《2022年高中数学数形结合习题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学数形结合习题 .pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 1. 假设对任意xR，不等式xax恒成立，则实数a的取值范围是CA1aB1a C1aD1a2假设圆2244100 xyxy上至少有三个不同点到直线l:0axby的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是( ) 5,12 12 3 在 以 下 四 个 函 数 中 ， 满 足 性 质 ： “ 对 于 区 间(1,2)上 的 任 意1212,()xxxx，1221|()() | |f xf xxx恒成立”的只有A A1( )f xxB|fxxC( )2xf xD2( )f xx4. 假设直线kxy与曲线21yx恰有一个公共点，则k的取值范围是 ( ) 2k或(-1,1 4. kxy表示一组斜率为
2、1 的平行直线，21yx表示 y 轴的右半圆。如图可知， 简要评述 数形结合思想的灵活运用，此题可以进一步拓展，21yx，21xy等。5假设关于x 的方程245xxm有四个不相等的实根，则实数m 的取值范围为_。15m题型解析例 1方程 sin2x=sinx 在区间 0，2解的个数为yA1 B2 C3 D4 g o f x 分析：解方程fx=gx的问题归结为两个函数y=fx与 y=gx的交点横坐标，特别是求方程近似解时此方法非常有效。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页2 解:如图在同一坐标系内，作出y=sin2x，
3、x(0,2)； g=sinx，x (0,2 )的图有三个交点，故方程sin2x=sinx 在(0,2)内有三个解。一般情况下将方程化为一端为曲线，一端为动直线时，解题较为简单，考查逻辑思维能力与计算能力，还表达了化归与转化和分类讨论的思想。练习设 f(x)是定义在 R上以 2 为周期的函数 , 对于 K Z用kZ表示区间 (2k-1,2k+1),已知 x0Z时, 有 f(x)=2x。(1) 求 f(x) 在kZ上的解析式。(2) 对于自然数K,求集合KM =a| 使方程 f(x)=ax在kZ上有两个不相等的实根 。解(1) 如右图从图形可以看出f(x)=2(2 )xk。 y (2) 如以下图由
4、 f(x)=ax,xkZ, 得2(2 )xk=ax o x 即2x-(4k+a)x+42k=0, 考察函数f(x)= 2x-(4k+a)x+42k，x(2k-1,2k+1)的图象位置 , 依题意该函数图象在(2k-1,2k+1)内必与 x 轴有两个不同交点。则有 0 y f(2k-1) 0 f(2k+1)0 2k 2k-1(4k+a)/2 2k+1 o 2k-1 2k+1 x 从中解得 :0a 1/(2k+1),(kN) 故KM=a|0a 1/(2k+1),(kN) 。例 2 已知三点(12)(15)(2 43)(0)AmB mC mmm，问m 为何值时，dABBC最小，并求最小值分析： 根据
5、三个点横坐标的特点可知，它们在坐标系中是从左到右依次排列的，当且仅当它们共线时，dABBC最小解：依题意知，当三点共线时dABBC最小，此时ABBCkk， ，5231 1ABmmkmm，4354221BCmkmmm，342mmm，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页3 解得34m舍去或1m，1m，此时三个点分别为(13)(2 5)(3 7)ABC，22(73)(3 1)2 5dABBCAC练习 已知点(3 5)M，在 y 轴和直线yx上分别找一点P 和 N，使得MNP的周长最小分析：作点(3 5)M，关于y 轴和直线
6、yx的对称点12MM，则1MPM P，2MNM N，所以MNP的周长等于12M PPNM N，当且仅当12MMP，三点共线时取最小值，所以点PN，应为直线12M M和 y 轴与直线yx的交点解：作点(3 5)M，关于y 轴和直线yx的对称点12MM，则点12MM，的坐标分别为( 35) (5 3)，由两点式得533 553yx，整理得4170 xy，即为直线12M M的方程，易得它和 y 轴和直线yx的交点坐标分别为1717 170455，即使得MNP周长最小的点P 和 N 的坐标分别为1717 170455，评注：此题利用对称思想为线段找到了“替身”，从而将问题转化成了两点之间线段最短的问题
7、例 3.已知点()P ab，在直线10mxy上，且2221aba的最小值为2，求 m的值解：222221(1)abaab， 它 是 点()P ab，和 点(10)，之 间 的 距 离 ， 它 的 最 小 值 就 是 点(10)，到 直 线10mxy的距离，由点到直线的距离公式可得2121mm，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页4 平方得222122mmm，整理得2(1)0m，1m评注： 此题通过挖掘代数式的几何意义，将点点距转化成了点线距，这种以距离为背景的题型时有出现，请同学们注意训练和总结练习 .求点( 1 4
