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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高数期末考试卷及答案一挑选填空题（每道题3 分,共 18 分）n = （ Fx, Fy, 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （ 3,-4,0）,就 ab = ijk分析： ab = 202 = -6j 8k 8i = （-8,-6,-8）3402.设 u = x 2xy 23 y .就2u = x y分析：u =2xy2, 就2u = 2xy2= 2yxx y3.椭球面2 x2y232 z15在点（ 1,-1,2）处的切平面方程为分析：由方程可得,F x y zx22y22 3 z15,就可知法向量Fz）；就有 Fx = 2x , F
2、y = 4y , Fz = 6z ,就过点（ 1,-1,2）处的法向量为 n =（2,-4,12）因此,其切平面方程为：2 x 1 4 y 1 12 z 2 0,即 x 2 y 6 z 15 04.设 D：y = x, y = - x, x = 2 直线所围平面区域 .就 y 2 d _ D分析：画出平面区域D（图自画）,观图可得,Dy2 d2dxxy2 dy80x5.设 L：点 0 , 0 到点 1 , 1的直线段 .就2 Lx ds_ 分析：依题意可知：L 是直线 y = x 上点 0 , 0 与点 1 , 1的一段弧,就有2 Lx ds1x212 x dx1x22dx20036.D 提示
3、：级数un发散,就称级数u条件收敛n1n1二.解答以下各题（每道题6 分,共 36 分）1.设z2 x ylnxytan2,求 dz 分析：由dzzdxzdy可知,需求z及zxxyy1 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - z2xyx1y,zx2x1y,xy就有dzzdxzdy2xyx1ydxx2x1ydy4x3fxy2.设uf4xy ,2x3 ,其中 f 一阶偏导连续,求uy分析：设 v = 4xy , t = 2x 3y ,就ufvftf4xf 3yvyty3.设zz x y 由2 xy22 zxyz100确
4、定 .求z100y分析：由x22 y2 zxyz100得,F x y zx22 yz2xyz就有由Fx2 xyzxyz x,Fy2yxzxyz y,Fz2zxy就zFy2yxzxyz yxzxyz y2yyFz2 zxy2zxy所围区域4.求函数f x y , 3 xy33 x23 y29 x 的极值提示：具体答案参考高数2 课本第 111 页例 4 5.求二重积分Dx e2y2d,其中 D：12 xy2912913分析：依题意,得02,即02就有,Dx e2y 2d2d3e2d9 ee 016.求三重积分2 xyz dV ,：平面 x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z
5、= 0, z = 10x3分析：依题意,得0y2就有2 xyz dV3dx2dy12 xyz dz30000z1三.解答以下各题（每题6 分,共 24 分）2 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.求ydxxdy,L：圆周x22 y9,逆时针L分析：令 P=y , Q= - x , 就1Q1,P14xy由格林公式得ydxxdyDQP dxdyD 2 dxdyxyL作逆时针方向的曲线L ：x rcosy rsin, 02就LydxxdyDQP dxdyD 2 dxdy22dxy02.设:平面x3yz位于第一卦限
6、部分.试求曲面积分xdS分析：由: 平面x3yz1可得z1x3y就z xDz1,z = yz3xdxdy0,y0 及x3 y1 所围成的闭xy就有xdSx1zx2zy2dxdy11由于xy是DxyDxyx在 xOy 面的第一卦限的投影区域,即由区域 .因此xdS11Dxyxdxdy111dx13xxdy11zdxdy00183.设是zx22 y 位于平面z4,z9之间部分且取下侧,求是取下侧,就有0z分析：依题意,可得0 4z2 9,由于zdxdy9zdz2d0zd63054043 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - -
7、- - 4.设是锥面zx2y2与平面z = 1 所围立体区域整个边界曲面的外侧；试求3 xdydz2yzdzdx2 z dxdy .1：分析：依题意,可令P3 , x Q2yz R2 z ,就有P3,Q2 ,R2zxyz所以,3xdydz2yzdzdx2 z dxdyPQRdv3 dvxyz又是锥面zx2y2与平面z = 1 所围立体区域整个边界曲面的外侧,就有0z00z2 1,就有3 xdydz22 yzdzdx z dxdy3 dv13 dz2dzd000四解答以下各题（第1,2 题每题 6 分,第 3,4 题每题 5 分,共 22 分）1.判定正项级数n1n 3 n1的敛散性；n .分析
8、：设ann 3 n.1,就a n1n 31n2nn1.3n1n2就有,lim xan1lim xnn1.lim xn3101,ann 3 1n.所以,正项级数n1n 3 n.1是收敛的n2.试将函数f x 11x（1）绽开成 x 的幂级数（ 2）绽开成 x 1 的幂级数 . 分析：（ 1）绽开成 x 的幂级数为：f x 11xn1n 1xn,1x1（2）f x 11x2111.11211.n1n 1 x21 n ,1x21x2x2就展开成x 1 的幂级数为4 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - f x 1x1
9、.2 n1n 1x1 n =n11n 1xn 1=, 1x312n+1 23.求幂级数n1n x的收敛域及和函数. 1n 1,这级数收敛 .n分析：由于lim xa nn1lim xnxn1nxan1x当x1 时级数收敛；当x1时级数发散 .所以收敛半径R=1. 就收敛区间为x1,即1x1当 x = 1 时,级数成为n11,这级数发散；当x = - 1 时,级数成为nnn所以,原级数的收敛域为 - 1, 1 . 设和函数为Sx ,即S x n1n x,x 1,1. nS x n1n xn1xn1n0xn11x,x1n就S x x11xdxln1x,x 1,104.设f x 连续,:x2y2u ,0z1.（1）试用柱面坐标化简三重积分f x2y21 dv .（2）如f u 2 f xy21 dv 试求f u . 0u分析：（ 1）依题意,得0z2 1,就05 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 f xy21 dv1dz2d0uf21d0uf21 2100（2）如f u 2f x22y21 dv 就有f u 0uf1 16 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页