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1、第页 共 17 页- 1 - 思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题
2、与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5构建立体几何模型研究代数问题；6构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7构建方程模型，求根的个数；8研究图形的形状、位置关系、性质等。三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1准确画出函数图象，注意
3、函数的定义域；2用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
4、页，共 17 页第页 共 17 页- 2 - 【核心要点突破】要点考向1：利用数学概念或数学式的几何意义解题例 1：实系数一元二次方程x2+ax+2b=0 有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1， 2）内，求：（1）点（ a,b ）对应的区域的面积；（2）的取值范围；（3）(a-1)2+(b-2)2的值域思路精析： 列出 a,b 满足的条件画出点(a,b) 对应的区域求面积根据的几何意义求范围根据 (a-1)2+(b-2)2的几何意义求值域解析：方程 x2+ax+2b=0 的两根在区间 （0， 1） 和 （1， 2） 上的几何意义分别是： 函数 y=f(x)= x2+ax+2b
5、与 x 轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（ 1，2）内，由此可得不等式组由，解得 A（-3 ，1） 由，解得 C（ -1 ，0） 在如图所示的aOb坐标平面内，满足条件的点(a,b) 对应的平面区域为ABC （不包括边界） （1） ABC的面积为（h 为 A到 Oa轴的距离）（2）几何意义是点(a,b) 和点 D(1,2) 边线的斜率由图可知（3） (a-1)2+(b-2)2表示的区域内的点(a,b) 与定点 (1,2) 之间距离的平方，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页第页 共 17 页- 3 - 注：
6、如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：（1）连线的斜率；（2）之间的距离；（3）为直角三角形的三边；（4）图象的对称轴为x=只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法要点考向2：用数形结合求方程根的个数，解决与不等式有关的问题例 2： （1）已知：函数f(x)满足下面关系：f(x+1)=f(x-1);当 x-1,1时，f(x)=x2, 则方程 f(x)=lgx解的个数是（）(A)5 (B)7 (C)9 (D)10 (2) 设有函数f(x)=a+ 和 g(x)= ,
7、 已知 x-4,0时，恒有 f(x)g(x) ，求实数 a 的范围思路精析：（1）画出 f(x) 的图象画出y=lgx 的图象数出交点个数（ 2） f(x) g(x) 变形为画出的图象画出的图象寻找成立的位置解析： （1）选 C由题间可知，f(x) 是以 2 为周期，值域为0 ，1 的函数又f(x) =lgx，则 x（ 0，10 ，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可知共9 个交点（2） f(x) g(x) ，即，变形得，令，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页第页 共 17 页- 4 - 变形得，即表示以
8、（ -2 ，0）为圆心， 2 为半径的圆的上半圆；表示斜率为，纵截距为1-a 的平行直线系设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为，则有tan=, 要使 f(x)g(x) 在 x-4,0时恒成立，则成立所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有 1-a 6, a-5 注： （1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数（2）解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等
9、式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答（3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标要点考向2：数形结合在解析几何中的应用例 3：已知椭圆C的中心在原点，一个焦点(0,2)F，且长轴长与短轴长的比是2 :1（）求椭圆C的方程；（）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（）求PAB面积的最大值解析： （
10、）设椭圆C的方程为22221(0)yxabab由题意222,:2 :1,2.abca bc2 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页第页 共 17 页- 5 - 解得24a，22b所以椭圆C的方程为22142yx4分（）由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，则PB的直线方程为2(1)yk x. 由222(1),1.42yk xyx得222(2)2 (2)(2)40kxkk xk. 6 分设(,)AAA xy，(,)BBB xy，则2222212BBkkxxk，同理可得222 222Akkxk， 则
11、24 22ABkxxk，28(1)(1)2ABABkyyk xk xk. 所以直线AB的斜率2ABABAByykxx为定值 . 8 分（）设AB的直线方程为2yxm. 由222,1.42yxmyx得2242 240 xmxm. 由22(22)16(4)0mm，得28m. 10 分此时22ABmxx，244ABmxx. P到AB的距离为3md，22()()ABABABxxyy23122m则2113122223PABmSAB dm222211118(8)222222mmmm. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页第页 共
