《2022年北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑 2.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑 2.pdf(12页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备欢迎下载学科:数学教学内容:导数与微分经点答疑(四)11什么是高阶导数?我们知道函数2xy的导数是x2y而导数x2y仍是可导的,它的导数是2y这种导数的导数y就称为对y 对 x 的二阶导数一般地我们有:函数y f( x)的导数xfy仍是x 的函数,若函数xfy的导数存在,则称xfy的导数为yf(x)的二阶导数记作即或22dxydy.dxdydxddxydyy22或相应地,把yf(x)的导数xf叫作函数yf(x)的一阶导数同样,若二阶导数xfy的导数存在,则称其导数为yf(x)的三阶导数记作即或,dxydxy33.dxyddxddxydyy,xfxf ,yy22333或又记作一般地,若n
2、1 阶导数xfy1n1n的导数存在,则称其导数为yf(x)的 n 阶导数记作即或nnnndxydxf ,y.dxyddxddxydxfxf,yy1n1nnnn1n1nn或这里的 n 称为导数xfn的阶数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数若 yf(x)具有 n阶导数,也常说成函数f(x)为 n 阶可导由以上高阶导数的定义可以看出,要求n 阶导数,需要求出n1 阶导数,要求n1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页学习必备欢迎下载阶导数,需要求出n 2 阶导数,要求二阶导数,需要求出一阶导数,因此要求高阶导数,只需要进行一
3、连串通常求导数的运算即可例 1 求 n 次多项式n1n1n1n0axaxaxaxf的各阶导数0a0思路启迪首先求出f(x)的一阶、二阶、三阶等阶数较低的n 阶导数,从中找出导数与导数阶数的关系.axannxannxf.axanxnaxfnnnnnn231201211022111规范解法可见, 每经一次求导运算, 多项式的次数就降低一次继续求导下去, 易知:0na!nxf是一个常数,由此有.0 xfxf2n1n即 n 次多项式的一切阶数高于n 的导数都等于零.ney2x阶导数的求例.ee. 即ey一般地,可得.ey,ey,ey,ey规范解法xnxxnx4xxx.01yyxx2y332满足关系式证
4、明函数例思路启迪要证明这个等式成立,而在此等式的左边含有y,只要能正确求y 对 x 的两阶导数y,将 y 及y代入等式左边并验证其为零即可规范证法01y1y1y于是,y,y1x2x1x2xx2x22x2x1x2xy,x2xx1x2x22x2y333323222222例 4求 ysinx 的 n 阶导数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页学习必备欢迎下载思路启迪求 sinx 的 n 阶导数的关键是找出n 阶导数与导数的阶数的关系,为此我们可以先求出较低n 阶导数,从中归纳出导数与导数的阶数的关系即可.2nxcosxco
5、s.2nxsiny,22xsin2xcosy,2xsinxcosynn类似方法可得规范解法12怎样求隐函数的导数?前面所讨论的函数求导方法,函数都是因变量y 已经写成自变量x 的明显表达式yf(x)的形式,这样的函数称为显函数但有时我们所遇到的函数关系不是明显地用显函数形式表示的情形如方程2x 5y1 0 及xyey它们都表示x、y 之间的函数关系一般地我们把由方程F(x,y) 0 表示的因变量y 自变量 x 的函数关系式yf(x)称为隐函数对于隐函数,有时可以根据确定隐函数关系的方程找出显函数形式yf(x) ,从而可利用前面的求导方法把它的导数找出来,但有时要把这个隐函数表示成显函数的形式是