8、)P，到直线:(1)(2)50lmxm ym的距离d的最大值分析：对直线方程(1)(2)50mxm ym整理后，我们会发现它表示过定点(12)Q ，的一条直线，因为点线之间垂线段最短，所以dPQ，当且仅当PQl时取等号，即此时d取得最大值PQ解：(1)(2)50mxm ym可化为25(1)0 xym xy，它表示过直线250 xy和10 xy交点的直线解方程组25010 xyxy，得两直线交点为(12)Q ，即直线l恒过定点(1 2)Q ，当PQl时d取最大值PQ，22( 1 1)(42)2 2PQ，d的最大值为2 2例 4.已知，a2a-b，求证：【分析与解】读完题目与任何一个图形似乎很难联
9、系起来，我们在对已知条件的分析中，去寻觅解题的灵感. a2a-b，即为 ba-a2.要证 b，那么 a 与 k 如何取得联系呢？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页5 令.这样一来，一个二次函数的图形出现了，它对解题有帮助吗？二次函数g a 的图象的对称轴为上单调递增， 又 bg a ，【反思】在分析已知条件时找到了一个能够帮助我们解决问题的图形，而正是这个图形的启示，以后的思路畅通无阻了. 数形结合， 发生在解题过程中的任何时刻，我们绝不是刻意地去追求或精心地去构造直观的几何图形，而这个在解题时十分有用的直观图往往
10、总是在对问题透彻了解之后突然出现的，这就是解题中的灵感. 例 5.已知实数a、b，满足 a+b=1. 求证：a-32+b+42 2.【思考与分析】此题看似一不等式证明题，但是我们通过分析，不等式左端是距离的平方的形式， 由已知条件， 我们可以把问题转化为点在直线上的位置关系，进而由点到直线的距离公式求解 . 证明：不等式左端可视为点Pa，b到点 Q3， -4的距离的平方，而点Pa，b可看作直线l： x+y=1 上的任意一点，于是问题转化为点P 在直线 l 上什么位置时线段PQ 最短，当然是PQl 时点 Q 到 l 的距离最短，所以如以下图【反思】此题我们主要是利用点到直线的距离公式的几何意义解
11、题. 练习 .已知：a，b，c 为正实数。 求证 :2(a+b+c) 22ab+22bc +22ca 2(a+b+c) 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页6 分析 :由欲证不等式中的22ab联想到勾股定理, D a b c C 把22ab看作边长分别为a,b 的矩形的对角线, 因此 , 我们 c 可以构造如下图的图形。以a+b+c 为边构成正方形ABCD, b 则 AC=2(a+b+c),AE=22ab ,EF=22bc,FC=22ca, A B 而 AC AE+EF+FC AD+CD 所以有2(a+b+c) 2
12、2ab+22bc+22ca 2(a+b+c) 。注: 观察、联想是构造图行, 创新解题的关键。注： 有些题目假设按常规的代数解法需要讨论, 比较烦琐且易产生遗漏现象, 我们这样构造利用图象分析, 得出答案非常直观简洁。例 6 不等式24axxx的解集是(0,4, 则a的取值范围是( ) A.0a B.4a C.0a D.0a分析 : 分别作出yax与24yxx的图象 , 从图象上很容易得到结论. 解 : 令yax,24yxx(04)x, yax是过原点且斜率为a的直线 , 24yxx(04)x是圆心在(2,0)半径为 2 的圆在x轴及x轴上方的部分 ,不等式24xxax的几何意义是半圆在(0,
13、 4上恒处于直线的上方(如图 ), 可知0a是, 上述结论成立,a的取值范围是0a.选 C. 综合自测y 2 x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页7 1设bababa则,62,22R的最小值是 3 2.设奇函数f(x) 的定义域为 (-， 0)(0，+)且在 (0，+)上单调递增，f(1)0，则不等式1 ()02f x x的解集是 _。2.解析：由已知画出y=f(x) 的图象可知：当 x(-1，0)(1，+)时 f(x) 0 当 x -， -1 (0，1)时f(x) 0 又21111()()1241616x xx
14、1 ()02f x x成立，则必有0 x(x-21)1,解之得：4171x0 或21x41713.抛物线22yx上的点 P 到直线4yx有最短的距离 ,则 P 的坐标是解析 :1. 设直线yxm与22yx相切 ,联立整理得222(1)0 xmxm, 由224(1)40mm,得12m,这时得切点 (12,1), 4设F为抛物线24yx的焦点，ABC， ，为该抛物线上三点，假设FAFBFC0，则FAFBFC6 5:已知向量(2,0)OB,向量(2,2)OC,向量(2 cos ,2 sin)CA,则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是答案 :1. 由(2 cos,2 sin)CA,知点 A 在以C(
