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1、绝密启封并使用完毕前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合A=x|2x1，B=x|x3，则AB=（A）x|2x1 （B）x|2x3（C）x|1x1 （D）x|1x3（2）若复数（1i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）(，1)（B）(，1)（C）(1，+)（D）(1，+)（3）执行如图所
2、示的程序框图，输出的s值为（A）2（B）（C）（D）（4）若x，y满足 ，则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3 （C）5 （D）9（5）已知函数，则（A）是奇函数，且在R上是增函数（B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数（D）是偶函数，且在R上是减函数（6）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）3（B）2（C）2（D）2（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N
3、约为.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg30.48）（A）1033 （B）1053（C）1073 （D）1093第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若双曲线的离心率为，则实数m=_.（10）若等差数列和等比数列满足a1=b1=1，a4=b4=8，则=_.（11）在极坐标系中，点A在圆，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为 .（12）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称。若，= .（13）能够说明“设a，b，c是任意实数.若abc，则a+bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_.（14）三名工人加工
4、同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标学科&网分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_。记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_。三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）在ABC中， =60，c= a.（）求sinC的值；（）若a=7,求ABC的面积.（16）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC
5、D为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD/平面MAC,PA=PD=,AB=4.(I)求证：M为PB的中点；(II)求二面角B-PD-A的大小；(III)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。（17）（本小题13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组个50名，一组服药，另一组不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标xy和的学科.网数据，并制成下图，其中“”表示服药者，“+”表示为服药者.（）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（）从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布
6、列和数学期望E（）；（）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）（18）（本小题14分）已知抛物线C：y2=2px过点P(1,1).过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B，其中O为原点.（）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A为线段BM的中点.（19）（本小题13分）已知函数f(x)=excosxx.（）求曲线y= f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；（）求函数f(x)在区间0,上的最大值和最小值.（20）（本小题13分）设an和bn是两个等差数列，记c
7、n=maxb1a1n,b2a2n,bnann(n=1,2,3,)，其中maxx1,x2,xs表示x1,x2,xs这s个数中最大的数（）若an=n，bn=2n1，求c1,c2,c3的值，并证明cn是等差数列；（）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，；或者存在正整数m，使得cm,cm+1,cm+2,是等差数列2017年北京高考数学（理科）参考答案与解析1A【解析】集合与集合的公共部分为，故选A2B【解析】，对应的点在第二象限，解得：故选B3C【解析】当时，成立，进入循环，此时，；当时，成立，继续循环，此时，；当时，成立，继续循环，此时，；当时，不成立，循环结束，输出故选C4D【解析】设
8、，则，由下图可行域分析可知，在处取得最大值，代入可得，故选D5A【解析】奇偶性：的定义域是，关于原点对称，由可得为奇函数单调性：函数是上的增函数，函数是上的减函数，根据单调性的运算，增函数减去减函数所得新函数是增函数，即是上的增函数综上选A6A【解析】由于，是非零向量，“存在负数，使得”根据向量共线基本定理可知与共线，由于，所以与方向相反，从而有，所以是充分条件。反之，若，与方向相反或夹角为钝角时，与可能不共线，所以不是必要条件。综上所述，可知”是“”的充分不必要条件，所以选A7B【解析】如下图所示，在四棱锥中，最长的棱为，所以，故选B8D【解析】由于，所以，故选D9【解析】双曲线的离心率为，
9、10【解析】是等差数列，公差为等比数列，公比故111【解析】把圆改写为直角坐标方程，化简为，它是以为圆心，1为半径的圆。画出图形，连结圆心与点，交圆于点，此时取最小值，点坐标为，12【解析】因为角和角的终边关于轴对称，13，【解析】由题意知，均小于，所以找到任意一组负整数，满足题意即可14 【解析】设线段的中点为，则，其中因此只需比较，三个点纵坐标的大小即可由题意，故只需比较三条直线，的斜率即可15【解析】（1）由正弦定理得：（2）为锐角由得：又16【解析】（1）取、交点为，连结面面面面在中，为中点为中点（2）方法一：取中点为，中点为，连结，又面面面面面以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标可知，
10、易知面的法向量为且，设面的法向量为可知由图可知二面角的平面角为锐角二面角大小为方法二：过点作，交于点，连结平面，平面，即为二面角的平面角，可求得（3）方法一：点，由（2）题面的一个法向量设与平面所成角为方法二：记，取中点，连结，取中点，连，易证点是中点，平面平面，平面平面连结，由余弦定理知，设点到平面的距离为，又，求得记直线与平面所成角为17【解析】（1）50名服药者中指标的值小于60的人有15人，故随机抽取1人，此人指标 的值小于60的概率为（2）的可能取值为：0，1，2，012（3）从图中服药者和未服药者指标数据的离散程度观察可知，服药者的方差大。18【解析】（1）由抛物线过点，代入原方程
11、得，所以，原方程为由此得抛物线焦点为，准线方程为（2）法一：轴设，根据题意显然有若要证为中点只需证即可，左右同除有即只需证明成立其中当直线斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线斜率存在且不为零设直线联立有，考虑，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以由韦达定理可知：，将代入上式，有即，所以恒成立为中点，得证法二：当直线斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线斜率存在且不为零设为点，过的直线方程为，设，显然，均不为零联立方程得，考虑，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以由韦达定理可知：，由题可得横坐标相等且同为，且，在直线上，又在直
12、线：上，所以，若要证明为中点，只需证，即证，即证，将代入上式，即证，即，将代入得，化简有恒成立，所以恒成立，所以为中点19【解析】（1）在处的切线方程为，即（2）令时，在上单调递减时，即在上单调递减时，有最大值；时，有最小值20【解析】（1）易知，且，下面我们证明，对且，都有当且时，且，因此，对且，则又，故对均成立，从而为等差数列（2）设数列与的公差分别为，下面我们考虑的取值对，考虑其中任意项（且），下面我们分，三种情况进行讨论（1）若，则若，则则对于给定的正整数而言，此时，故为等差数列若，则则对于给定的正整数而言，此时，故为等差数列此时取，则是等差数列，命题成立（2）若，则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数故必存在，使得当时，则当时，（，）因此，当时，此时，故从第项开始为等差数列，命题成立（3）若，则此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数故必存在，使得当时，则当时，（，）因此，当时，此时令，下面证明对任意正数，存在正整数，使得当时，若，则取（表示不大于的最大整数）当时，此时命题成立若，则取当时，此时命题也成立因此，对任意正数，存在正整数，使得当时，综合以上三种情况，命题得证22