《2022年高三数学知识点精析精练求圆锥曲线的方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三数学知识点精析精练求圆锥曲线的方程.docx（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全2022 高三数学学问点精析精练【复习要点】17：求圆锥曲线的方程求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类争论、规律推理、合理运算及创新思维才能,解决好这类问题,除要求娴熟把握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人仍经常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法 . 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采纳“ 先定形,后定式,再定量” 的步骤 . 定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 . 定式依据“ 形” 设方程的形式,留意曲线系方程的
2、应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为 mx 2+ny 2=1m0,n0. 定量由题设中的条件找到“ 式” 中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小 . 【例题】【例 1】 双曲线 x4 2b y2 2=1bN的两个焦点 F 1、 F2,P 为双曲线上一点,|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF 2|成等比数列,就 b 2=_. 解：设 F 1c,0）、F 2c,0、Px,y,就|PF 1| 2+|PF2| 2=2|PO| 2+|F 1O| 225 2+c 2, 即|PF 1| 2+|PF 2| 250+2c 2, 又 |PF 1| 2+|PF2| 2=|PF 1|P
3、F2| 2+2|PF1| |PF 2|, 依双曲线定义,有 |PF 1|PF2|=4, 依已知条件有 |PF1| |PF2|=|F 1F 2| 2=4c 216+8c250+2c2,c 217 , 3又 c 2=4+b 217 ,b 25,b 2=1. 3 3答案： 1 名师归纳总结 【例 2】 已知圆 C1 的方程为x22y1220,椭圆 C2的方程为AB 恰为第 1 页,共 13 页3x2y21ab0 ,C2的离心率为2 ,假如 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 2a2b2圆 C1 的直径,求直线AB 的方程和椭圆C2 的方程；解：由e2,得c2,a22c2,b2c2.2a2-
4、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全设椭圆方程为x2y21.2 b2b2名师归纳总结 设A x 1,y 1. B x2,y2. 由圆心为 2 1, .第 2 页,共 13 页x 1x 24,y 1y2.2y又x 1 2y 1 2,1x 2 2y2 2,1A2b2b22b2b2两式相减,得x 1 2bx2 2y 1 2b2y2 20.C122x 1x2x 1x22 y 1y 2y 1y 20,F2OF1Bx又x 1x24.y 1y2.2 得y 1y 2.1x 1x 2直线AB的方程为y1x2 .即yx3将yx3代入x2y2,1得2b2b23 x21
5、2x1822 b0.直线AB 与椭圆C2相交.24 b272.0由AB2x 1x22x 1x224x 1x220.3得224 b27220.33解得b2.8故全部椭圆方程x2y21.168【例 3】 过点 1,0的直线 l 与中心在原点,焦点在x 轴上且离心率为2 的椭圆 C 2相交于 A、B 两点,直线y=1 x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 2C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称,试求直线l 与椭圆 C 的方程 . 解法一：由e=c2,得a2a2b21,从而 a2=2b 2,c=b. a22设椭圆方程为x 2+2y2=2b2,Ax1,y1,Bx2,y2在椭圆上 . 就 x1 2+2y