15、2,2)为圆心 ,2为半径的圆周上(如图 ),过原点 O 作圆 C 的切线OA,A为切点 ,由2 2OC,2AC知6AOC,有4612AOB, 过点 O 作另一切线OA,A为切点 ,则54612A OB, 5,12 12y -1 O1 x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页8 6. 直 线2yk与 曲 线2222918k xykx(,)kR 且k0的 公 共 点 的 个 数 为4 7关于 x 的方程222(1)|1|0 xxk，给出以下四个命题：存在实数k，使得方程恰有2 个不同的实根存在实数k，使得方程恰有4 个
16、不同的实根存在实数k，使得方程恰有5 个不同的实根存在实数k，使得方程恰有8 个不同的实根其中假命题的个数是_ 设21ux,化原式为：2|uuk，画出函数2| | |yuu的图象，看使u -1 的解的个数，可知假命题的个数为0。8对Rba,记则babbaaba,max则函数max1,2fxxxxR的最小值是_解析：由21212122xxxxx，112122xxfxxx如右图min1322fxf9. 如果实数x、y 满足322yx，那么xy的最大值是。如图，联结圆心C与切点 M ，则由 OM CM ，又 RtOMC 中，OC=2 ，CM=3所以， OM=1 ，得3OMMCxyO M C y x
17、y=|x+1| | y=|x-2| y -1 2 o x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页9 10求函数x2x1y2的最大值。解：由定义知1-2x0 且 2+x0 -1x1，故可设x=cos， 0， ，则有)2(cos0sin2cossiny可看作是动点Mcos， sin ( 0， )与定点 A-2，0连线的斜率，而动点 M 的轨迹方程sinycosx， 0， ，即221xyy0，1是半圆。设切线为 AT，T 为切点， |OT|=1， |OA|=2 31kAT， 0kAM31即函数的值域为0，33，故最大值为33
18、。11求函数的最值。utt246解：设，则xtytuxy246且，xyxy22216 0402 2()uyxu所给函数化为以为参数的直线方程，它与椭圆22216xy在第一象限的部分包括端点有公共点，如图umin2 2相切于第一象限时，u 取最大值yxuxyxuxu2222216342160解，得，取uu2 62 6umax2612. 已知： acos+bsin =c, acos +bsin=c(ab0, k , kZ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页10 求证：22222cosbac分析： 解决此题的关键在于由
19、条件式的结构联想到直线方程进而由 A、B 两点坐标特点知其在单位圆上 还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题证明 :在平面直角坐标系中，点Acos ,sin与点 Bcos, sin是直线l:ax+by=c 与单位圆x2+y2=1 的两个交点如图从而： AB2=(cos cos) 2+(sin sin) 2=2 2cos( ) 又单位圆的圆心到直线l 的距离22|bacd由平面几何知识知OA2 (21AB ) 2=d2即bacd2224)cos(22122222cosbac13.假设不等式2) 1(122mxmx对满足的所有 m 都成立。求x 的取值范围。解：
20、原不等式化为2x-1m- 2x-1 0 记 fm=2x-1m -2x-1-2m 2 ，其图像是线段。结合图像和题意知，只须：f-2=-22x-1-2x-1 0 f2=22x-1-2x-1 0 即22230 xx22210 xx解之， x 的取值范围为231271x。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页11 14.已知二次函数1( )yfx的图象以原点为顶点且过点1， 1 ，反比例函数2( )yfx的图象与直线y=x 的两个交点间的距离为8，12( )( )( )f xfxfx1求函数fx的表达式；2证明：当a3 时
21、，关于x 的方程 fx =fa有三个实数解用数形结合思想求fx fa=0 解的个数解1由已知，设21( )fxbx，由1( )fx=1，得 b=121( )fxx设2( )fx=xkk0 ，则其图象与直线y=x 的交点分别为A k，k ，B k， k ，由 |AB|=8 ，得 k=8，2f( x)=x8，故 fx=28xx2由 fx=fa ，得2288xaxa即2288xaxa. 在同一坐标系内作出28( )fxx和2238( )fxxaa的大致图象如下图， 其中2( )fx的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线3( )fx的图象是以 0，28aa为顶点， 开口向下的抛物线2( )fx与3( )fx的图象在第三象限有一个交点，即 fx=f a有一个负数解又2(2)f= 4，3(2)f=284aa，当 a3 时，328(2)(2)80ffaa. 当 a 3 时，在3( )fx第一象限的图象上存在一点2，3(2)f在2( )fx图象的上方2( )fx与3( )fx的图象在第一象限有两个交点，即fx=fa有两个正数解故方程 f x=fa有三个实数解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页