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1、弹性力学与有限元分析试卷及参考答案四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题地应力分量存在地必要条件,并考虑下列平面问题地应力分量是否可能在弹性体中存在.( 1)ByAxx,DyCxy,FyExxy;( 2))(22yxAx,)(22yxBy,Cxyxy;其中, A,B,C,D,E,F为常数 .解 : 应 力 分 量 存 在 地 必 要 条 件 是 必 须 满 足 下 列 条 件 : ( 1) 在 区 域 内 地 平 衡 微 分 方 程00 xyyxxyyyxx;( 2)在区域内地相容方程02222yxyx;( 3)在边界上地应力边界条件sflmsfmlysxyyxsyxx;( 4)对于多连
2、体地位移单值条件.( 1)此组应力分量满足相容方程.为了满足平衡微分方程,必须A=-F ,D=-E. 此外还应满足应力边界条件 .( 2)为了满足相容方程,其系数必须满足A+B=0 ;为了满足平衡微分方程,其系数必须满足A=B=-C/2. 上两式是矛盾地,因此,此组应力分量不可能存在.2、已知应力分量312xCQxyx,2223xyCy,yxCyCxy2332,体力不计, Q 为常数 .试利用平衡微分方程求系数C1,C2,C3.解:将所给应力分量代入平衡微分方程00 xyyxxyyyxx得023033322322212xyCxyCxCyCxCQy即0230333222231xyCCyCQxCC
3、由 x,y 地任意性,得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 49 页023030332231CCCQCC由此解得,61QC,32QC,23QC3、已知应力分量qx,qy,0 xy,判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程.解:将已知应力分量qx,qy,0 xy,代入平衡微分方程00YxyXyxxyyyxx可知,已知应力分量qx,qy,0 xy一般不满足平衡微分方程,只有体力忽略不计时才满足 .按应力求解平面应力问题地相容方程:yxxyxyxyyx22222)1 (2)()(将已知应力分量qx,qy,0 xy代入上式,可知
4、满足相容方程.按应力求解平面应变问题地相容方程:yxxyxyxyyx2222212)1()1(将已知应力分量qx,qy,0 xy代入上式,可知满足相容方程.4、试写出平面问题地应变分量存在地必要条件,并考虑下列平面问题地应变分量是否可能存在.( 1)Axyx,3Byy,2DyCxy;( 2)2Ayx,yBxy2,Cxyxy;( 3)0 x,0y,Cxyxy;其中, A,B,C,D 为常数 .解:应变分量存在地必要条件是满足形变协调条件,即yxxyxyyx22222将以上应变分量代入上面地形变协调方程,可知:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
5、-第 2 页,共 49 页( 1)相容 .( 2)CByA 22(1 分);这组应力分量若存在,则须满足:B=0,2A=C.( 3)0=C;这组应力分量若存在,则须满足:C=0,则0 x,0y,0 xy(1 分) .5、证明应力函数2by能满足相容方程,并考察在如图所示地矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计,0b).解:将应力函数2by代入相容方程024422444yyxx可知,所给应力函数2by能满足相容方程.由于不计体力,对应地应力分量为byx222,022xy,02yxxy对于图示地矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四个边上地面力分别为:上边,2hy,0l,
6、1m,0)(2hyxyxf,0)(2hyyyf;下边,2hy,0l,1m,0)(2hyxyxf,0)(2hyyyf;左边,2lx,1l,0m,bflxxx2)(2,0)(2lxxyyf;右边,2lx,1l,0m,bflxxx2)(2,0)(2lxxyyf.可见,上下两边没有面力,而左右两边分别受有向左和向右地均布面力2b.因此,应力函数2by能解决矩形板在x 方向受均布拉力(b0)和均布压力(b0)地问题 .l/2 l/2 h/2 h/2 y x O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 49 页O x y b q g 6、证
7、明应力函数axy能满足相容方程,并考察在如图所示地矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计,0a).解:将应力函数axy代入相容方程024422444yyxx可知,所给应力函数axy能满足相容方程.由于不计体力,对应地应力分量为022yx,022xy,ayxxy2对于图示地矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四个边上地面力分别为:上边,2hy,0l,1m,afhyxyx2)(,0)(2hyyyf;下边,2hy,0l,1m,afhyxyx2)(,0)(2hyyyf;左边,2lx,1l,0m,0)(2lxxxf,aflxxyy2)(;右边,2lx,1l,0m,0)(2lxx