6、12=2b 2,x2 2+2y22=2b2,两式相减得,x12 x2 2+2y12y2 2=0,y 1y2x 1x2.x 1x22 y1y2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全设 AB 中点为 x0,y0,就 kAB=x 00, Byy=1x2y又x0,y0在直线 y=1 x 上, y0= 21 x0, 22于是x 0=1,kAB=1, F2o2, F 1x2y0设 l 的方程为 y=x+1. A右焦点 b,0关于 l 的对称点设为 x,y, 就xyb1b1解得x1byxy12 k2. 22由点 1,1b在椭圆上,得1+21b 2=2b 2,b
7、 2=9,a29. 168所求椭圆C 的方程为8 x216y2=1,l 的方程为 y=x+1. 99解法二：由e=c2,得a2a2b21,从而 a2=2b 2,c=b. a22设椭圆 C 的方程为 x2+2y 2=2b 2,l 的方程为 y=kx1, 将 l 的方程代入C 的方程,得 1+2k 2x24k 2x+2k22b 2=0, 就 x1+x2=14k22,y1+y2=kx1 1+kx21=kx1+x2 2k=12k2k直线 l：y=1 x 过 AB 的中点 2x 12x2,y 12y 2,就1k212k22k212k解得 k=0,或 k=1. 名师归纳总结 如 k=0,就 l 的方程为
8、y=0,焦点 Fc,0关于直线 l 的对称点就是F 点本身,不能在椭圆C 上,第 3 页,共 13 页所以 k=0 舍去,从而k=1,直线 l 的方程为 y=x1,即 y=x+1,以下同解法一 . 解法 3：设椭圆方程为x2y21 ab0 1a 2b2直线 l 不平行于 y 轴,否就 AB 中点在 x 轴上与直线y1x 过AB中点冲突；2故可设直线l的方程为ykx1 2 2代入 1 消y 整理得： k2a2b2x22k2a2xa2k2a2b203设A x 1,y1B x2,y2,知：x 1x2k2k2a222a2b又y 1y2kx 1x22k 代入上式得：- - - - - - -精选学习资料
9、 - - - - - - - - - 学问点大全kx 12 kx21,k2 kk2a2ab21,kkb21,又e22k222ka2222名师归纳总结 k2b22a22c222e21,直线l的方程为y1x,第 4 页,共 13 页a2a此时a22b2,方程 3 化为3x24x22 b20,1624 1b28 3 b210b3,椭圆C的方程可写成：x22y22 b24,又c2a2b2b2,3右焦点F ,设点F关于直线l的对称点x 0,y0,就y0b102bx 01,y01b,x0y01x2又点 1,b 在椭圆上,代入 4 得：12 1b2b2,b33,43b29,a29168所以所求的椭圆方程为：
10、x2y2199816【例 4】 如图,已知P1OP2 的面积为27 ,P 为线段 P1P2 的一个三等分点,求以直 4线 OP1、 OP2 为渐近线且过点P 的离心率为13 的双曲线方程 . 2解：以 O 为原点, P1OP2 的角平分线为x 轴建立如下列图的直角坐标系. 设双曲线方程为x2y2=1a0,b0 yP2a2b2由 e 2=c21b2132,得b3. a2a2a2两渐近线OP1、OP2 方程分别为y=3 x 和 y=23 x 2P设点 P1x1,3 x1,P2x2,23 x2x10,x20, 2oP1x就由点 P 分P 1P 2所成的比 =P 1P=2, PP 2得 P 点坐标为
11、x12x2,x 12x 2, 32又点 P 在双曲线x24y2=1 上,a29a2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全所以x 192x22x 12x 22=1, a29 a2即x1+2x2 2x1 2x2 2=9a 2,整理得 8x1x2=9a 2又 | OP 1 | x 1 2 9x 1 2 13x 1 |, OP | x 2 2 9x 2 2 13x 24 2 4 2sin P 1 OP 21 2 tantan 2 P 1P Ox1 Ox 1 2 329 121341 1 13 12 27S P 1 OP 2 | OP 1 | | OP 2
12、 | sin P 1 OP 2 x 1 x 2 ,2 2 4 13 4即 x1x2= 9 2由、得 a 2=4,b 2=9 2 2故双曲线方程为 x y=1. 4 92 2【例 5】 过椭圆 C：y2 x2 1 a b 0 上一动点 P 引圆 O：x2+y 2 =b 2 的两条切线a bPA、PB,A、B 为切点,直线 AB 与 x 轴, y 轴分别交于 M 、N 两点； 1 已知 P 点坐标为x0,y0 并且 x0y0 0,试求直线AB 方程； 2 如椭圆的短轴长为8,并且|a2|2|b2|225,求椭圆 C 的方程； 3 椭圆 C上是OMON16否存在点 P,由 P 向圆 O 所引两条切线
