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1、立身以立学为先，立学以读书为本对数函数例题解析【例1】 (1)y =log(2)y =11log(a0a1)(3)f(x)01y = flog (3x)12a13求函数的定义域求函数 ，且 的定义域已知函数的定义域是，求函数的定义3221xxxa()域解(1)由或 log()()1232210322102103221132 210121210122312xxxxxxxxxxxxxxx121122312231 或 xxxxx 所求定义域为 x|23x1解(2)1loga(xa)0， loga(xa)1当 a1 时， 0 xaa，函数的定义域为(a， 0)当 0a1 时， xaa，函数的定义域为(
2、0， )解 (3)f(x)01y = flog (3x)13的定义域为，函数有意义，必须满足 ，即， ， 故函数的定义域为，0log (3x)1loglog (3x)log13133x12xy = flog (3x)2131313131318383【例2】y =10 x已知函数，试求它的反函数，以及反函数的定义110 x域和值域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本解y =10y1y =10(1y)10 = y10 =y1y00y1xxxx已知函数的定义域为， ，由得， ，即为函数的值域R1
3、10110 xx由得，即反函数10=y1yx = lgy1yf(x) = lgx1xx1反函数的定义域为(0， 1)，值域为 yR【例 3】作出下列函数的图像，并指出其单调区间(1)y=lg( x)，(2)y=log2|x1| (3)y =|log (x1)|(4)ylog (1x)122，解(1)y=lg( x)的图像与y=lgx 的图像关于y 轴对称，如图283 所示，单调减区间是(， 0)解(2)先作出函数y=log2|x|的图像，再把它的图像向左平移1 个单位就得ylog2|x1|的图像如图284 所示单调递减区间是(， 1)单调递增区间是(1， )解 (3)y = log x1y =
4、 log(x1)1212把的图像向右平移个单位得到的图像，保留其在x 轴及 x 轴上方部分不变，把x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到轴上方，就得到的图像如图 xy =|log (x1)|28512所示单调减区间是 (1，2单调增区间是 2， )解(4)函数 y=log2(x)的图像与函数y=log2x 的图像关于y 轴对称，故可先作 y=log2(x)的图像， 再把 y log2(x)的图像向右平移1 个单位得到y=log2(1x)的图像如图286 所示单调递减区间是(， 1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页立
5、身以立学为先，立学以读书为本【例 4】图 28 7 分别是四个对数函数，y=logaxy=logbxy=logcxy=logdx 的图像，那么a、b、c、d 的大小关系是 Adc ba Ba bcd Cba dc Dbcad 解选 C，根据同类函数图像的比较，任取一个x1 的值，易得b a1dc故选 C【例 5】已知 loga3logb3，试确定 a 和 b 的大小关系解法一令 y1=logax，y2=logbx，logaxlogb3，即取 x3 时，y1y2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1)当 loga3logb30 时，由图像288，取 x=3，可得 ba1(2)当 0loga3
6、logb3 时，由图像289，得 0ab1(3)当 loga30logb3 时，由图像2810，得 a1b 0解法二由换底公式，化成同底的对数当 时，得 ， ，log 3log 300log blog a0ab331133loglogab函数 y=log3x 为增函数，ba1当 时，得 ，log 3log 3000log blog aba331133loglogba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本函数 y=log3x 为增函数，0ab当 时，得，log 30log 30log a0lo
7、g bab331133loglogab即 a1b0【例6】aba1logloglog alog b2abba若 ，则、的大小abba顺序是： _解aba1011logab0logba00log a1log b1aba1a1loglog a1logloglog alog b2abba2bbabba ， ， ， ， ， 由 得 ，故得：abbababaabba说明本题解决的思路，是把已知的对数值的正负，或大于1，小于 1 分组，即借助 0、1 作桥梁这个技巧，使问题得以解决【例 7】设 0 x1， a1，且 a1，试比较 |loga(1 a)|与|loga(1x)|的大小解法一求差比大小|loga
8、(1 x)|loga(1x)| =|lg(1x)lga| |lg()lg|lg |(|lg()| |lg()|1111xaaxx=1|lga|(lg(1x)lg(1x) (01x111x)=lg(1x )02 1|lg | a|loga(1x)|loga(1x)| 解法二求商比较大小|log ()|log ()|log ()log ()|aaaaxxxx1111=|log(1+x)(1x)|=log1+x(1x) (1x1，而 01x 1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本原式= lo
9、g= loglog(1x) = 1(1+x)(1+x)(1+x)11112xxx|loga(1x)|loga(1x)| 【例8】f(x) = log (x)(a0a1)a已知函数 ，且 ，判断其12x奇偶性解法一已知函数的定义域为R，则 xRf(x) = log ( 1+ xx)= loga2a()()111222xxxxxx= log= log=logaaa1111122222xxxxxxxxf x()( )f(x) 是奇函数解法二已知函数的定义域为R由f(x)f(x) = log ( 1+ xx)log( 1+ xx)= log1+ x1+ xa22a22()()xx=loga1=0 f(
10、x)= f(x) ，即 f(x) 为奇函数【例9】 (1)f(x) = log(01)2已知函数，那么它在，上是增函数xx1还是减函数？并证明(2)讨论函数 y=loga(ax1)的单调性其中a0，且 a1(1)证明方法一f(x)在 (0， 1)上是增函数设任取两个值x1，x2(0，1)，且 x1x2f(x )f(x ) = loglog= log= logxlogxx= 01222222222xxxxxxxxxxxxxx xx xx xx x1122112221221112121212111111log()()(0 x1x21， x1x1x2x2x1x2)精选学习资料 - - - - - -
11、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本f(x1)f(x2) 故 f(x) 在 (0，1)上是增函数方法二u =x1x令111x在，上是增函数，又 ，在，u = 1(01)u0y = log u(0211x 上是增函数，在，上是增函数)f(x)log(01)2xx1(2)解由对数函数性质，知ax1 0，即 ax1，于是，当0a1 时，函数的定义域为(， 0)，当 a 1 时，定义域为 (0， )当 0a1 时， uax1 在(， 0)上是减函数，而y=logau 也是减函数，y=loga(ax 1)在(， 0)上是增函数当 a1
12、 时， uax 1 在 (0， )上是增函数，而y=logau 也是增函数，yloga(ax1)在(0， )上是增函数综上所述，函数y=loga(ax1)在其定义域上是增函数【例 10】(1)设 0a1，实数 x、y 满足 logax 3logxalogxy=3，如果有最大值，求这时与 的值yax24(2)f(x)=logx3logx212212讨论函数的单调性及值域解(1)log x= 3log y = log xaaa2由已知，得，3logloglogaaaxyx3log x3 = (log x)aa23234 ，关于 为减函数即有最大值时，0a1log yyylog yaa24有最小值
13、log24a当时，log x =3log=34aa224精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本，得，ax = aa =14x =18343224解R (2)t = log xx0tt = log x(0)1212设，则 ， ，且是， 上的减函数f(t) =t3t2()2 是 ，上的增函数，是， 上的3232减函数时，t =x = 2 232函数 在，上是增函数，在，f(x) =log x3log x2(02 21221222 )上是减函数又，值域是，f(x) =(t)(3214142精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页