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1、普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14 题，满分56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分. 1、设xR，则不等式31x的解集为 _. 【答案】)4,2(【解析】试题分析：421311|3|xxx，故不等式1|3| x的解集为)4,2(. 考点：绝对值不等式的基本解法. 2、设iiZ23，期中i为虚数单位，则Im z=_ 【答案】 -3 【解析】试题分析：32i23 ,Imz=-3.izi考点： 1. 复数的运算；2. 复数的概念 .3、已知平行直线012:, 012:21yxlyxl，则21,ll的距离 _
2、 【答案】2 55【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得122222|cc | 1 1|2 5d5ab21考点：主要考查两平行线间距离公式. 4、某次体检， 6 位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是 _（米）【答案】 1.76 【解析】试题分析：将这 6 位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80 ，这六个数的中位数是 1.75 与 1.77 的平均数，显然为1.76. 考点：主要考查了中位数的概念. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
3、 - - - - -第 1 页，共 12 页5、若函数( )4sincosf xxax的最大值为5，则常数a_. 【答案】3【解析】试题分析：)sin(16)(2xaxf，其中4tana，故函数)(xf的最大值为216a，由已知，5162a，解得3a. 考点：三角函数sin()yAx的图象和性质 . 6、已知点(3,9)在函数xaxf1)(的图像上，则_)()(1xfxf的反函数【答案】2log (x1)考点：反函数的概念以及指对数式的转化. 7、若,x y满足0,0,1,xyyx则2xy的最大值为 _. 【答案】2【解析】试题分析：由不等式组画出可行域，如图，令yxz2，当直线zxy2121
4、经过点) 1 ,0(P时，z取得最大值，且为2. 考点：线性规划及其图解法. 8. 方程3sin1cos2xx在区间2,0上的解为 _ Oxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页【答案】566或【解析】试题分析：化简3sinx1cos 2x得：23sinx22sinx，所以22sinx3sinx20，解得1sinx2或sinx2（舍去），所以在区间0 ，2 上的解为566或. 考点：二倍角公式及三角函数求值. 9、在nxx23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_ 【答案】 112 【解析】试题分
5、析：由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为n2，由题意得n2256，所以n8，考点：中二项式的通项为84rr8 rrrr33 3r 1882TC (x)()( 2) C xx，求常数项则令84r033，所以r2，所以3T112. 考点：二项式定理. 10、已知ABC的三边长分别为3,5,7 ，则该三角形的外接圆半径等于_ 【答案】733【解析】试题分析：利用余弦定理可求得最大边7 所对应角的余弦值为222357123 52，所以此角的正弦值为32，由正弦定理得72R32, 所以7 3R3考点：正弦、余弦定理. 11、某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两
6、种水果相同的概率为 _. 【答案】16【解析】 试题分析：将4 种水果每两种分为一组，有24C6种方法，则甲、乙两位同学各自所选精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页的两种水果相同的概率为16. 考点：古典概型12. 如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0, - 1),P是曲线21yx=-上一个动点，则OP BAuu u ruu r的取值范围是 . 【答案】 1,2【 解 析 】 试 题 分 析 ： 由 题 意 ， 设(cos,sin)P, 0, ， 则(cos,sin)OP， 又(1,1)BA, 所以coss
7、in2 sin()1,24OP BA. 考点： 1. 数量积的运算；2. 数形结合的思想. 13. 设a0,b0. 若关于x,y的方程组1,1axyxby+=? +=? ?无解，则ab+的取值范围是 . 【答案】(2,)考点：方程组的思想以及基本不等式的应用. 14. 无穷数列 an 由k个不同的数组成，Sn为an 的前n项和 . 若对任意的*n ? N ，2 3nS ?， 则k的最大值为 . 【答案】 4 【解析】 试题分析：当1n时，12a或13a；当2n时，若2nS，则12nS，于是0na，若3nS，则13nS，于是0na. 从而存在Nk，当n k时，0ka. 其中数列精选学习资料 -
8、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页na：2,1 ， -1,0,0 ，满足条件，所以max4k. 考点：数列的项与和. 二、选择题（54=20）15. 设Ra，则“1a”是“12a”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件【答案】 A 【解析】试题分析：2211,111aaaaa或，所以是充分非必要条件，选A. 考点：充要条件16. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）(A) 直线AA1 (B) 直线A1B1(C)
9、直线A1D1 (D) 直线B1C1 【答案】 D 【解析】 试题分析：只有11BC与EF在同一平面内，是相交的，其他A， B，C中直线与EF都是异面直线，故选D 考点：异面直线17. 设a ? R，0,2 b?. 若对任意实数x都有sin(3)=sin()3xaxb-+，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】 B 【解析】 试题分析：5sin(3)sin(32 )sin(3)333xxx，5( , )(3,)3a b，又4sin(3)sin(3)sin( 3)333xxx，4( , )( 3,)3a b，注意到0,2)b，只有这两组故选B精
10、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页考点：三角函数18、 设( )f x、( )g x、( )h x是定义域为R的三个函数， 对于命题： 若( )( )f xg x、( )( )f xh x、( )( )g xh x均为增函数，则( )f x、( )g x、( )h x中至少有一个增函数；若( )( )f xg x、( )( )f xh x、( )( )g xh x均是以T为周期的函数，则( )f x、( )g x、( )h x均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A、和均为真命题B、和均为假命题C、为真命题，为假