13、相互垂直？如存在,恳求 出存在的条件；如不存在,请说明理由；解： 1设 Ax1,y1,Bx2, y2 名师归纳总结 切线 PA：x 1xy 1yb2,PB：x2xy2yb2x2x 0y2y0b2b2 第 5 页,共 13 页P 点在切线 PA、PB 上,x 1x0y 1y0b2直线 AB 的方程为x 0xy 0yb2x0y00 ,0；令 x=0,就 N0,2在直线 AB 方程中,令y=0,就 Mb2x 0y0|a2|2|b2|2a2y2 0x 0 2a2252a2b 22OMONbb162b=8 b=4 代入得 a2 =25, b 2 =16 - - - - - - -精选学习资料 - - -
14、 - - - - - - 学问点大全椭圆 C 方程：y2x21xy0 （注：不剔除xy 0,可不扣分）25163 假设存在点 Px0,y0满意 PAPB,连接 OA、OB 由 |P A|=|P B| 知,四边形 PAOB 为正方形, |OP|= 2 |O A| x 0 2 y 0 2 2b 2 又 P 点在椭圆 C上a 2 x 0 2 b 2 y 0 2 a 2 b 2 由知 x 20 b 2 a a2 2b 22 b 2 , y 0 2a a2 2bb 22ab0 a2b 20 1当 a 2 2b 20,即 a 2 b 时,椭圆 C 上存在点,由 P点向圆所引两切线相互垂直；2当 a 2 2
15、b 20,即 ba 2 b 时,椭圆 C 上不存在满意条件的 P 点【例 6】 已知椭圆 C 的焦点是 F1（3 ,0）、F2（3 ,0）,点 F1 到相应的准线的距离为 3 ,过 F2 点且倾斜角为锐角的直线 l 与椭圆 C交于 A、B 两点,使得 |F 2B|=3|F 2A|. 3（ 1）求椭圆 C的方程；（2）求直线 l 的方程 . 解：（ 1）依题意,椭圆中心为O（0, 0）,c3F1yAlx点 F1 到相应准线的距离为b2,3b2331,c3a 2=b2+c 2=1+3=4 所求椭圆方程为x2y21P4（2）设椭圆的右准线l 与 l 交于点 P,作 AM l ,AN l ,M垂足OF
16、 2N分别为 M 、 N. 由椭圆其次定义,得|AF 2|e|AF 2|e|AM|B|AM|同理 |BF 2|=e|BN| 名师归纳总结 由 Rt PAM Rt PBN,得|PA|1 2|AB|2|F2A|2 e|AM| 9 分2. 第 6 页,共 13 页cosPAM|AM|1213yl的斜率ktanPAM|PA|2e33260直线 l 的方程y2x32x即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全【例 7】 已知点 B（ 1,0）,C（1,0）,P 是平面上一动点, 且满意|PC|BC|PBCB.（1）求点 P 的轨迹 C 对应的方程；（2）已知
17、点 A（m,2）在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C的两条弦 AD 和 AE,且 ADAE,判定：直线 DE是否过定点？试证明你的结论 . （3）已知点 A（m,2）在曲线 C上,过点 A 作曲线 C的两条弦 AD,AE,且 AD,AE 的斜率 k1、k2满意 k1k2=2.求证：直线DE过定点,并求出这个定点. x,化简得y24x.解：（1）设Px,y代入|PC|BC|PBCB 得x12y212将Am,2代入y24x 得m,1点A 的坐标为 ,12 .设直线AD的方程为y2kx1代入y24x ,得y24y840,kk由y 12可得y24,2D4,142 .kk2k同理可设直线AE:y21x1
18、,代入y24x 得E4k2,14k2.k就直线DE方程为:y4k2444kx4k21,化简得kk24kk2y2kx5 y2,0即y2kk1x5 ,过定点,52.2 3 将Am,2 代入y24x 得m,1设直线DE的方程为ykxb ,Dx 1 ,y 1,Ex 1 ,y 1由y2kxxb 得k2x22kb2 xb20,y4kADkAE2 ,y 12y 222x 1,x21 ,112 .x 1x 2且y 1kx 1b,y2kx2bk22x1x2kb2k2x 1x2b2 22,0将x 1x22kb2,x 1x2b2代入化简得b2k22,bkk2k2bk2.,舍去,将bk2代入ykxb得ykxk2kx1