8、xf,aflxxyy2)(.可见,在左右两边分别受有向下和向上地均布面力a,而在上下两边分别受有向右和向左地均布面力 a.因此,应力函数axy能解决矩形板受均布剪力地问题.7、如图所示地矩形截面地长坚柱,密度为,在一边侧面上受均布剪力,试求应力分量.解:根据结构地特点和受力情况,可以假定纵向纤维互不挤压,即设0 x.由此可知022yx将上式对 y 积分两次,可得如下应力函数表达式)()(,21xfyxfyxl/2 l/2 h/2 h/2 y x O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 49 页将上式代入应力函数所应满足地相容
9、方程则可得0)()(424414dxxfddxxfdy2.3 直角三角形固定在刚性基础上,受齐顶地水压力和自重作用,如图2.14 所示 .若按一个单元计算,水地容重g,三角形平面构件容重g,取泊松比v=1/6,试求顶点位移和固定面上地反力.解:按逆时针编码,局部编码与整体编码相同:1-2-3建立坐标)0, 0(3)3, 0(20,21:aaxoy(1)求形函数矩阵:aaaa600321abbab303321acacc220321图( 2.14)形函数 : )(21ycxbaANiiii233221aaaA所以:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
10、- -第 5 页,共 49 页ayaxNayNaxN32132321形函数地矩阵为:ayaxayaxayaxayaxNNNNmji3210302003210302(2)刚度矩阵333231232221131211KKKKKKKKKKesrsrsrsrsrsrsrsrrsbbcccbbcbccbccbbAEtK21212121142125213531416122aEAEtt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 49 页可得:400353534150093532211EKEK0251035343127273323531233EKE
11、K215251935313EK41253535323EK( 3)位移列向量和右端项由边界条件可确定:Teua000022水压力和构件厚分别为:10tghp431274252151273321352594140012535035250215250254150191009353EKe精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 49 页TTetlqhqhqR0320310020306000001自重为 W 与支座反力:TyxyxeWRRWWRRR330333112所以:TyxyxeWRhqRWhqWRRR33363303011由eeeRa
12、K得到下列矩阵方程组:33363000030301122WRhqRWhqWRRuyxyx化简得:3640035353022WhquE可得:431274252151273321352594140012535035250215250254150191009353EKe精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 49 页EWEhqu363567022将22u代入下式:333425135025103533031122WRhqRWRRuEyxyx固定面上地反力:ahgaghq330从而可得支座反力为:43221234120303011hqWR
13、hqWRWhqRWRyxyx这是 y 地线性方程,但相容方程要求它有无数多地解(全柱内地y 值都应该满足它),可见它地系数和自由项都应该等于零,即0)(414dxxfd,0)(424dxxfd这两个方程要求ICxBxAxxf231)(,KJxExDxxf232)(代入应力函数表达式,并略去对应力分量无影响地一次项和常数项后,便得2323)(ExDxCxBxAxy对应应力分量为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 49 页022yxgyEDxBAxyxy26)26(22CBxAxyxxy2322以上常数可以根据边界条件确定.左边
14、,0 x,1l,0m,沿 y 方向无面力,所以有0)(0Cxxy右边,bx,1l,0m,沿 y 方向地面力为q,所以有qBbAbbxxy23)(2上边,0y,0l,1m,没有水平面力,这就要求xy在这部分边界上合成地主矢量和主矩均为零,即0)(00dxybxy将xy地表达式代入,并考虑到C=0,则有0)23(2302302BbAbBxAxdxBxAxbb而00)(00dxybxy自然满足 .又由于在这部分边界上没有垂直面力,这就要求y在这部分边界上合成地主矢量和主矩均为零,即0)(00dxyby,0)(00 xdxyby将y地表达式代入,则有02323)26(2020EbDbExDxdxEDx
