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1、名师总结优秀知识点高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 ) 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线C的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0) 在曲线 C上f(x0,y 0)=0 ；点 P0(x0,y0) 不在曲线 C上f(x0,y0)0。两条曲线的交点： 若曲线 C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=
2、0,则点 P0(x0,y0) 是 C1，C2的交点0),(0),(002001yxfyxf方程组有 n个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。二、圆：1、定义： 点集 M OM =r ，其中定点O为圆心，定长r 为半径 . 2、方程： (1) 标准方程：圆心在c(a,b)，半径为 r 的圆方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x2+y2=r2(2) 一般方程：当D2+E2-4F0 时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED半径是2422FED。配方，将方程x2+y2+Dx+E
3、y+F=0化为 (x+2D)2+(y+2E)2=44F-ED22当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点(-2D,-2E); 当 D2+E2-4F0 时，方程不表示任何图形. （3）点与圆的位置关系已知圆心 C(a,b), 半径为 r, 点 M的坐标为 (x0,y0)，则 MC r点 M在圆 C 内， MC =r点 M在圆 C上， MC r点 M在圆 C内，其中 MC =2020b)-(ya)-(x。（4）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点； 直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法； (i
4、i)利用圆心 C(a,b) 到直线 Ax+By+C=0的距离22BACBbAad与半径 r 的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y) 到一个定点F(c,0) 的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e 0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0) 称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。当0e1 时，轨迹为椭圆；当e=1 时，轨迹为抛物线；当e1 时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|) 的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点
5、的轨迹 . （0e1）1到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值为定值 2a(02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页名师总结优秀知识点轨迹条件点集： (M MF1+MF2=2a, F 1F2 2a点集： M MF1- MF2. =2a, F2F2 2a. 点集 M MF =点 M到直线 l的距离 . 图形方程标准方程12222byax(ba0) 12222byax(a0,b0) pxy22参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyp
6、tx222(t 为参数 ) 范围a x a， b y b |x| a ，yR x 0 中心原点 O （0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0, b) (a,0), (a,0) (0,0) 对称轴x 轴， y 轴；长轴长 2a, 短轴长 2b x 轴， y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴焦点F1(c,0), F2( c,0) F1(c,0), F2( c,0) )0 ,2(pF准线x=ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外. x=ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c （c=22ba
7、）2c （c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页名师总结优秀知识点【备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e. 共轭双曲线： 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax. 共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲
8、线方程可设为)0(2222byax.【备注 2】抛物线：（1）抛物线2y=2px(p0) 的焦点坐标是 (2p,0) ，准线方程x=-2p，开口向右；抛物线2y=-2px(p0) 的焦点坐标是 (-2p,0) ，准线方程 x=2p，开口向左；抛物线2x=2py(p0) 的焦点坐标是 (0,2p) ，准线方程y=-2p，开口向上；抛物线2x=-2py（p0）的焦点坐标是（0,-2p） ，准线方程y=2p，开口向下 . （2）抛物线2y=2px(p0) 上的点 M(x0,y0) 与焦点 F 的距离20pxMF；抛物线2y=-2px(p0) 上的点 M(x0,y0) 与焦点 F 的距离02xpMF（
9、3）设抛物线的标准方程为2y=2px(p0) ，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p，顶点到准线的距离2p，焦点到准线的距离为p. （4）已知过抛物线2y=2px(p0) 焦点的直线交抛物线于A 、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB=21xx+p 或2sin2pAB( 为直线 AB的倾斜角 ) ，221pyy，2,41221pxAFpxx(AF叫做焦半径 ). 五、坐标的变换：（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向) 叫做坐标变换 . 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐
10、标与曲线的方程. （2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。（3） 坐标轴的平移公式： 设平面内任意一点M ， 它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y) ，在新坐标系x O y中的坐标是),(yx.设新坐标系的原点O 在原坐标系xOy中的坐标是 (h,k)，则kyyhxx或kyyhxx叫做平移 ( 或移轴 )公式 . （4）中心或顶点在 (h,k)的圆锥曲线方程见下表：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页名师总结优秀知识点方程焦点焦线对称轴椭圆22h
11、)-(xa+22k)-(yb=1 ( c+h,k) x=ca2+h x=h y=k 22h)-(xb+22k)-(ya =1 (h, c+k) y=ca2+k x=h y=k 双曲线22h)-(xa-22k)-(yb=1 ( c+h,k) x=ca2+k x=h y=k 22k)-(ya-22h)-(xb=1 (h, c+h) y=ca2+k x=h y=k 抛物线(y-k)2=2p(x-h) (2p+h,k) x=-2p+h y=k (y-k)2=-2p(x-h) (-2p+h,k) x=2p+h y=k (x-h)2=2p(y-k) (h, 2p+k) y=-2p+k x=h (x-h)2
12、=-2p(y-k) (h,- 2p+k) y=2p+k x=h 六、椭圆的常用结论：1.点 P处的切线 PT平分 PF1F2在点 P处的外角 . 2.PT平分 PF1F2在点 P处的外角，则焦点在直线PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5.若000(,)P xy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab. 6.若000(,)P xy在椭圆22221xyab外， 则过0P作椭圆的两条切线切点为P1、 P2， 则切点弦P1P2
13、的直线方程是00221x xy yab. 7.椭圆22221xyab (a b0) 的左右焦点分别为F1，F 2，点 P为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.8.椭圆22221xyab（ab0）的焦半径公式10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc ,2( ,0)Fc00(,)Mxy). 9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P 、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页名师总结优秀知
14、识点N两点，则 MF NF. 10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q交于点 M ，A2P和 A1Q交于点 N，则 MFNF. 11.AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。12.若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则被 Po所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab；【推论】：1、若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab。椭
15、圆22221xyab（abo）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)Aa，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2、过椭圆22221xyab (a 0, b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC有定向且2020BCb xka y（常数） . 3、若 P为椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22accoac. 4、设椭圆22221xyab（ab 0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上