12、 17 页- 6 - 因为24m使判别式大于零，所以当且仅当2m时取等号， 所以PAB面积的最大值为213 分注：1数形结合思想中一个非常重要的方面是以数辅形，通过方程等代数的方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效2此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信息或结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程（组）或不等式（组），从而将问题解决要点考向2：数形结合在立体几何中的应用例 4：如图 1, 在直角梯形ABCD中 ,90ADC,/ /CDAB,4,2ABADCD, M为线段AB的中点 . 将ADC沿AC折起 , 使平面ADC平面ABC,
13、 得到几何体DABC, 如图 2 所示 . ( ) 求证 :BC平面ACD；( ) 求二面角ACDM的余弦值 . 解析 : （）在图1 中, 可得22ACBC, 从而222ACBCAB, 故ACBC. 取AC中点O连结DO, 则DOAC, 又面ADC面ABC, 面ADC I面ABCAC,DO面ACD, 从而OD平面ABC. 4 分ODBC， 又ACBC,ACODOI. BC平面ACD. 6 分（）建立空间直角坐标系Oxyz如图所示 , 则(0,2,0)M,(2,0,0)C,(0,0,2)D(2,2,0)CMuuu u r,(2,0,2)CDuu u r. 8 分设1( , , )nx y zu
14、r为面CDM的法向量 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页第页 共 17 页- 7 - 则1100n CMn CDu r uu uu ru r uu u r即220220 xyxz, 解得yxzx. 令1x, 可得1( 1,1,1)nu r. 又2(0,1,0)nuu r为面ACD的一个法向量，12121213cos,3|3n nn nnnu r uu rur u u ru ruu r. 二面角ACDM的余弦值为33. 注： 1应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中
15、的平行、垂直及点的空间位置其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算2 立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口【跟踪模拟训练】一、选择题（每小题6 分，共 36 分）1. 方程 lgx=sinx的根的个数 ( ) (A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个2已知全集U=R ，集合 A=x|x2-3x-103,则右图中阴影部分表示的集合为( )A(3,5) B(-2,+) C(-2,5) D(5,+ ) 3在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A=(
16、x,y)|x+y 1, 且x 0,y 0 ，则平面区域B=(x+y,x-y)|(x,y)A的面积为（） (A)2 (B)1 (C)12(D) 144函数32( )f xxbxcxd图象如图， 则函数2233cyxbx的单调递增区间为（）A2,(B), 3 C3, 2D),215不等式组2142xaxa有解，则实数a的取值范围是（） 2 3 y x 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页第页 共 17 页- 8 - A( 1,3)B(, 1)(3,)UC( 3,1)D(, 3)(1,)U6 已知 f(x)是定义在（-
17、3 ， 3） 上 的奇函数，当 0 x3 时， f(x)的图象如图所示， 那么不等式f(x) cosx0的解集是（）二、填空题（每小题6 分，共 18 分）7复数 (x-2)+yi，其中 x、y 均为实数，当此虚数的模为1 时，的取值范围是8. 已知关于x 的方程 x2-4|x|+5=m有四个不相等的实根，则实数m的范围是 _. 9. 设 A=(x,y)|x2+(y-1)2=1,B=(x,y)|x+y+m0 ， 则使 AB成立的实数m的取值范围是_. 三、解答题（10、11 题每题 15 分， 12 题 16 分，共 46 分）10如图，已知四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，且
18、2PAAD，点M、N分别 在侧棱PD、PC上，且PMMD（）求证：AM平面PCD；（）若12PNNCuu u ruuu r，求平面AMN与平面PAB的所成锐二面角的大小11如图，1l，2l是通过某市开发区中心0 的两条南北和东西走向的道路，连接M 、N 两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L1 对称 M 到 L1、L2 的距离分别是2 km、4km，N 到 L1、L2 的距离分别是3 km、9 kin 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页第页 共 17 页- 9 - （ 1）建立适当的坐标系，求抛物线弧M
19、N 的方程；（）该市拟在点0 的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点0 的距离大于5km 而不超过8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于6km求此厂离点0的最近距离 （注：工厂视为一个点）12已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m. (1) 求 f(x) 在区间 t,t+1上的最大值h(t); (2) 是否存在实数m,使得 y=f(x)的图象与y=g(x) 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 参考答案1 【解析】 选 C.在同一坐标系中作出y=lgx 与 y=sinx的图象，如图. 其交点数为3. 2答案： B 3
20、作出不等式组表示的平面区域B，如图所示，根据图形可知该区域为等腰直角三角形，可求出面积，所以平面区域B的面积为14答案： D 5答案： A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页第页 共 17 页- 10 - 6 【解析】 选 B. 根据对称性画出f(x)在（-3,0 ）上的图象如图， 结合 y=cosx在(-3,0), (0,3)上函数值的正负, 易知不等式f(x)cosx0的解集是7【解析】 由题意知， 设， 则 k 为过圆 (x-2)2+y2=1上的点及原点的直线斜率，作图如下：又由对称性，可得答案：答案：8 【
