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1、学习必备欢迎下载2.9 指数 指数函数指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一一、明确复习目标1. 理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算；2. 掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。二建构知识网络1.幂的有关概念(1)正整数指数幂)(Nnaaaaann个零指数幂)0(10aa；负整数指数幂10,nnaanNa(2)正分数指数幂0,1mnmnaaam nNn；(3)负分数指数幂110,1mnmnmnaam nNnaa(4)0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质：10, ,rsrsa aaar
2、 sQ20, ,srrsaaar sQ30 ,0,rrraba babrQ3.根式（1）根式的定义 :如果axn1,nnN，那么x叫做a的n次方根，用na表示, na叫做根式，n叫根指数，a叫被开方数。(2) 根式的性质 : 当n是奇数，aann；当n是偶数，00aaaaaann负数没有偶次方根，零的任何次方根都是零4.指数函数：（1）定义： y=ax(a0 且 a1) ，叫指数函数， x 是自变量， y 是 x 的函数。（2）图象：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载（3）性质：定义域 (-,+ )；
3、值域(0,+ )；过定点（， 1） ；单调性a 1 时为增函数a1,0y1 和 0a0 且 a1),在区间 0,+)上是增函数 ,那么实数 a 的取值范围是( ) A.2(0,3B.3,1)3C.(1, 3D.3,)2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载5. 计算：0.7522310.25816_ 6. 若ln 2ln 3ln 5,235abc,则 a、b、c 的大小顺序是简答.精讲: 1-4. ABBB; 1. 3a6a=a31 （ a）61=（ a）6131=（ a）21; 3. 令 x=1，由图知
4、c1d1a1b1; 4.记 u=ax,则 f(x)=uu-(3a2+1)=g(u) 对称轴为 u=(3a2+1)/2,要使 f(x) 在 x0,+)时递增 ,当 0a1 时无解 .故选 B; 5.12; 6.只须看1113522 ,3 ,5的大小 ,把11322 ,36 次乘方 , 把11522 ,510 次乘方可知cab 四、经典例题做一做【例 1】已知 9x103x+90，求函数 y=（41）x1 4（21）x+2 的最大值和最小值. 解：由 9x103x+90 得（3x1） （3x 9） 0，解得 13x9.0 x2.令（21）x=t，则41 t1，y=4t24t+2=4（ t21）2+
5、1.当 t=21即 x=1 时，ymin=1；当 t=1 即 x=0 时，ymax=2. 方法提炼1.由不等式求 x 的范围 ;2.换元法转化为地次函数的闭区间上的最值问题. 【例 2】已知44221)31)(21(, 31aaaaaaaaaa求的值 . 解：719)1(312aaaaaa，47149)1(222aaaa，)()(1221212122121212323aaaaaaaaaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载1863)11)(1(aaaa，而512)1(124444aaaaaa，520
6、0550205)347()218(原式方法归纳1.用好2211aaaa与的关系 .2.根式化分数指数幂再计算. 【例 3】 （2004 全国）解方程4x+|12x|=11. 解：当 x0 时， 12x0. 原方程4x2x10=02x=212412x=212410（无解） 或 2x=21+2411 知 x0（无解） . 当 x0 时， 12x0. 原方程4x+2x12=02x=21272x=4（无解）或2x=3x=log23（为原方程的解） . 思想方法1.分类讨论分段去绝对值；2。换元法。【例 4】设函数( )221xxf xa(a 为实数 )若 a0，用函数单调性定义证明：( )yf x在(
7、,)上是增函数 ; 若a0，( )yg x的图象与( )yf x的图象关于直线y x 对称，求函数( )yg x的解析式解：(1)设任意实数x1x2，则 f(x1) f(x2)1122(221)(221)xxxxaa1212(22 )(22)xxxxa1212122(22 )2xxxxxxa121212,22 ,220;xxxxxx120,20 xxaa又1220 xx， f(x1) f(x2)0，所以 f(x) 是增函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载(2)当 a0 时， yf(x) 2x1， 2