6、比较复杂的,有时甚至是不可能的,这时要利用前面的方法求导数就比较困难,甚至不可能,因此,我们有必要寻求隐函数的求导方法实际上, 对于隐函数我们不需要把它表示成显函数的形式,就可以把它的导数求出来方法是:将确定隐函数的方程的两端同时对x 求导(注意到y 表示 x 的函数),求导过程中,遇到变量 y,把 y 看中间变量,先对y 求导,再乘以y 对 x 的导数y(即遇到变量y 要利用复合函数的求导法则) 这样,我们可以得到一个关于y的一元一次方程,解出y即可.dxdyyx所确定的隐函数的导数求由方程例1122思路启迪由于 y 是 x 的函数,可将y 写成 x 的函数的形式y(x) ,则1yx22可写
7、成.1xyx22.0 xyxy所以0,y2y2x看作一复合函数得x求导,把y对方程两端规范解法2.dxdy01xye2y所确定的隐函数的导数求由方程例精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页学习必备欢迎下载思路启迪由于方程01xyey所确定的是y 为 x 的函数,可将y 写成 x 的形式 y(x) ,则该方程可写成,xxye)x(y01于是由隐函数的求导法则得规范解法将方程两端对x 求导,并利用函数的求导法则得.0yxyyey.0exxeydxdyyy则13什么是对数求导法?它主要适用于哪些类型函数的求导?对数求导法是将
8、函数yf(x)两端取绝对值(由于求导之后绝对值同时去掉,因此常把取绝对值这一步省略,认为f(x)为正值,即lnf(x)有意义)然后再两端取对数(取自然对数, 它的导数形式比较简单)这时我们就把它化成隐函数,然后再求出它的导数这种把显函数取对数化成隐函数再求导的方法称为对数求导法它常用于由若干因式的积、商或根式组成的函数和幂指函数的求导运算对数求导法的优点是:它把积变成和, 把商变成差,把幂指变成积易知,和差的求导运算要比乘、商的求导运算简单具体步骤如下:(1)两端取绝对值(常略去)之后,再取自然对数(2)等式两端分别对自变量求导.xyy,左端即(3) 等式两端再乘以举例如下.xgxf,xf.x
9、g均存在与其中的导数求例0 xfy1思路启迪在前面我们利用恒等式NlneN求出了该函数的导数,在此我们将利用隐函数求导法求它的导数 这里可将等式两端取对数首先把它变成隐函数,再利用隐函数求导法规范解法两端取对数lnyg(x)lnf (x) ,两端对x 求导.xfxfxgxflnxgxfxfxfxgxflnxgyy,xfxfxgxflnxgyyxg.6x5x4x3x2x1xy2的导数求例思路启迪该函数是由两个函数的商构成,而商的分子和分母都是由三个函数的积所构成,若直接利用商与积的求导法则就比较麻烦,但若借助于两端取对数,再利用隐函数的求导方法就比较简单规范解法两端取对数lnyln(x1) ln
10、(x 2) ln(x3) ln(x4) ln(x5) ln(x6), 两端对 x 求导精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页学习必备欢迎下载6x15x14x13x12x11x16x5x4x3x2x1x6x15x14x13x12x11x1yy,6x15x14x13x12x11x1yy14怎样利用导数判别函数的单调性?我们知道,如果函数f( x)在区间( a,b)内是增函数或是减函数,那么我们就说函数f(x)在区间( a,b)具有单调性,区间(a,b)称为 f(x)的单调区间那么怎样利用导数判别函数的单调性呢?设函数 f(
11、x)在( a, b)可导,则曲线yf(x)处处有切线如图3-4,曲线上每点的切线与x 轴正向的夹角是锐角,即,0tanxf这时函数在( a,b)是增函数如图3-5 曲线上每点的切线与x 轴正向的夹角为钝角,即,tanxf0此时函数f (x) 在 (a,b)是减函数一般地,设函数yf(x)在区间 I 内可导,如果对任意的点xI,有, 0 xf则 f( x)在 I 内是增函数,若对于任意的点xI,有, 0 xf则 f(x)在 I 内为减函数.2x9x6xxf123的单调性讨论函数例思路启迪利用导数判别函数单调性,首先要求函数的导数,然后确定导数在哪些范围内是正值,哪些范围内是负值,从而确定出函数的
12、增减区间.xx,xxxf.xxxxxf31031331391232或得令规范解法即当 x(, 1)( 3,)时,f(x)是增函数. 3x1,03x1x3xf得令即当 x( 1,3)时, f(x)是减函数(图 3-6) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页学习必备欢迎下载, 0 x, 0 xe2xf.xe2xf.exf2222xxx得令规范解法的单调性讨论函数例即当 x(, 0)时, f(x)是增函数, 0 x, 0 xe2xf2x得令即当 x( 0,)时f(x)是减函数 (如图 3-7) 分析上面的例题,当x3 时,
