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1、1 / 6 高数期末考试卷及答案一选择填空题（每小题3 分，共 18 分）1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （ 3,-4,0），则 ab = 分析： ab = 202340ijk = -6j 8k 8i = （-8,-6,-8）2.设 u = 223xxyy.则2ux y = 分析：ux =22xy, 则2ux y = 2(2)xy= 2y3.椭球面2222315xyz在点（ 1,-1,2）处的切平面方程为分析：由方程可得，222( , , )2315F x y zxyz，则可知法向量n = （Fx, Fy, Fz）。则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则
2、过点（ 1,-1,2）处的法向量为 n =（2,-4,12）因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0 xyz，即26150 xyz4.设 D：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则(2)Dyd_ 分析：画出平面区域D（图自画），观图可得，20(2)(2)8xxDyddxydy5.设 L：点 (0 , 0 )到点 (1 , 1)的直线段 .则2Lx ds_ 分析：依题意可知：L 是直线 y = x 上点 (0 , 0 )与点 (1 , 1)的一段弧，则有112222002123Lx dsxx dxxdx6.D 提示：级数1nnu发散，则称级数1nnu条件收敛二.
3、解答下列各题（每小题6分，共 36 分）1.设2ln()tan2zx yxy，求 dz 分析：由zzdzdxdyxy可知，需求zx及zy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 / 6 12zxyxxy，21zxyxy，则有211(2)()zzdzdxdyxydxxdyxyxyxy2.设(4,23 ),ufxyxy其中f一阶偏导连续，求uy分析：设v = 4xy , t = 2x 3y ,则4( 3)(43)ufvftfxfxfyvyty3.设( ,)zz x y由222100 xyzxyz确定 .求zy分析：由2221
4、00 xyzxyz得，222( , , )100F x y zxyzxyz则有由2()xFxxyzxyz，2()yFyyxzxyz，2Fzzxy则2()()222yyyxzxyzxzxyzyzFyyFzzxyzxy4.求函数3322( , )339f x yxyxyx的极值提示：详细答案参考高数2 课本第 111页例 4 5.求二重积分22,xyDed其中 D：2219xy分析：依题意，得21902，即1302则有，22223901()xyDeddedee6.求三重积分2xyz dV，：平面 x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z = 0, z = 1所围区域分析：依题意，
5、得030201xyz则有321220003xyz dVdxdyxyz dz三.解答下列各题（每题6 分，共 24 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 / 6 1.求Lydxxdy，L：圆周229xy，逆时针分析：令 P=y , Q= - x , 则1Qx，1Py由格林公式得()( 2)LDDQPydxxdydxdydxdyxy作逆时针方向的曲线L：cossinx ry r，02则20()( 2)24LDDQPydxxdydxdydxdydxy2.设:平面31xyz位于第一卦限部分.试求曲面积分xdS分析：由:平
6、面31xyz可得13zxy则13yxyzzzx，z =则有221()()11xyDxyDxyxdSxzzdxdyxdxdy由于xyD是在 xOy 面的第一卦限的投影区域，即由0,031xyxy及所围成的闭区域 .因此1130011111118xDxyxdSxdxdydxxdy3.设是22zxy位于平面4,9zz之间部分且取下侧，求zdxdy分析：依题意，可得00249zz，由于是取下侧，则有9240063054zzdxdyzdzdd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 / 6 4.设是锥面22zxy与平面z = 1
7、所围立体区域整个边界曲面的外侧。试求232.xdydzyzdzdxz dxdy分析：依题意，可令23 ,2,Px Qyz Rz，则有3,2 ,2PQRzzxyz所以，232()3PQRxdydzyzdzdxz dxdydvdvxyz又是锥面22zxy与平面z = 1 所围立体区域整个边界曲面的外侧，则有00201zz，则有1220003233zxdydzyzdzdx z dxdydvdzdd四解答下列各题（第1,2 题每题 6 分，第 3,4 题每题 5 分，共 22 分）1.判断正项级数13 (1)!nnnn的敛散性。分析：设3 (1)!nnnan，则113(2)(1)!nnnan则有，11
8、3(2)3(1)!limlimlim013 (1)1!nnnxxxnnannann，所以，正项级数13 (1)!nnnn是收敛的2.试将函数1( )1f xx（1）展开成x 的幂级数（ 2）展开成x 1 的幂级数 . 分析：（ 1）展开成x 的幂级数为：11( )( 1),(11)1nnnf xxxx（2）11111111( ).( 1) () ,(11)112(1)222212nnnxxf xxxx则展开成x 1 的幂级数为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 / 6 n+1111111( ).( 1)() =(
9、 1)(1)=,( 13)1222nnnnnnxf xxxx3.求幂级数1nnxn的收敛域及和函数. 分析：因为11limlim(1)nnnxxnanxxanx当1x时级数收敛；当1x时级数发散 .所以收敛半径R=1. 则收敛区间为1x，即11x当 x = 1 时，级数成为11nn，这级数发散；当x = - 1 时，级数成为1( 1)nnn，这级数收敛.所以，原级数的收敛域为 - 1, 1 ). 设和函数为S(x)，即1( ), 1,1)nnxS xxn. 11101( )(),(1)1nnnnnnxS xxxxnx则01( )ln(1), 1,1)1xS xdxxxx4.设( )f x连续，221:,0.xyuz（1）试用柱面坐标化简三重积分22()1.f xydv（2）若22( )()1.f uf xydv试求( )f u. 分析：（ 1）依题意，得00210uz，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 / 6 12222220000()1(1)(1) (1)uuf xydvdzdfdfd（2）若22( )()1.f uf xydv则有220( )(1) (1)uf ufd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页