16、任意一点，在PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sinsinsincea. 5、若椭圆22221xyab（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 0e21时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1是 P到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6、 P为椭圆22221xyab（ab0） 上任一点 ,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点， 则2112| | 2|aAFPAPFaAF,当且仅当2,A FP三点共线时，等号成立. 7、椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()A aB bAxByC. 8、
17、已知椭圆22221xyab（ab0） ，O为坐标原点， P、 Q为椭圆上两动点， 且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab; （3）OPQS的最小值是2222a bab. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页名师总结优秀知识点9、 过椭圆22221xyab（ab0） 的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦 MN的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN. 10、已知椭圆22221xyab（ a b0） ,A 、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直
18、平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则22220ababxaa. 11、设 P点是椭圆22221xyab（ a b0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 122tan2PF FSb. 12、设 A、B是椭圆22221xyab（ a b0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|sabPAac co.(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13、已知椭圆22221xyab（ a b0）的右准线l与 x 轴相交
19、于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点 , 点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段 EF 的中点 . 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ). （注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17、椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中, 半焦距必为
20、内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论：1、点 P处的切线 PT平分 PF1F2在点 P处的 内角 . 2、PT平分 PF1F2在点 P处的内角，则焦点在直线PT上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交 . 4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切： P在右支；外切：P在左支）5、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab. 6、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）外，则过 Po作双曲
21、线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab. 7、双曲线22221xyab（a0,b o）的左右焦点分别为F1，F2，点 P为双曲线上任意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页名师总结优秀知识点8、双曲线22221xyab（a0,b o）的焦半径公式：(1(,0)Fc , 2( ,0)Fc）当00(,)M xy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa；当00(,)M xy在左支上时，10|MFexa
22、,20|MFexa。9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P 、Q两点， A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于 M 、N两点，则 MF NF. 10、过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和 A2Q交于点 M ，A2P和 A1Q交于点 N，则 MF NF. 11、AB是双曲线22221xyab（a0,b 0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。12、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）内，则被Po
23、所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 13、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab. 【推论】：1、双曲线22221xyab（a0,b 0）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)Aa，与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2、过双曲线22221xyab（a0,b o）上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC有定向且2020BCb xka y（常数） . 3
24、、若 P为双曲线22221xyab（a0,b 0）右（或左） 支上除顶点外的任一点,F1, F2是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22cacoca（或tant22cacoca）. 4、 设双曲线22221xyab（a0,b 0） 的两个焦点为F1、 F2,P （异于长轴端点） 为双曲线上任意一点， 在 PF1F2中， 记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sin(sinsin)cea. 5、若双曲线22221xyab（a0,b 0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 1e21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1是 P到对应准线距离d 与 PF2的比
25、例中项 . 6、P为双曲线22221xyab（a0,b 0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A为双曲线内一定点，则21| 2|AFaPAPF, 当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页名师总结优秀知识点且仅当2,A FP三点共线且P和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立. 7、双曲线22221xyab（a0,b 0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC. 8、已知双曲线22221xyab（ba 0） ，O为坐标原点， P 、Q为双曲线上两动点，且OPOQ. （1）22221111|OPOQab
26、; （2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba; （3）OPQS的最小值是2222a bba. 9、过双曲线22221xyab（a0,b 0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦 MN的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN. 10、已知双曲线22221xyab（a0,b 0）,A 、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则220abxa或220abxa. 11、设 P点是双曲线22221xyab（a0,b 0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 122c
27、ot2PF FSb. 12、 设 A 、 B是双曲线22221xyab（a0,b 0） 的长轴两端点， P是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|s|abPAac co. (2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13、已知双曲线22221xyab（a0,b 0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点 ,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段 EF 的中点 . 14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦
28、点的连线必与切线垂直. 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率 ). ( 注:在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18 双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页名师总结优秀知
29、识点xcbyay2顶点)244(2ababac. )0(22ppxy则焦点半径2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF. 通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的. pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx） （t为参数） . pxy22pxy22pyx22pyx22图形yxOyxOyxOyxO焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线2px2px2py2py范围Ryx,0Ryx,00, yRx0, yRx对称轴x轴y轴顶点（0,0 ）离心率1e焦点12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页