15、bb022)26(230230EbDbExDxxdxEDxbb由此可得2bqA,bqB,0C,0D,0E应力分量为0 x, gybxbyqy312, 23bxbxqxy虽然上述结果并不严格满足上端面处(y=0)地边界条件,但按照圣维南原理,在稍远离y=0 处这一结果应是适用地.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 49 页8、证明:如果体力分量虽然不是常量,但却是有势地力,即体力分量可以表示为xVfx,yVfy, 其 中V 是 势 函 数 , 则 应 力 分 量 亦 可 用 应 力 函 数 表 示 为 ,Vyx22,Vxy2
16、2,yxxy2,试导出相应地相容方程.证明:在体力为有势力地情况下,按应力求解应力边界问题时,应力分量x,y,xy应当满足平衡微分方程00yVxyxVyxxyyyxx(1 分)还应满足相容方程yfxfyxyxyx12222(对于平面应力问题)yfxfyxyxyx112222(对于平面应变问题)并在边界上满足应力边界条件(1 分) .对于多连体,有时还必须考虑位移单值条件.首先考察平衡微分方程.将其改写为00 xVyyVxxyyyxx这是一个齐次微分方程组.为了求得通解,将其中第一个方程改写为yxxyVx根据微分方程理论,一定存在某一函数A(x,y),使得yAVx,xAyx同样,将第二个方程改写
17、为yxyxVy(1 分)可见也一定存在某一函数B(x,y),使得xBVy,yByx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 49 页由此得yBxA因而又一定存在某一函数yx,,使得yA,xB代入以上各式,得应力分量Vyx22,Vxy22,yxxy2为了使上述应力分量能同量满足相容方程,应力函数yx,必须满足一定地方程,将上述应力分量代入平面应力问题地相容方程,得VyxVxVyyx2222222222221VyxVyxxyyx222222222222222212简写为V24)1(将上述应力分量代入平面应变问题地相容方程,得VyxV
18、xVyyx22222222222211VyxVyxxyyx2222222222222222112简写为V241219、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用,而梁地密度为,试用纯三次地应力函数求解.O x y g 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 49 页解:纯三次地应力函数为3223dycxyybxax相应地应力分量表达式为dycxxfyxx6222, gybyaxyfxyy2622, cybxyxxy222这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程地.现在来考察,如果适当选择各个系数,是否能满足应力边界条件.上边,0y,0l
19、,1m,没有水平面力,所以有02)(0bxyxy对上端面地任意x 值都应成立,可见0b同时,该边界上没有竖直面力,所以有06)(0axyy对上端面地任意x 值都应成立,可见0a因此,应力分量可以简化为dycxx62,gyy,cyxy2斜面,tanxy,sin2cosl,coscosm,没有面力,所以有00tantanxyxyyxyyxxlmml由第一个方程,得0sintan6sin4costan2sintan62dxcxcxdxcx对斜面地任意x 值都应成立,这就要求0tan64dc由第二个方程,得0sinsintan2costansintan2gxcxgxcx对斜面地任意x 值都应成立,这就
20、要求0tan2gc(1 分)由此解得cot21gc( 1分),2cot31gd从而应力分量为2cot2cotgygxx, gyy, cotgyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 49 页设三角形悬臂梁地长为l,高为h,则lhtan.根据力地平衡,固定端对梁地约束反力沿x 方向地分量为0,沿 y 方向地分量为glh21.因此,所求x在这部分边界上合成地主矢应为零,xy应当合成为反力glh21.0cotcotcot2cot22020ghglhdygygldyhlxhxglhghdygydyhhlxxy21cot21cot2
21、00可见,所求应力分量满足梁固定端地边界条件.10、设有楔形体如图所示,左面铅直,右面与铅直面成角,下端作为无限长,承受重力及液体压力,楔形体地密度为1,液体地密度为2,试求应力分量.解:采用半逆解法.首先应用量纲分析方法来假设应力分量地函数形式 .取坐标轴如图所示.在楔形体地任意一点,每一个应力分量都将由两部分组成:一部分由重力引起,应当与g1成正比( g 是重力加速度);另一部分由液体压力引起,应当与g2成正比 .此外,每一部分还与,x,y 有关 .由于应力地量纲是L-1MT-2 ,g1和g2地量纲是L-2MT-2 ,是量纲一地量,而x 和 y 地量纲是L,因此,如果应力分量具有多项式地解
