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1、学习必备欢迎下载2.2.1对数与对数运算（三课时）教学目标： 1理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质2理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程3熟练运用对数的性质和对数运算法则解题4对数的初步应用. 教学重点： 对数定义、对数的性质和运算法则教学难点： 对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导第一课时对数的概念教学过程：（一）、自学引导让学生自学课本62、63 页，并完成以下练习一般地，若(0,1)xaN aa且，那么数x叫做以 a 为底 N 的_ 记作logaxN，a叫做对数的 _，N叫做_.称xaN为_，称logaxN为 _. Nax_. 指数式化为对
2、数式：114433001014141010000（二）、教师精讲（1） （说一说）对数的文化意义对数发明是17 世纪数学史上的重大事件，为什么呢？大家一起来看一下投影：恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是17 世纪数学史上的3 大成就。伽利略说，给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙。布里格斯（常用对数表的发明者）说，对数的发明，延长了天文学家的寿命。对数的发明让天文学家欣喜若狂，这是为什么？我们将会发现， 对数可以将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数，简化数的运算。这些都非常有趣。那么，什么是对数？对数真的有用吗？对数如何发现？我们带着这些问题，一起来探究对数。（对数
3、的导入）为了研究对数，我们先来研究下面这个问题：（P62 思考）根据上一节的例8 我们能从13 1.01xy中，算出任意一个年头x 的人口总数，那么哪一年的人口达到18 亿， 20 亿， 30 亿？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载（停顿让学生思考）即：1820301.01 ,1.01 ,1.01 ,131313xxx在个式子中，x分别等于多少？（2） （讲一讲）对数概念在这三个式子中，都是已知（停顿）底数和幂，求指数x。如何求指数x？这是本节课要解决的问题。这一问题也就是：xx01aNaNaa若，已
4、知和如何求指数（其中，且）数学家欧拉用对数来表示x，如何表示？一般地，若(0,1)xaN aa且， 那么数x叫做以 a 为底 N的对数，记作logaxN，a叫做对数的底数， N叫做真数 .称xaN为指数式，称logaxN为对数式我们可以由指数式得到对数式，也可以由对数式得到指数式：logxaaNNx不难得到，181.0113x的 x 用对数表示就是1.0118log13x我 们要 注 意到 ，xaN中 的01aa且。 因 此，logaNx也 要 求01aa且；还有logaNx中的真数N 能取什么样的数呢？这是为什么？这是因为01aa且，所以0 xaN。因此，logaNx中真数N 也要求大于零，
5、即负数与零一定没有对数。（3） （做一做）指数式与对数式间的关系例 1 指数式化为对数式：114433001014141 01 0 0 0 0让学生大胆猜测，由43log 41log 31，可以发现什么结果？由104log 10log 10呢？log 10,log1(01aaaaa其中，且）.为什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载10,1(01aa aaa把其中，且）化为对数式.立即得到上式结论。我们还会注意到，41010000，10log100004，利用对数可以将很大很大的数变为较小的数，减少
6、计算量，以后还会发现，乘除运算便会加减运算，简化运算 . （4） （讲一讲）例题讲解例 2 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=625 (2)61264(3)1( )5.733m(4) 3log 92(5)5log 1253(6) 12log 164（做一做）练习：1.把下列指数式写成对数式：3( 1) 285( 2 ) 23 211( 3 ) 22131( 4 ) 2 732.把下列对数式写成指数式：3( 1) l o g925( 2 ) l o g 1 2 5321( 3) l og2431(4)log481（5） （讲一讲）两种特殊的对数：常用对数10loglgNN记为
7、；自然对数eloglnNN记为；教师：对数logaN的底 a 有何限制 ?（停顿）01aa且10a，我们得到对数10logN。称10logN为常用对数。通常写成lg N. 当e=2.71828a时，得到对数elogN，称elog N为自然对数。通常写成ln N（做一做）练习：把下列对（指）数式写成指（对）数式：（1）lg 0.012（2）ln102.303精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载（6） （讲一讲，练一练）求值例 3 求下列各式中x 的值：642(1)logx3l o g86x（2）l g 1
8、 0 0 x（3）2ln ex（4）-我们可以发现， 求对数的值可以将式子化为指数式，求指数时将指数式化为对数，在转化中解决问题（做一做）练习：1.求下列各式的值：51 log 25（）212 l o g16（ ）3 l g 1 0 0 0（ ）l g 0. 0 0 1（4）2.求下列各式的值15log15(1)0 . 4l o g1(2)9l o g8 1(3)2.5log6.25(4)7l o g3 4 3(5)3log 243(6)（7）评价与小结1.对数定义（关键）2.指数式与对数式互换（重点）3.求值（重点）（8）作业：P86 题 1，2；课外阅读： P79 对数的发明（三）、教学反
9、思第二课时对数的运算教学目标（1）理解对数的运算性质（2）通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的 “推理能力” 、 “等价转化” 和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识教学重点：对数运算性质及其推导过程.教学难点：对数的运算性质发现过程及其证明.教学过程（一） 复习巩固，引入新课：（1）对数的定义bNal o g，掌握其中a 与 N 的取值范围；（2）指数式与对数式的互化，及两个重要公式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载（3）指数运算法则（积、商、幂、方根）。设计意图： 对数的概念和指数