13、2x9x6xxf23单调增加,当1x3 时,f(x)单调减少,而当x1 或 x3 时,0 xf当 x0时, f(x)单调减少,而当x0 时,0 xf这说明使0 xf点 x 可能是f(x)单调增加与单调减少的分界点因此讨论可导函数的单调性,我们也可以按照以下步骤去作:即求出 f(x)的导数xf,解出使0 xf的点,用这些点将f( x)的定义域分成若干个区间,然后在各个区间上判别xf的符号,从而可得f(x)在各个区间上的单调性后两步可用一个表格来完成精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页学习必备欢迎下载.2x, 1x.01
14、x1x3xf.1x1x33x3xf ,Rx.1x3xxf32123即令规范解法的单调性讨论函数例列表由上表可知: f(x)在( 1)与( 1,)上是单调增加的;在(1,1)上是单调减少的15怎样利用导数求可导函数的极值?已知函数1xxf2在点O 附近的任意点x,都有,0f11xxf2即函数1xxf2在点 O 的值要比它附近的任意点的函数值都要小(如图 3-8) ,这时, 我们称函数1xxf2在点 O 取极小值而函数1xxfy2在点 O 附近的任意点x,都有0f11xxf2,即函数1xxf2在点 O 的值要比它附近的每一点的函数值都要大(如图3-9) ,这时,我们就说1xxf2在点 O 取极大值
15、一般地,设函数f( x)在点0 x附近内有定义,若对点0 x附近的每一点x,都有0 xfxf,我们就称它为f(x)在点0 x取极大值,0 xf是 f(x)在点0 x处的极大值,记作00 x,xfy极大值称为函数f(x)的极大值点如果对点0 x附近的所有点x,都有0 xfxf,我们就称函数f(x)在点0 x取极小值,0 xf是 f(x)在点0 x处的极小值,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页学习必备欢迎下载记作00 x,xfy极小值称为函数f(x)的极小值点极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点已知
16、函数1xxf2的导数是x2xf,在点 O 的值是 0,即.00f在点 O 的左侧,即当 x0 时,导数. 0 x2xf函数1xxf2在点 O 取极小值函数1xxf2的导数是.00f ,x2xf在点 O 的左侧,即当x0 时,有导数0 x2xf; 在点 O 的右侧,即当0 x时, 有导数02xxf 函数1xxf2在点 O 取极大值一般地, 当函数 f(x)在点0 x的附近可导时, 我们判别函数f (x)在点0 x处取极大 (小)值的方法是:(1)若在点0 x的左侧0 xfxx0,右侧,0 xfxx0则0 xf是极小值(2)若在点0 x的左侧0 xfxx0,右侧,0 xfxx0则0 xf是极大值从
17、上面的讨论, 我们可以看到, 若 f (x) 在点0 x可导,且在点0 x取极值,则有0 xf0,即可导的极值点满足0 xf0但是满足0 xf0的点0 x不一定是极值点,如3xxf,2x3xf在 O 点处的值00f,但 O 不是 f(x)的极值点一般地,我们求函数极值的步骤是:等.x,0的根xxf( ) 求方程.xf()求导数21()判别函数f(x)的导数xf在每个根ix两侧的符号,并根据xf的符号确定f(x)在ix是否取极值.x1x2y12的极值求函数例思路启迪求出,y并令0y得其根21x,x等,用21x,x将函数2x1x2y的定义域分成若干个区间,在每个区间上用xf的符号列出y 的增减性列
18、表得令规范解法.1x0y.x1x12y222精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页学习必备欢迎下载所以,当 x 1 时,有极小值1y极小值;当 x1 时,有极大值1y极大值列表得令规范解法的极值求函数例. 1x,51x, 1x,0 xf.1x51x1xxf.1x1xxf2321232;10如图331253456时,y有极大值,y51当x极大值01时,y有极小值,y当x极小值. 1x,2x,01x2x6y.1x2x612x6x6y.14x12x3x2y321223解得令规范解法的极值求函数例列表精选学习资料 - - -