22、答,那么它们地表达式只可能是gxA1,gyB1,gxC2,gyD2四项地组合,而其中地A,B,C,D 是量纲一地量,只与有关 .这就是说,各应力分量地表达式只可能是x 和 y 地纯一次式 .其次,由应力函数与应力分量地关系式可知,应力函数比应力分量地长度量纲高二次,应该是x 和 y 纯三次式,因此,假设3223dycxyybxax相应地应力分量表达式为dycxxfyxx6222, gybyaxyfxyy12226, cybxyxxy222这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程地.现在来考察,如果适当选择各个系数,是否能满足应力边界条件.左面,0 x,1l,0m,作用有水平面力gy2,所以有g
23、ydyxx206)(对左面地任意y 值都应成立,可见2g1gy x O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 49 页62gd同时,该边界上没有竖直面力,所以有02)(0cyxxy对左面地任意y 值都应成立,可见0c因此,应力分量可以简化为gyx2,gybyaxy126,bxxy2斜面,tanyx,cosl,sin2cosm,没有面力,所以有00tantanyxxyyyxyxxlmml由第一个方程,得0sintan2cos2bygy对斜面地任意y 值都应成立,这就要求0sintan2cos2bg由第二个方程,得0sinsin
24、4sintan6costan2sin2tan611ygbabygybyay对斜面地任意x 值都应成立,这就要求04tan61gba由此解得321cot31cot61gga,22cot21gb从而应力分量为gyx2, yggxggy122321cotcot2cot, 22cotgxxy位移边界条件对称、固定边和简支边上支点地已知位移条件如下:对称轴 : 法线转角 =0固定边 : 挠度 =0 (或已知值 )边线转角 =0 (或已知值 )法线转角 =0 (或已知值 )简支边 : 挠度 =0 (或已知值 )边线转角 =0 (或已知值 )计算图示四边固定方板精选学习资料 - - - - - - - -
25、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 49 页方板地边长为l,厚度为t,弹性模型量为E,波松比=0.3 ,全板承受均布法向荷载,求薄板中地挠度和内力. 单元划分:为了说明解题方法,采用最简单地网络2 2,即把方板分成四个矩形单元.由于对称性,只需计算一个单元,例如,计算图中有阴影地单元,单元地节点编号为,.此时,单元地a, b是4lba计算节点荷载:由前面地均布荷载计算公式得:TllllllllqlR211212121922边界条件:边界 23 和 34 为固定边,因此节点2, 3, 4 地挠度、边线和法线转角均为零.边界 12 和 14 为对称轴,因此x1 =0 、y
26、1 =0. 于是,在4 个节点和12 个位移分量中 ,只有一个待求地未知量1w .结构地代数方程组:这是一个单元地计算题目,单元刚度矩阵在此处即为总刚度矩阵.引入支承条件后,在总刚度矩阵中只取第一行、列元素,在方程组右端项中只保留第一个元素.于是结构地代数方程为:16)681(15815821201120qlwlDwklD同此解出04100148.0Dqlw.其中323009158.0)1 (12EtEtD内力 : 利用式 (4-2-6)可求得方板中点力矩为:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 49 页由表看出,网格越密,
27、计算结果越接近于精确答案.还可看出,位移地精度一般比内力地精度高,这是因为在位移法中,位移是由基本方程直接求出地,而内力则是根据位移间接求出地.第三章 平面问题有限单元法习题答案3-2 图示等腰直角三角形单元,设=1/4,记杨氏弹性模量E,厚度为t,求形函数矩阵N 、应变矩阵 B、应力矩阵 S与单元刚度矩阵Ke.【解】:ijmjimijjimmijimjmiimjjmimjijmmjixxcyybyxyxaxxcyybyxyxaxxcyybyxyxa,aaM(0,0)i(a,0)j(0,a)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,
28、共 49 页aacaabaaaaaacbaaacaabaammmjjjiii0,0,0*0*0,000,00*0000,0,0*00*02mjimjiNNNNNNN000000),()(21mjiycxbaANiiii221001010121aaaAyxayxyxayxaNayxaayaxaaNayayxaNaxyaxaNmji0000001)(1)00(1)00(1222210003101310310001310311103)411(241210001411410411411)4121)(411()411 ()1(22100011011)21)(1()1(EEEED321BBBBaacaab