19、2,过定点,12 .将b2k 代入ykxb 得ykx2kkx12,过定点 ,12,不合定点为,1233,直线 l 过 A（a,0）、【例 8】 已知曲线x2y21a0,b0 的离心率e2a2b2B（0, b）两点,原点O 到 l 的距离是3.2（）求双曲线的方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全（）过点B 作直线 m 交双曲线于M、N 两点,如OMON23,求直线 m 的方程 . 解：（）依题意,l 方程 x y,1 即 bx ay ab 0 , 由原点 O 到 l 的距离a b为 3 ,得 ab ab
20、 3 又 e c 2 3 b ,1 a 32 a 2b 2 c 2 a 32故所求双曲线方程为 xy 213（）明显直线 m 不与 x 轴垂直,设 m 方程为 y=kx 1,就点 M 、N 坐标（x 1, y 1）、y kx 1（x 2, y 2）是方程组x 2y 21 的解3消去 y,得 1 3 k 2 x 2 6 kx 6 0 依设,1 3 k 2 ,0 由根与系数关系,知 x 1 x 2 62 k, x 1 x 2 2 63 k 1 3 k 1OM ON x 1 , y 1 x 2 , y 2 x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 x 2 kx 1 1 kx 2 1= 1 k 2 x
21、1 x 2 k x 1 x 2 1 = 6 12 k 2 62 k 213 k 1 3 k 1= 2 6 13 k 16 1OM ON 232 1 = 23,k=3 k 1 2当 k=1 时,方程有两个不等的实数根2故直线 l 方程为 y 1x ,1 或 y 1x 12 22 2【例 9】 已知动点 P 与双曲线 x y 1 的两个焦点 F 、F 的距离之和为定值,2 3且 cos F 1 PF 2 的最小值为 1 9（1）求动点 P 的轨迹方程；（2）如已知D ,03, M 、 N 在动点 P 的轨迹上且DMDN,求实数的取值范畴解：（1）由已知可得：c5,a2a222 c212a9a29,
22、b2a2c24所求的椭圆方程为x2y21. 942 方法一：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全由题知点 D、M、N 共线,设为直线m,当直线 m 的斜率存在时,设为k,就直线 m 的方程为y = k x +3 代入前面的椭圆方程得k25. 4+9k 2 x2 +54 k +45 = 0 由判别式 54 k2449k2450,得9再设 M x 1 , y 1 , N x 2 , y 2,就一方面有DMx 1,y13DNx2,y23 x 2,2y 23 ,得4x 1x245y 13y23 另一方面有x 1x2
23、454k2,x 1x29k9k将x 1x 2代入式并消去x 2可得36324249,由前面知,04k2k2. 51 或 55, 5 19324281,解得155 155又当直线 m 的斜率不存在时,不难验证：所以15为所求；5方法二 : 同上得x 13x2y23y 1设点 M 3cos ,2sin ,N 3cos ,2sin 就有coscos 2sin3 2sin3由上式消去 并整理得名师归纳总结 sin132185, 由于1sin15,最小值为1. 第 9 页,共 13 页12 211321851, 解得15为所求 . 12 25方法三：设法求出椭圆上的点到点D 的距离的最大值为- - -
24、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全进而推得的取值范畴为15；5【求圆锥曲线的方程练习】一、挑选题1已知直线 x+2y3=0 与圆 x 2+y 2+x6y+m=0 相交于 P、Q 两点, O 为坐标原点,如 OPOQ,就 m 等于 A.3 B.3 C.1 D.1 2中心在原点,焦点在坐标为 0, 5 2 的椭圆被直线 3xy2=0 截得的弦的中点的横坐标为 1 ,就椭圆方程为 22 2 2 2A. 2 x 2 y 1 B. 2 x 2 y 125 75 75 252 2 2 2C. x y 1 D. x y 125 75 75 25二、填空题3直线 l 的