11、命题D、为假命题，为真命题学科 . 网【答案】 D 【解析】试题分析：因为( )g(x)( )(x)g( )(x)( )2f xf xhxhf x必为周期为的函数， 所以正确； 增函数减增函数不一定为增函数，因此不一定. 选 D.函数性质考点： 1. 抽象函数； 2. 函数的单调性；3. 函数的周期性 . 三、解答题（74 分）19. （本题满分12 分）将边长为1 的正方形AA1O1O（及其内部） 绕 OO1旋转一周形成圆柱，如图， AC长为56，11A B 长为3，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧 . （1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小. 【答案】
12、（1）312； （2）4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页圆柱的侧面积221 12Srl考点： 1. 几何体的体积；2. 空间的角 . 20. （本题满分14 分）有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。 于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（ 1,0 ） ，如图（1）求菜地内的分界线C的方程（2）菜农从
13、蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍， 由此得到1S面积的“经验值” 为38。设M精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页是C上纵坐标为1 的点，请计算以EH为一边、另一边过点M的矩形的面积， 及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的经验值【答案】（1）24yx（02y） （2）五边形面积更接近于1S面积的“经验值” 【解析】试题分析： （1）由C上的点到直线与到点F的距离相等，知C是以F为焦点、以为准线的抛物线在正方形FG内的部分（2）计算矩形面积，五边形面积进一步计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值
14、，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可试题解析：（1）因为C上的点到直线与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以为准线的抛物线在正方形FG内的部分，其方程为24yx（02y） （2）依题意，点的坐标为1,14所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为11814312，所以五边形面积更接近于1S面积的“经验值” 考点： 1. 抛物线的定义及其标准方程；2. 面积 . 21. （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分. 双曲线2221(0)yxb
15、b的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2 且与双曲线交于A、B两点. （1）若l的倾斜角为2，1F AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3b，若l的斜率存在，且|AB|=4 ，求l的斜率 . 【答案】（1）2yx （2）155. 【解析】试题分析：（1）设,xy根据1F是等边三角形，得到244 13bb，解得2b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页（2） （2）设11,x y，22,xy，直线:l2yk x与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l与双曲线交于两点，可得230k，且236 10k由 |
16、AB|=4 得出k的方程求解试题解析：（1）设,xy由题意，2F,0c，21cb，22241ybcb，因为1F是等边三角形，所以23cy，即244 13bb，解得22b故双曲线的渐近线方程为2yx（2）由已知，2F2,0设11,x y，22,xy，直线:l2yk x考点： 1. 双曲线的几何性质；2. 直线与双曲线的位置关系；3. 平面向量的数量积. 22. （本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分 6 分. 对于无穷数列 na与nb ，记A=x|x=a，*Nn，B=x|x=nb，*Nn ，若同时满足条件： na ，nb 均单调递增
17、；AB且*NAB，则称 na与nb 是无穷互精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页补数列 . （1）若na=21n，nb=42n，判断 na 与nb 是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若na=2n且na与nb 是无穷互补数列，求数列nb 的前 16 项的和；（3）若 na与 nb是无穷互补数列，na 为等差数列且16a=36，求 na与nb 得通项公式. 【答案】（1）na与nb不是 无穷互补数列； （2）180；（3）24nan，,525,5nn nbnn【解析】 试题分析：（1）直接应用及时定义“无穷互补数列”
18、的条件验证即得；（2）转化为等差数列： 1，2， 20 与等比数列： 2，4，8，16 求和； （3）先求等差数列na的通项公式，再求nb 得通项公式 . 试题解析：（1）因为4，4，所以4，从而na与nb不是无穷互补数列（2）因为416a，所以1616420b数列nb的前16项的和为23412202222512020221802（3）设na的公差为d，d，则1611536aad由136 151ad，得1d或2若1d，则121a，20nan，与“na与nb是无穷互补数列”矛盾；若2d，则16a，24nan，,525,5nn nbnn综上，24nan，,525,5nn nbnn23. （本题满分
19、16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分 6 分. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页已知aR，函数( )f x=21log ()ax. （1）当1a时，解不等式( )f x1；（2）若关于x的方程( )f x+22log ()x=0 的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a0，若对任意t1,12，函数( )f x在区间 ,1t t上的最大值与最小值的差不超过 1，求a的取值范围 . 【答案】（1）|01xx （2）0a或14 （3）2,3【解析】试题分析：（
20、1）由21log11x，利用得112x求解（2）转化得到2221log ()log ()0axx，讨论当0a、0a时的情况（3）讨论fx在0,上单调递减确定函数fx在区间,1t t上的最大值与最小值之差. 得到2110atat，对任意1,12t成立试题解析：（1）由21log11x，得112x，解得|01xx（2）2221loglog0axx有且仅有一解，等价于211a xx有且仅有一解，等价于210axx有且仅有一解当0a时，1x，符合题意；当0a时，140a，14a综上，0a或14精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页（3）当120 xx时，1211aaxx，221211loglogaaxx，所以fx在0,上单调递减考点： 1. 对数函数的性质；2. 函数与方程；3. 二次函数的性质. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页