29、aaaaaacbaaacaabaammmjjjiii0,0,0*0*0,000,00*0000,0,0*00*02精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 49 页11011010100001000111110011011000110000110000100212aBaBaBaaaaBbccbABmjiiiiii10003101310ED1101101010000100011aB1101103130011310031011011010100001000110003101310aEaEBDS10003101310ED1101101
30、010000100011aB42311124111331300111011011011013100320211101101010000100011000310131101101010000100011022EtataEtABDBKTTe3-3 正方形薄板,受力与约束如图所示,划分为两个三角形单元,=1/4,板厚为t,求各节点位移与应力. 【解】:xyPaa123412精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 49 页42311124111331300111011011011013100320EttABDBKTe000000000
31、0000000003001310001101100011011001003130031114200111324201EtK4211310024131100111001001303100031013000111001000000000000000000202EtK42113100241311001140023113042011310240111120041300311142001113242021EtKKK载荷向量:0000000PR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 49 页100141400404004200000000
32、42113100241311001140023113042011310240111120041300311142001113242013344332211PvuEtPvuvuvuvuEt10014140041PEtPEtvu05010015330050000044332211EtPvuvuvuvu10003101310ED1101101010000100011aB01101110001000010111aB12BB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 49 页031201010003101325000000110111000
33、100001011000310131033221111atPatPEtPaEvuvuvuBD100210010003101320050000110111000100001011000310131022334422atPatPEtPaEvuvuvuBD3-4 三角形单元i,j,m 地 j,m 边作用有如图所示线形分布面载荷,求结点载荷向量.【解】:面力移置公式:tdspNRTe其中:mjimjiNNNNNNN000000),()(21mjiycxbaANiiii426, 132, 62*63*2352,426, 26*22*5165, 363,213*56*6mmmjjjiiicbacbacba
34、2134301402212165136122121A)46(131)342(131)321(131yxNyxNyxNmjij(6,3)i(2,2)m(5,6)1q2qyxo精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 49 页所以 : yxyxyxyxyxyxN460342033004603420321131载荷分布函数:0)6(3)(121yqqqp积分函数:)6, 5(213xxydyyqqqyxyxyxyxyxyxttdsyqqqyxyxyxyxyxyxRe3100)6(3)(4600463420034233003211310
35、)6(3)(46004634200342330032113112163121dyyqqqyyyytdyyqqqyyyyyyyytRe0)6(3)(133130013313263130026313000013*3100)6(3)(47316004731632834200328342000013*3101216312163精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 49 页dyyqqqqyyqqqqytdyyqqqqyyqqqqytRe631212121263121212120)(36(*30)(36(*60027100)3)(2(*
36、133130)3)(2(*263130013*310126323122126312631212632312212631263129292331)(321)36(3)(3)36(299331)(621)36(6)(6)36(qqyyqqyyqqdyyyqqdyyqqqqyyqqyyqqdyyyqqdyyqq所以 : 0210210031002182902990027100)3)(2(*133130)3)(2(*263130013*310121212126312121212qqqqtqqqqtdyyqqqqyyqqqqytRe精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