21、解析】 令 f(x)=x2-4|x|+5=(|x|-2)2+1，其图象如图 . 画直线 y=m,由图象知当1m5时，方程有四个不相等的实根. 答案：（1，5）9 【解析】 由于集合A， B都是点的集合,故可结合图形进行分析、求解 . 集合 A是一个圆x2+(y-1)2=1上的点的集合, 集合 B是一个不等式x+y+m0 表示的平面区域内的点的集合, 要使 AB， 则应使圆被平面区域所包含（如图） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页第页 共 17 页- 11 - 即直线 x+y+m=0应与圆相切或相离( 在圆的下
22、方 ) ，而当直线与圆相切时有故 m的取值范围是m -1. 答案： m -1 10解： （）建立如图所示的空间直角坐标系,xyzA又PA=AD=2 ，则有 P （0，0，2） ，D（0，2，0）(0,1,1),(2,2,0).MC(2,2, 2).PCuuu r(0,1,1)AMuuuu r 3 分（）0,0,AM CDAM PCAMCD AMPCuuuu r uuu ruuuu r uuu rQgg又,.PCCDCAMPCDI平面 7 分（）设1( , , ),2N x y zPNNCuuu ruuurQ则有120(2),.23xxx同理可得24,.33yz即得2 2 4(, ).3 3 3
23、N9 分由4480,.333PC ANPCANuuu r uuu r(2,2, 2).AMNPCu uu r平面的法向量为而平面 PAB的法向量可为(0,2,0),ADuu u r43cos,.3124PC ADPC ADPCADuu u r uu u ruu u r uu u ru uu ruuu r故所求平面AMN 与 PAB所成锐二面角的大小为.33arccos 12 分11解析：（1）分别以1l、2l为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M（2，4） ，N（3，9）设 MN 所在抛物线的方程为caxy2，则有caca9944，解得01ca所求方程为2xy（2x3）5 分（说明：精
24、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页第页 共 17 页- 12 - 若建系后直接射抛物线方程为)0(22ppyx，代入一个点坐标求对方程，本问扣2 分）（ 2）设抛物线弧上任意一点P（x，2x） （2x3）厂址为点A（0，t） （5t8)，由题意得222)(|txxPA6)6()21(224txtx0 7 分令2xu， 2x3， 4u9 对于任意的9 ,4u，不等式)6()21 (22tutu0 恒成立（ *）8 分设)6()21()(22tutuuf，t5 822129t215. 要使（ * ）恒成立，需0，即)6
25、(4) 12(22tt0 10 分解得t425，t的最小值为425所以，该厂距离点O 的最近距离为6.25km 12 分12 【解析】（ 1）f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16. 当 t+14 即 t4 时， f(x) 在 t,t+1上单调递减（如图），h(t)=f(t)=-t2+8t. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页第页 共 17 页- 13 - (2) 函数 y=f(x)的图象与 y=g(x) 的图象有且只有三个不同的交点，即函数 (x)=g(x)-f(x)的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同
26、的交点. (x)=x2-8x+6lnx+m, 当 x(0,1) 时 (x)0,(x) 是增函数 ; 当 x(1,3) 时, (x)0, (x) 是增函数 ; 当 x=1 或 x=3 时，（ x）=0. (x)极大值=（ 1）=m-7, (x)极小值=（ 3） =m+6ln3-15. 当 x 充分接近0 时，（ x）0, 要使 (x) 的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，即 7mc (B)bc 或 bc 中至少有一个正确 (C)bc (D)不能确定【解析】 选 C.f(x)=|x2+2x| 的图象如图 . 要使关于x 的方程 f2(x)+bf(x)+c=0有 7 个不同的实数根，则关于 f(x
27、)的一元二次方程f2(x)+bf(x)+c=0有两个不同的根. 且一个根在（ 0,1 ）内，另一个根为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页第页 共 17 页- 15 - 1. bc. 5. 若直线 y=kx-1 与曲线 y=有公共点，则k 的取值范围是 _. 【解析】 曲线 y=的定义域为 1,3 ，且其图象为圆(x-2)2+y2=1 的下半圆，如图所示，则直线 y=kx-1 要与曲线有公共点，则直线只能处于l1,l2之间，且可与l1、l2重合，则k 的取值范围是 0，1. 答案：0，16. 已知有向线段PQ的起点
28、 P与终点 Q的坐标分别为P(-1,1)，Q （2,2 ）. 若直线l:x+my+m=0与有向线段PQ延长线相交，求实数m的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页第页 共 17 页- 16 - 8. 集合 A=x|-1x1,B=x|xa, (1) 若 A B=, 求 a 的取值范围 ; (2) 若 A B=x|x1,求 a 的取值范围 . 【解析】 (1) 如图所示： A=x|-1x1B=x|xa,且 AB=，数轴上点x=a 在 x=-1 左侧 , a-1. (2) 如图所示： A=x|-1x1, B=
29、x|xa 且 AB=x|x1,数轴上点x=a 在 x=-1 和 x=1 之间， -1a1. 9. 如图 ,l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段. 点 A、 B在l1上， C在l2上， AM=MB=MN. (1) 证明 AC NB;(2) 若 ACB=60 ,求 NB与平面 ABC所成角的余弦值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页第页 共 17 页- 17 - 【解析】 如图，建立空间直角坐标系M-xyz. 令 MN=1,则有 A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0). (1) MN 是l1、l2的公垂线，l1l2, l2平面 ABN ，l2平行于 z 轴. 故可设 C(0,1,m).于是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页