25、方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P,如过点 P 且以双曲线 12x 24y2=3 的焦点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为 _. 4已知圆过点 P4, 2、Q1,3两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,就该圆的方程为 _. 三、解答题5已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个焦点为 F,M 是椭圆上的任意点, |MF |的最大值和最小值的几何平均数为 2,椭圆上存在着以 y=x 为轴的对称点 M 1 和 M 2,且|M 1M 2|= 4 10,试求椭圆的方程 . 36某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱高 4 米,在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑,求其中最长
26、的支柱的长 . 7已知圆 C1的方程为 x2 2+ y1 2= 20 ,椭圆 C2 的方程为3名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全x2y2=1a b0,C2的离心率为2 ,假如 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 2AB 恰为a2b2圆 C1 的直径,求直线AB 的方程和椭圆C2 的方程 . 参考答案一、 1.解析：将直线方程变为x=32y,代入圆的方程x2+y 2+x6y+m=0, 得32y2+y 2+32y+m=0. 整理得 5y 220y+12+m=0,设 Px1,y1、Qx2,y2 12
27、 m就 y1y2= ,y1+y2=4. 5又 P、Q 在直线 x=32y 上,x 1x2=32y132y2=4y1y2 6y1+y2+9 故 y1y2+x1x2=5y1y26y1+y2+9= m3=0,故 m=3. 答案： A 2.解析：由题意,可设椭圆方程为：y2x2=1,且 a2=50+b 2, a2b2即方程为50y22x2=1. bb2x 的二次方程 . 将直线 3xy2=0 代入,整理成关于由 x1+x2=1 可求得 b2=25,a 2=75. 答案： C 二、 3.解析：所求椭圆的焦点为F 11,0,F 21,0,2a=|PF 1|+|PF 2|. 名师归纳总结 欲使 2a 最小,
28、只需在直线l 上找一点 P.使|PF 1|+|PF 2|最小,利用对称性可解.第 11 页,共 13 页答案：x2y2=1 544.解析：设所求圆的方程为x a2+y b2=r24a22b2r2a1a5就有1a 23b2r2b0或b4|a2 | 23 2r2r213r227由此可写所求圆的方程. 答案： x2+y22x12=0 或 x2+y 210x8y+4=0 三、 5.解： |MF|max=a+c,|MF|min=ac,就a+cac=a2c2=b2, - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全b2=4,设椭圆方程为x2y21a24设过 M 1 和
29、 M 2 的直线方程为y= x+m 2=0 将代入得：4+a 2x22a 2mx+a 2m 24a设 M 1x1,y1、M 2x2,y2,M 1M 2 的中点为 x0,y0, 就 x0=1x1+x2=a2m,y0=x0+m=44m2. |= 24a2a代入 y=x,得a2m44 m2, 4a2a由于 a 24,m=0,由知 x1+x2=0,x1x2=44a22, a又|M 1M 2|=2x 1x 224x 1x2410, 3代入 x1+x2,x1x2 可解 a 2=5,故所求椭圆方程为：x2y2=1. 546.解：以拱顶为原点,水平线为x 轴,建立坐标系,如图,由题意知,|AB|=20,|OM
30、|=4, A、B 坐标分别为 10, 4）、 10, 4）设抛物线方程为x2=2py,将 A 点坐标代入,得100=2p 4,解得 p=12.5, 于是抛物线方程为x 2=25y. 由题意知 E 点坐标为 2, 4,E 点横坐标也为2,将 2 代入得 y=0.16,从而 |EE0.164=3.84.故最长支柱长应为 3.84 米. 7.解：由 e= 2 2 ,可设椭圆方程为 2 x b 2 2 b y 2 2 =1, 又设 Ax1,y1、Bx2,y2,就 x1+x2=4,y1+y2=2, 又x 12y 12,1x22y22=1,两式相减,得x2 1bx22y 12b2y22=0, 2 b2b22b2b222即x1+x2x1x2+2y1+y2y1y2=0. 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全化简得y 1y2=1,故直线 AB 的方程为 y=x+3, x 1x 2名师归纳总结 代入椭圆方程得3x 212x+18 2b2=0. 24x 1x220, 第 13 页,共 13 页有