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1、知识点大全2014 高考数学知识点讲析: 圆锥曲线与方程【专题要点】1考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现. 2直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题: 常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度. 3在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度 . 4对称问题、 轨迹问题、 多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的几个
2、热点问题，但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势. 【考纲要求】（ 1）圆锥曲线 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. 了解圆锥曲线的简单应用. 理解数形结合的思想. （2）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 【知识纵横】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页知识点大全【教法指引】高考试题中，解析几何试题的分值一般占20左右，而圆
3、锥曲线的内容在试卷中所占比例又一直稳定在14左右，选择、填空、解答三种题型均有选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用；以圆锥曲线为载体的解答题设计中，重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论，它们是热中之热解答题的题型设计主要有三类：（1）圆锥曲线的有关元素计算关系证明或范围的确定；（2）涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题；（3）求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降随着高考的逐步完善，结合上述考题抛物线直线与圆锥曲线曲线与方程定义定义定义位置关系曲线的方程标准方程标准方程标准方程几何
4、性质几何性质几何性质应用应用应用相交相切相离圆锥曲线的弦求曲线 （轨迹） 的方程画方程的曲线求两曲线的公共点圆锥曲线与方程椭圆双曲线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页知识点大全特点分析，预测今后高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加强对于分析和解决问题能力的考查因此，教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用高考第二阶段的复习，应在继续作好知识结构调整的同时，抓好数学基本思想、数学基本方法的提炼，进行专题复习；做好“五个转化”，即从单一到综合、从分割到整体、从
5、记忆到应用、从慢速摸仿到快速灵活、从纵向知识到横向方法. 这一复习过程，要充分体现分类指导、分类要求的原则，内容的选取一定要有明确的目的性和针对性，要充分发挥教师的创造性，更要充分考虑学生的实际，要密切注意学生的信息反馈，防止过分拔高， 加重负担 . 因此，在圆锥曲线这一章的复习中，设计了分类复习、分层复习、层层递进的复习步骤. 【典例精析】1. 圆锥曲线概念、性质类问题例 1. 巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为【解析】23e，122a，6a，3b，则所求椭圆方程为193622yx. 例 2. （2009 江苏
6、13 ）如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,A A B B为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，F为其右焦点，直线12A B与直线1B F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.【解析】考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程直线12AB的方程为：1xyab；直 线1B F的 方 程 为 ：1xycb。 二 者 联 立 解 得 ：2()(,)acb acTacac，则()(,)2()acb acMacac在椭圆22221(0)xyabab上，2222222()1,1030,1030()4()caccacaeeacac，
7、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页知识点大全解得：2 75e例 3.（2009 辽宁， 16） 。以知 F是双曲线221412xy的左焦点，(1,4),AP是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为【答案】 9 【解析】注意到P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F (4,0), 于是由双曲线性质|PF| |PF | 2a4，而 |PA| |PF | |AF | 5，两式相加得|PF| |PA| 9,当且仅当 A、P、F 三点共线时等号成立. 点评 : 在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，
8、弄清是整条双曲线，还是双曲线的一支。例4. （ 2009福 建13 ） . 过 抛 物 线22(0)ypx p的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B 两点，若线段AB的长为 8，则p_【解析 】由题意可知过焦点的直线方程为2pyx，联立有22223042ypxpxpxpyx，根据pxxAB21，得284pp2. 与圆锥曲线有关的轨迹类问题解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一. 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系
9、. 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点. 解答轨迹问题时， 若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程例5 （ 1）一动圆与圆22650 xyx外切，同时与圆226910 xyx内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。（2）双曲线2219xy有动点P，12,F F是曲线的两个焦点，求12PF F的重心M的轨迹方程。xy1O2OP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页知识点大