19、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页学习必备欢迎下载7.1时,y有极小值,y当x34;2时,y有极大值,y所以,当x极小值极大值16怎样利用导数求函数在闭区间上的最大值与最小值?对于实际问题该怎样解决?在生产实践和工程技术中,常常遇到这样一类问题:在一定条件下, 怎样使“产品最多” 、“收益最大” 、 “用料最省” 、 “成本最低”和“效率最高”等问题,这类问题在数学上有时可归纳为求某函数的最大值或最小值问题如图 311,在闭区间 a,b上,对于xa,b,都有 f(x) f(b) ,f( b)就称为f(x)在 a,b上的最小值;对于xa,b,
20、有11xf ,xfxf就称为f(x)在 a,b上的最大值一般地,设f(x)在区间 I 上有定义,若存在点b,ax1,使对每一点xa,b都有1xfxf, 则称 f (x)在 I 上有最大值1xf, 记为 M,即1xfM; 若存在点b, ax2,使对每一点xa,b都有2xfxf,则称函数f( x)在 I 上有最小值2xf,记为 m即2xfm一般地,若yf(x)在 a,b上连续,则f(x)在 a,b上必有最大值与最小值但函数 yf( x)在开区间( a,b)内连续,则不一定有最大值与最小值如xxf1在( 0,)内连续,但f(x)在( 0,)内没有最大值与最小值从图 311 可以看出,若函数的最小值在
21、区间a,b的内部间取得,则必在极小值点取得;若函数的最大值在区间a,b的内部取得,则必在极大值点取得最大值与最小值也可能在端点取得,而在极值的讨论中,我们可以看出,对于可导函数来说,极值点可能在使0 xf的点 x 处取得因此, 对于可导函数来说,它的最大值与最小值若在区间的内部取得,只可能在使得0 xf的点取得根据以上分析,若f(x)在 a, b上连续且可导,则求f(x)在 a,b上的最大值与最小值的步骤为:.x,x,x0 xf)1(n21的根求出方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页学习必备欢迎下载(2)将 f
22、( a),f(b) ,n21xf ,xf ,xf进行比较,其中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值上的最大值与最小值.3,414在12x3x2x求函数y例123思路启迪因为所给函数在3,4上可导,所以,只需把0y的点与端点的值比较而可得出,f,f,f,f.x,x.xxxxxf1421441243424714123213414212232222314312333231201261266232323212由于得令规范解法比较可得,函数f(x)在 x4 取得它在 3,4上的最大值f(4) 142;在 x 1 取得它在 3,4上的最小值f(1) 7对于一个实际问题而言,如果在(a,b)内部0 x
23、f的根只有一个1x,而从实际含义分析知在(a,b)内一定有最大值或最小值存在那么一般来说,1xf就是所要求的最大值或最小值例 2已知一木材有直径为d 的圆截面,如何把它加工成为最坚固的矩形截面的横梁思路启迪依题意, 要使横梁最坚固,也即是使得横梁的抗弯强度最大,因此, 首先应找出抗弯强度与矩形截面的关系,然后确定矩形截面的长宽为何值时抗弯强度为最大规范解法如图 312 所示,设横梁矩形截面的底边长为x,则其高为22xd,由材 料 力 学 的 知 识 得 , 强 度 同22xdx成 正 比 , 设 强 度 为f(x), 于 是 有 :.dx0 xdkxxf22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页学习必备欢迎下载.3d得方程只有一根x0,xf令.3xdkxf数得:导求22而从实际问题分析知,f (x)应有最大值,所以当3dx时, f (x)为最大,这时相应的高.d36d32xd22d时,横梁最坚固.36高为,3d即当加工的横梁底长为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页