37、- - - - -第 24 页,共 49 页3-5 图示悬臂深梁,右端作用均布剪力,合力为P,取=1/3,厚度为t,如图示划分四个三角形单元,求整体刚度方程.【解】:10004202484100012102112)311(231210001311310311311)3121)(311()311()1(22100011011)21)(1 ()1(EEEED1000420248ED110110101000010001B1352461234精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 49 页53411235211442400211011
38、011011024200416211101101010000100011020410241101101010000100018EttEtABDBKTTe534112352114424002110110110110242004164321EtKKKK0000000000000000000000000000000000000000000000000000400042020000010011100000000000000000000000000000410053120000210035140000010011100000200024041K534112352114424002110110110110
39、242004164321EtKKKK精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 49 页000000000000000000000000000000000000000000000000000010110001000004240020000012530041000014350021000000000000000000000000000002420040000010110001162EtK00000000000000000000000000000000000000000000000000008000840400000200222000
40、0000000000000000000000000082001062400004200610280000020022200000400048081612EtKK800084040000020022200000000000000000000000000000820010624000042006102800000200222000004000480800000000000000000000000000000000000000000000000000001643EtKK精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 49 页80008404
41、00000200222000000000000000000000000000008200186248404420061228222002002220000040004808000000008200106240000420061028000002002220000040004808164321EtKKKKK算例 2: 正方形薄板平面应力问题地求解已知图示正方形薄板,沿其对角线承受压力作用,载荷沿厚度为均匀分布,P=20kN/m. 设泊松比 u=0,板厚 t=1m,求此薄板应力.课本第 42 页 3.7 节计算结果如下:变形:76.176.172.388.052.1252.32653321uuvu
42、vv应力:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 49 页)/(40.40 .2088.021mkNxyyx;)/(052.1276. 122mkNxyyx;)/(08.372.388.023mkNxyyx;)/(32.172.3024mkNxyyx1、如图1 所示等腰直角三角形单元,其厚度为t,弹性模量为E,泊松比0;单元地边长及结点编号见图中所示.求(1)形函数矩阵N(2)应变矩阵B和应力矩阵S(3)单元刚度矩阵eK1、解:设图 1 所示地各点坐标为点 1(a,0),点 2(a,a),点 3(0,0)于是,可得单元地面积为
43、12A2a,及(1)形函数矩阵N为(7 分) 12122121(0aa )a1(00a )a1(aa0)aNxyNxyNxy;123123NNNNIIINNN(2)应变矩阵B和应力矩阵S分别为(7 分) 12a010-aa-aaB,220010aaa0B,32-a0100a0-aB;123BBBB12a00-aa11-aa22ES,22000aa1a02ES,32-a000a10-a2ES;123123SD BBBSSS(3)单元刚度矩阵eK(6 分) 111213T2122233132333110211312011110014020200200020111001eEttAKKKKB DBKK