8、xy1， xlog2(y1)， yg(x) log2(x 1) 【研究 .欣赏】（2002 上海）已知函数2( )(1)1xxf xaax（1）证明 f(x)在（ -1，+）上为增函数；（2）用反证法证明方程f(x)=0 没有负数根。证明（ 1）设 1x10,又 a1, 211xxa,而 1x10, x2+10, f(x2) f( x1)0, f( x) 在( 1,+) 上为增函数。（2 ）设x0为方程f( x)=0的负根 ，则有000201xxax即00000023(1)31111xxxaxxx显然，01x，若00003301,110,3, 1211xxxx则与011xaa矛盾；若 x0-1
9、 则， x0+10,00130,1111xx, 而00 xa矛盾，即不存在x01的解，综上知，不存在负根。提炼方法： 1. 方法：单调性定义，反证法，分类讨论；2. 反证法推矛盾时, 体现了明确的目的性和数式变换的技巧和能力.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载五提炼总结以为师1.根式的运算根据分数指数幂的意义，转化为分数指数幂的运算；2.指数函数的定义重在“形式”，像 y=23x，122 ,3xxyy，y=3x+1 等都不是指数函数，是复合函数. 3.指数函数y=ax（a 0，a1）的图象和性质，要分
10、a1 与 0a1 来研究 . 4.对于含有字母参数的指数式，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论，用好用活指数函数单调性，还要注意换元的灵活运用。同步练习2.9 指数 指数函数【选择题】1. 若nN*，则12412411nnnn( ）A2 Bn2C n12 Dn222. ( 2005全国卷 III)设173x，则( ) （A）-2x-1 （B）-3x-2 （ C） -1x0 （D）0 x0,a1)在区间 -1,1上的最大值为14，求 a 的值。解:设 t=ax,则 y=t2+2t-1,在 t-1 时递增 .而 x-1,1. 若 a1,则 a-1t a,ymax=a2+2a-1=14, 解得
11、a=3, (-5 舍) 若 0a1,则 ata-1, ymin=a-2+2a-1-1=14, 解得1)3a1( 或-舍59. 设 f（x）=1214xx2x+1，已知 f（m）=2，求 f（ m）. 解：设 g(x)= 1214xx2x, 则g（ x）=1412xx+2x=114122xx+2x =11442xxx+2x=1142xx+2x=1412xx+ 2x=g(x) g(x)是奇函数 ,g(m)= 2-1, f（ m）=g(-m)+1 =g(m)+1=2 2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载
12、10.设0a，( )xxeaf xae是R上的偶函数（1）求a的值；（2）证明( )fx在(0,)上为增函数解： （1）依题意，对一切xR，有()( )fxf x，即1xxxxeaaeaeae11()()xxaeae0对一切xR成立，则10aa，1a，0a，1a（2）(定义法 )设120 xx，则12121211()()xxxxf xf xeeee2121121122111()(1)(1)xxxxxxxxxxxeeeeeee，由12210,0,0 xxxx，得21120,10 xxxxe，2110 xxe，12()()0f xf x，即12()()f xf x，( )f x在(0,)上为增函数
13、（导数法）1a，(0,)x211()1( )()0 xxxxxxefxeeeee( )f x在(0,)上为增函数【探索题】定义在R 上的奇函数f(x) 满足 f(x+2)=f(-x), 当 x(0,1时,2( )41xxf x; (1)求证 :f(x) 是以 4 为周期的周期函数; (2)求 f(x) 在 -1,0上的解析式 ; (3)若 xa,a+4,(aR),求使关于 x 的方程 f(x)= 有解的 的取值范围 . 解(1) f(x+4)=f(x+2)+2=f(-x-2)=f(x+2)=f(x) f(x) 的周期为4. (2)显然 f(0)=0, 当 x-1,0)时 x(0,1. 精选学习
14、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载22( )()41410(0)( )2( 1,0)41xxxxxxfxfxxf xx(3)2(0,1,2(1,2,( )( )1xtxtf xg tt记当时 令则12211 21 22112221212,0,1,(1)()( )( )0(1)(1)ttttt tt tttg tg ttt当时( )g t在(1,2上是减函数 ,2 12 1( ),)( ),)5 25 2g tf x即由( )f x是奇函数 , 1,1,x2 112( ),)(,05 225fx又 f(x+2)=f(-x), x=1 是 f(x) 的对称轴 . 1,3x当时, 2 112( ),)(,05 225f x当 ,4xa a时,( )f x的周期为4, 2 112,)(,05 225当时,在a,a+4上可使方程( )f x有解 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页