10、全解析： （1） （法一）设动圆圆心为( , )M x y，半径为R，设已知圆的圆心分别为1O、2O，将圆方程分别配方得：22(3)4xy，22(3)100 xy，当M与1O相切时，有1|2O MR当M与2O相切时，有2| 10O MR将两式的两边分别相加，得21| 12O MO M，即2222(3)(3)12xyxy移项再两边分别平方得：222 (3)12xyx两边再平方得：22341080 xy，整理得2213627xy，所以，动圆圆心的轨迹方程是2213627xy，轨迹是椭圆。（法二）由解法一可得方程2222(3)(3)12xyxy，由以上方程知，动圆圆心( ,)M x y到点1( 3,
11、0)O和2(3,0)O的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为1( 3,0)O、2(3,0)O，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，26c，212a，3c，6a，236927b，圆心轨迹方程为2213627xy。（2）如图， 设,P M点坐标各为11(,),( , )P x yM x y，在已知双曲线方程中3,1ab，9 110c已知双曲线两焦点为12(10,0),( 10,0)FF，12PF F存在，10y由三角形重心坐标公式有11(10)103003xxyy，即1133xxyy。10y，0y。已知点P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有22(3 )(3 )
12、1(0)9xyy即所求重心M的轨迹方程为：2291(0)xyy点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。例 6( 2009广 东 卷 理 ） 已知曲线2:C yx与直线:20lxy交于两点(,)AAA xy和(,)BBB xy，且ABxx记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页知识点大全（含边界）为D设点( , )P s t是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；（2）若曲线2
13、2251:24025Gxaxyya与D有公共点，试求a的最小值解： （ 1）联立2xy与2xy得2, 1BAxx，则AB中点)25,21(Q，设线段PQ的中点M坐标为),(yx， 则225,221tysx， 即252,212ytxs， 又点P在曲线C上，2)212(252xy化简可得8112xxy，又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，则22121x，即4541x，中点M的轨迹方程为8112xxy（4541x） . （2）曲线22251:24025Gxaxyya，即圆E：2549)2()(22yax，其圆心坐标为)2,(aE，半径57r由图可知，当20a时， 曲线22251:24025G
14、xaxyya与点D有公共点；当0a时，要使曲线22251:24025Gxaxyya与点D有公共点， 只需圆心E到直线:20lxy的距离572|2|22|aad，得0527a，则a的最小值为527. 3. 直线和圆锥曲线关系类问题直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重，在高考中多以高档题、压轴题出现.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题. 解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，xyoxAxBD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页知
15、识点大全根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. 例 7.已知直线20yk xk与抛物线2:8C yx相交于AB、两点，F为C的焦点，若| 2 |FAFB，则kA. 13B.23C. 23D. 223【解析一】 设抛物线2:8C yx的准线为:2lx直线20yk xk恒过定点P2,0.如图过AB、分别作AMl于M,BNl于N, 由|2 |FAFB,则|2 |AMBN,点 B为 AP的中点 .连结OB,则1|2OBAF, | |OBBF点B的 横
16、 坐 标 为1, 故 点B的 坐 标 为2 202 2(1,2 2)1( 2)3k, 故选 D 【解析二 】设),(),(2211yxByxA，xyxky8)2(2，04)84(2222kxkxk，得421xx。根据焦半径公式，21,2xFBxFA2，|2|FAFB，得2221xx。求得)22, 1 (B，将其代入20yk xk中得322k，故选 D。例8 以知椭圆22221(0)xyabab的两个焦点分别为12(,0)( ,0)(0)FcF cc和，过点2(,0)aEc的直线与椭圆相交与,A B两点，且1212/ /,2F AF B F AF B（1）求椭圆的离心率；（2）求直线 AB的斜率
17、；（3）设点 C与点 A关于坐标原点对称， 直线2F B上有一点(, )(0)H m nm在1AFC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页知识点大全的外接圆上，求nm的值本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力. （I）解：由1FA/2F B且12FA2 F B，得2211EFF B1EFFA2，从而22a1a2cccc整理，得223ac，故离心率33cea（II）解：由（ I）得22222bacc，所以椭圆的方程可写
18、为222236xyc设直线 AB的方程为2ayk xc，即(3 )yk xc.由已知设1122(,),(,)A x yB xy，则它们的坐标满足方程组222(3 )236yk xcxyc消去 y 整理，得222222(23)182760kxk cxk cc. 依题意，223348(13)033ckk，得而21221823k cxxk2212227623ck ccx xk由题设知，点B为线段 AE的中点，所以1232xcx联立解得2129223k ccxk，2229223k ccxk将12,x x代入中，解得23k. (III)解法一：由（ II ）可知1230,2cxx当23k时，得(0,2
19、)Ac，由已知得(0,2 )Cc. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页知识点大全线段1AF的垂直平分线l 的方程为22222cycx直线 l 与 x 轴的交点,02c是1AFC外接圆的圆心，因此外接圆的方程为222x22ccyc. 直线2F B的方程为2()yxc，于是点H（m，n）的坐标满足方程组2229242()ccmnnmc， 由0,m解得532 23mcnc故2 25nm当23k时，同理可得2 25nm.解法二：由（II）可知1230,2cxx当23k时，得(0,2 )Ac,由已知得(0,2 )Cc由椭圆的对称性可知B，2F，C三点共线，因为点H（m，n）在1AFC的外接圆上，且12/F AF B，所以四边形1AFCH为等腰梯形 . 由直线2F B的方程为2()yxc,知点 H 的坐标为(,22 )mmc. 因为1AHCF，所以222(222 )mmcca，解得 m=c（舍） ，或53mc. 则223nc，所以2 25nm.当23k时同理可得n2 25m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页