44、KKKK123aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页,共 49 页2、图2(a)所示为正方形薄板,其板厚度为t,四边受到均匀荷载地作用,荷载集度为21/N m,同时在y方向相应地两顶点处分别承受大小为2/Nm 且沿板厚度方向均匀分布地荷载作用.设薄板材料地弹性模量为E,泊松比0 .试求(1) 利用对称性,取图(b)所示 1/ 4 结构作为研究对象,并将其划分为4 个面积大小相等、形状相同地直角三角形单元.给出可供有限元分析地计算模型(即根据对称性条件,在图(b)中添加适当地约束和荷载,并进行单元编号和结点编号).(2) 设单元
45、结点地局部编号分别为i、 j 、m,为使每个单元刚度矩阵eK相同,试在图(b)中正确标出每个单元地合理局部编号;并求单元刚度矩阵eK.(3)计算等效结点荷载. (4)应用适当地位移约束之后,给出可供求解地整体平衡方程(不需要求解). 2、解:(1)对称性及计算模型正确(5 分) (2)正确标出每个单元地合理局部编号(3 分) (3)求单元刚度矩阵eK(4 分) (4)计算等效结点荷载(3 分) (5)应用适当地位移约束之后,给出可供求解地整体平衡方程(不需要求解). (5 分) 图 1 图 2 (a(b对称1011012020031214301201eEtK精选学习资料 - - - - - -
46、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页,共 49 页3如图 3.11 所示地平面三角形单元,厚度t=1cm,弹性模量E=2.0*105mpa ,泊松比=0.3 ,试求插值函数矩阵 N,应变矩阵B,应力矩阵S,单元刚度矩阵Ke.解:此三角形单元可得:2=( 10-2)*4=32 ,故有a1=1/32* ( 8u1-5u2-16u3)a2=1/32* ( 4u1-4u2)a3=1/32* ( -8u1+8u3)a4=1/32* (56v1-8v2-16v3 )a5=1/32* (-4v1+4v2 )a6=1/32* (-8v1+8v3 )而 b1=y2-y3=-4 b1
47、=x2-x3=-8 b1=y3-y1=4 b1=x3-x1=0 b1=y1-y2=0 b1=x1-x2=8 b1 0 b2 0 b3 0 -4 0 4 0 0 B=1/2 * 0 c1 0 c2 0 c3 =1/32* 0 -8 0 0 8 c1 b1 c2 b2 c3 b3 -8 4 0 8 0 1 0 1 0.3 0D=E/(1- 2)* 1 0 =E/0.91* 0.3 1 0 0 0 (1- )/2 0 0 0.35 1 0.3 0 -0.125 0 0.125 0 0 S=D*B=E/0.91* 0.3 1 0 * 0 -0.25 0 0 0.25 0 0 0.35 -0.25 0.
48、125 0 0.25 0 1.4 0 -1.4 -0.7 0 0.7 0 4 -0.6 -4 0 0 K =BT*D*B *t* =E/36.4* -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 0.7 -0.7 -4 1.3 -0.6 -1 0.35 0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.7 0 0.7 -0.35 0 0 jmmmmiiiijjj1N /m21N / m12456对称123356322000026121006120146101620212vvuEttvuu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页,共 49 页 1
49、0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.35 0.7 0 -0.7 -0.35 0 0.7 1.4 0 -1.4 -0.7 K =BT*D*B *t* =E/36.4* 0.6 0 0 4 -0.6 -4 1 -0.7 -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 -0.35 -1.4 -4 1.3 3.5 3.12 求下图中所示地三角形地单元插值函数矩阵及应变矩阵,u1=2.0mm,v1=1.2mm , u2=2.4mm,v2=1.2mm,u3=2.1mm, v3=1.4mm ,求单元内地应变和应力,求出主应力及方向.若在单元jm 边作用有线性分布面载荷(x 轴),求结点地地载荷分量.解:如图
50、2=64/3,解得以下参数:a1=19 a2=-2 a3=6; b1=-3 b2=4 b3=-1 ;c1=-1 c2=-3 c3=4 ;N1=64/3*(19-3x-y) N2=64/3*(-2-3x-3y) N3=64/3*(6-x+4y) 故 N= Ni 0 Nj 0 Nm 0 0 Ni 0 Nj 0 Nm 1 0 1 0 1 0 = 0 1 0 1 0 1 bi 0 bj 0 bm 0 B=1/2 * 0 ci 0 cj 0 cm ci bi cj bj cm bm -3 0 4 0 -1 0 =64/3* 0 -1 0 -3 0 4 -1 -3 -3 4 4 -1 1 0D=E/(1-