),（ 2）求 f(m)的最值。解： （1）椭圆1122mymx中， a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0) 则 BC:y=x +1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 (2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=-)52(122mmm1212()2 ()()22 ()()2221BADCADf mABCDxxxxmxxxxxxm（2）)1211(2121122)(mmmmf当 m=5 时，9210)(minmf
26、当 m=2 时，324)(maxmf11如图， A 为椭圆12222byax(0)ab上的一个动点，弦AB、AC 分别过焦点F1、F2当 AC垂直于 x 轴时，恰好 |AF1|:|AF2=3:1 （I）求该椭圆的离心率；（II）设BFAF111，CFAF222，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由解：（ I）当AC 垂直于 x 轴时，12:3:1AFAF，由122AFAFa，得132aAF，22aAF在 Rt12AF F中，21AF222(2 )AFc解得e=22（II）由e=22，则221222eacaab，cbx y A B C O F1F2精选学习资料 - - - -
27、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习好资料欢迎下载焦点坐标为12(0)(0)FbFb， ，则椭圆方程为122222bybx，化简有22222byx设00()A xy，1122()()B xyC xy，若直线AC 的斜率存在，则直线AC 方程为)(00bxbxyy代入椭圆方程有0)(2)23(20200202ybybxbyybxb由韦达定理得：022022023bxbybyy，0202223bxbyby所以bxbyyCFAF02022223，同理可得bxbbxb0012323故=66bb若直线ACx轴，bx0，12，5231bbb6综上所述：是定值 6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页