10、的运算性质是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备2、请同学判断以下几组数是否相等？（1）101lg100lg，)101100lg(；（2）81log4log22，21log2；提出问题：由（1） （2）结果出发，同学们能看出他们具有一个怎样的共同点？设计意图：让学生观察，学会从特殊到一般，寻求规律。（二）新课讲解：请同学们交流讨论得出结论，当底数相同的时候，两个正数的对数之和等于两个正数积的对数。那么这个结论是否正确呢？接下来我们具体的来证明我们的这一结论：设计意图：让学生让学生体会“归纳一猜想一证明”是数学中发现结论，证明结论的完整思
11、维方法，让学生体会回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略如果a 0 ， a 1， M 0 ，N 0，证明：log ()loglogaaaMNMN证明： （性质 1）设logaMp，logaNq，由对数的定义可得pMa，qNa，pqp qMNaaa，log ()aMNpq，即证得logloglogaaaMNMN结论总结：如果a 0 ， a 1， M 0 ， N 0，那么log ()loglogaaaMNMN事实上，除了上面的这个运算性质之外，人们在对数的运算和推理过程中，还发现了两个性质：（2）loglog- logaaaMMNN；商的对数 =对数的差（3）loglog()naaMnM
12、 nR一个数n次方的对数 =这个数对数的n倍那么，请同学们结合前面的性质（ 1）的证明以及以前的所学知识，对我们所给出的性质（2）（3）进行证明。 3 分钟后同桌交换，看相互之间的证明，交换心得，并进一步讨论，是否能够找到更多的证明方法。设计意图：引导学生进行转化， 把不熟悉的知识向熟悉的知识转化。利用指数和对数的关系：NabNbalog精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载 1 、让学生熟悉和掌握对数和指数之间的互化，更深的理解对数的概念； 2 、寻求多种方法，发散学生思维性质 2方法一：（仿照性质（1
13、）同理可证）方法二：由性质（1）的结论出发：MNNMNNMaaaalo gl o gl o gl o gNMNMaaal o gl o gl o g方法三：由性质（1）的结论出发：NMNNNMNMaaaaaaloglogloglogloglog这法二和法三证法使用拆分技巧，化减为加（化除为乘），会常用到。（性质 3）设logaMp， 由对数的定义可得pMa，nnpMa，lognaMnp，即证得loglognaaMnMlognaMnp，即证得loglognaaMnM通过上述探讨、研究得到了对数的运算性质如果0a且1a，0M，0N那么（1）log ()loglogaaaMNMN；积的对数= 对数的
14、和（2）loglog- logaaaMMNN；商的对数 =对数的差（3）loglog()naaMnM nR一个数n次方的对数 =这个数对数的n倍说明：（1）语言表达： “积的对数= 对数的和”（简易表达以帮助记忆）；（2）注意有时必须逆向运算：如11025101010logloglog；（3）注意限制条件：必须是同底的对数，真数必须是正数；例如：12log12log4log3log3232)5(log)3(log)5)(3(log222是不成立的，)(log)(log1021010210是不成立的；（4）当心记忆错误：NlogMlog)MN(logaaa，试举反例，NlogMlog)NM(lo
15、gaaa，试举反例。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载（5）性质（ 1）可以进行推广：即loga（M1M2M3 Mn）=logaM1+logaM2+logaM3+logaMn （其中 a0，且 a1 ，M1、 M2、M3 Mn0）. 设计意图：加深学生对知识的理解，注意到一些细节问题，避免出现公式的错误应用。（三）典型例题：例 1、计算（1）)39(log523（2）51100lg答案： （1）9 （ 2）52设计意图：让学生熟悉三个运算性质例 2计算： lg1421g18lg7lg37；解： （1）
16、解法一：18lg7lg37lg214lg2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20；解法二：18lg7lg37lg214lg27lg14lg()lg 7lg183=18)37(714lg2lg10；设计意图：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。（四）课堂练习：P.68练习 2，3 其中第 3 题同桌分工，一个顺向作，一个逆向作，最后核对答案是否一致。（五） 小结：1、本节课学习了对数的运算性质及其运用，要注意指数运算性质与对数运算性质的对照。式子NabbNalog名称a幂的底数b幂的指数N幂值a
17、对数的底数b以 a 为底的 N 的对数N真数运算性质manmnaanmnmaaamnnmaa )(（0a， 且1a，Rnm,）log ()loglogaaaMNMN；loglog- logaaaMMNN；loglog()naaMnM nR（0a，且1a，0M，0N）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载2对数的运算法则（积、商、幂、方根的对数）及其成立的前提条件；3运算法则的逆用，应引起足够的重视；4对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧。（六）作业：课本74 页习题 2.2A组第三、四题。第三课时换
18、底公式（一）对数换底公式推导（教材第66 页“探究性问题” ）（二）、解决课本第68 页练习第 4 题和第 75 页第 11 题。（三）补充公式：loglogmnaanbbm。（四）、课堂练习求 log89log332 的值. （分析：在这一个问题中，两对数底数不同，要计算它，就要利用对数的换底公式统一底数的问题，当底数统一时，再利用对数的运算性质将它们化简）（五） 、课堂小结在这一节课中， 我们主要学习了换底公式，学习了它的推导过程，它的意义在于把对数的底数改变，把不同底的问题转换为同底问题，对于换底公式，大家重在它的运用掌握，关键在找准底数，从而为简便我们的运算创造条件。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页