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1、名师总结优秀知识点第一讲因式分解一，知识梳理1. 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例：111()333axbxx ab因式分解，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2. 因式分解的方法：（1）提公因式法：定义： 如果多项式的各项
2、有公因式 ，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式： 多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。系数 取各项系数的最大公约数字母 取各项都含有的字母指数 取相同字母的最低次幂例：333234221286a b ca b ca b c的公因式是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页名师总结优秀知识点解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分33323422,a b
3、 c a b ca b c都含有因式32a b c，故多项式的公因式是232a b c. 提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。注意： 提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。例 1：把2233121824a baba b分解因式 . 解析：本题的各项系数的最大公约数是6， 相同字母的最低次幂是ab， 故公因式为6ab。解：2233121824a baba b226(234)ababa b例 2：把多项式3(4)(4)xxx分解因式解
4、析：由于4(4)xx，多项式3(4)(4)xxx可以变形为3(4)(4)xx x, 我们可以发现多项式各项都含有公因式（4x）, 所以我们可以提取公因式（4x）后,再将多项式写成积的形式. 解：3(4)(4)xxx=3(4)(4)xx x=(3)(4)x x例 3：把多项式22xx分解因式解：22xx=2(2 )(2)xxx x（2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页名师总结优秀知识点2222233223322.()
5、().2().()().()()aabab abbabbabcabab aabbdabab aabb逆用平方差公式：逆用完全平方公式： a逆用立方和公式：（拓展）逆用立方差公式：（拓展）注意 ：公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。例 1：因式分解21449aa解：21449aa=2(7)a例 2：因式分解222 ()()aa bcbc解：222 ()()aa bcbc=2()abc（3）分组分解法（拓展）将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式1abab分解因式解
6、：1abab=()(1)abab=(1)(1)(1)(1)a bbab将多项式分组后能运用公式进行因式分解. 例：将多项式2221aabb因式分解解：2221aabb=222(2)1()1(1)(1)aabbababab（4）十字相乘法 （形如2()()()xpq xpqxpxq形式的多项式，可以考虑运用此种方法）方法：常数项拆成两个因数pq和，这两数的和pq为一次项系数2()xpq xpqxpxq精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页名师总结优秀知识点2()()()xpq xpqxpxq例：分解因式230 xx分解因式
7、252100 xx补充点详解补充点详解我们可以将 -30 分解成 p q 的形式，我们可以将100 分解成 pq 的形式，使 p+q=-1, p q=-30, 我们就有p=-6, 使 p+q=52, p q=100, 我们就有p=2, q=5 或 q=-6,p=5 。 q=50或 q=2,p=50 。所以将多项式2()xpq xpq可以分所以将多项式2()xpq xpq可以分解为()()xpxq解为()()xp xqx5 x2 x-6 x50 230 xx(6)(5)xx252100 xx(50)(2)xx3. 因式分解的一般步骤：如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公
8、式法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、 “二套” 、 “三分组”、 “四十字”。注意 ：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。一、 例题解析提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：系数 取多项式各项系数的最大公约数；字母 ( 或多项式因式) 取各项都含有的字母( 或多项式因式) 的最低次幂 . 精选学习资料 - -
9、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页名师总结优秀知识点【例1】分解因式：2121510nna abab ba( n 为正整数 ) 212146nmnmabab( m 、 n 为大于 1 的自然数 ) 【巩固】 分解因式：2122()()()2()()nnnxyxzxyyxyz ， n为正整数 . 【例2】先化简再求值，2y xyxyxyx ，其中2x，12y【巩固】 求代数式的值：22(32) (21)(32)(21)(21)(23 )xxxxxxx ，其中23x. 【例3】已知：2bca，求22221()()(222 )33333a abcbcabcbca 的值 . 【巩固】 分解因式：322()()()()()xxyzyzax z zxyx y zxyxza . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页