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1、因式分解知识点归纳总结二概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。意义： 它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。分解因式与整式乘法互为逆变形。因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材
2、中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=-x(3x-1)）基本方法提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
3、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“ -” 号，使括号内的第一项的系数成为正数。 提出 “ -” 号时，多项式的各项都要变号。口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。例如： -am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y
4、)(a-b)。注意：把2a2+1/2变成 2(a2+1/4)不叫提公因式公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式 )的平方和的形式，另一项是这两个数(或式 )的积的2 倍。立方和公式： a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式： a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a3 3a2b3ab2 b3=(a b)3公式： a3+b3+c3+3abc=(a+b
5、+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 例如： a2+4ab+4b2=(a+2b)2。（3）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。2.分解因式技巧掌握：等式左边必须是多项式；分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因
6、式前，应从系数和因式两个方面考虑。3.提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。竞赛用到的方法分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。比如：ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(
7、x+y) =(a+b)(x+y) 我们把ax 和 ay 分一组， bx 和 by 分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。同样，这道题也可以这样做。ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - =(a+b)(x+y) 几道例题：1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法： =5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 说明：系数不一样一样可以做分
8、组分解，和上面一样，把5ax 和 5bx 看成整体，把3ay 和 3by 看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。2. x3-x2+x-1 解法： =(x3-x2)+(x-1) =x2(x-1)+(x-1) =(x-1)(x2+1) 利用二二分法，提公因式法提出x2 ，然后相合轻松解决。3. x2-x-y2-y 解法： =(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。十字相乘法这种方法有两种情况。x² +(p+q )x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二
9、次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1 的二次三项式因式分解：x² +(p+q )x+pq=(x+p)(x+q) kx² +mx +n 型的式子的因式分解如果有k=ac ，n=bd ，且有ad+bc=m时，那么kx² +mx +n=(ax +b)(cx +d)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 图示如下： c d 例如
10、：因为1 -3 7 2 -3 7=-21 ，12=2 ，且 2-21=-19 ，所以 7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中拆项、添项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+
11、b)(c-a)(a+b)配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如： x² +3x-40 =x² +3x+2.25-42.25 =(x+1.5)²-(6.5)² 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - =(x+8)(x
12、-5)应用因式定理对于多项式f(x)=0 ，如果f(a)=0 ，那么f(x) 必含有因式x-a例如： f(x)=x²+5x+6 ，f(-2)=0 ，则可确定x+2 是 x² +5x+6 的一个因式。 (事实上， x² +5x+6=(x+2)(x+3) 注意： 1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p （p,q 为互质整数时）该多项式值为零，则q 为常数项约数，p 最高次项系数约数；2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c 为常数项，则有a 为 c/b 约数换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换
13、回来，这种方法叫做换元法。注意 :换元后勿忘还元. 例如在分解(x² +x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则原式 =(y +1)(y +2)-12 =y² +3y+2-12=y²+3y-10 =(y +5)(y-2) =(x²+x+5)(x²+x-2) =(x²+x+5)(x+2)(x-1)也可以参看右图。求根法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 -
14、- - - - - - - - 令多项式f(x)=0, 求出其根为x1， x2，x3，xn ，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3) (x -xn) 例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x4 +7x3-2x2-13x+6=0，则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2， 1所以 2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)图象法令 y=f(x) ，做出函数y=f(x) 的图象，找到函数图像与X 轴的交点x1 ,x2 ,x3, xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3
15、) (x-xn) 与方法相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。例如在分解x3 +2x2-5x-6时，可以令y=x3; +2x2 -5x-6. 作出其图像，与x 轴交点为 -3， -1，2 则 x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。特殊值法将 2 或 10 代入 x，求出数p，将数p 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2 或 10 的和与差的形式，将2 或 10 还原成x，即得因式分解式。例如在分解x3+9x2+23x+15时，令x=2 ，则x3 +9x2+23x+15=8
16、+36+46+15=105，将 105 分解成3 个质因数的积，即105=3 57 注意到多项式中最高项的系数为1，而 3、5、7 分别为x+1 ，x+3 ，x+5 ，在x=2 时的值，则 x3+9x2+23x+15可能等于 (x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。待定系数法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例如在分
17、解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1 ，ac+b+d=-5，ad+bc=-6 ，bd=-4 解得 a=1 ，b=1 ， c=-2 ，d=-4 则 x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)也可以参看右图。双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下: ax2+bxy+cy2+dx+ey+
18、f x、y 为未知数，其余都是常数用一道例题来说明如何使用。例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。解：图如下，把所有的数字交叉相连即可x 2y 2 x 3y 6 原式 =(x+2y+2)(x+3y+6)双十字相乘法其步骤为：先用十字相乘法分解2 次项， 如十字相乘图中x2+5xy+6y2=(x+2y)(
19、x+3y) ；先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图，这一步不能省，否则容易出错。多项式因式分解的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。也可以用一句话来概括：“ 先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”几道例题1分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+
20、x4(1-y)2解：原式 =(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（补项）=(1+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方）=(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - =(1+y)+x2(1-y)+2x(1+y)+x2(1-y)-2x =(x2-x2y+2x+y+1)(x2
21、-x2y-2x+y+1) =(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1) =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2求证：对于任何实数x,y ，下式的值都不会为33 ：x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5解：原式 =(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5) =x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y) =(x+3y)(x4-5x2y2+4y4) =(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)（分解因式的过程也可以参看右图。）当 y
22、=0 时，原式 =x5 不等于33 ；当 y 不等于0 时， x+3y ，x+y ，x-y ，x+2y ，x-2y 互不相同，而33 不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。3. ABC 的三边a、b、c 有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明： -c2+a2+2ab-2bc=0，(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0(a-c)(a+2b+c)=0a、b、c 是 ABC 的三条边，a2b c0ac0，即 ac， ABC 为等腰三角形。4把 -12x2n yn+18x(n+2)y(n+1
23、)-6xny(n-1) 分解因式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 解： -12x2n yn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1) =-6xny(n-1)(2xny-3x2y2+1)因式分解四个注意：因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“ 公”先提 “ 公 ” ，某项提出莫漏1，括号里面分到“ 底” 。现举下例可供参考例 1 把 a2 b2 2ab 4 分解因式。解： a
24、2 b2 2ab 4（ a2 2ab b2 4）（ ab2）（ ab2）这里的 “ 负” ，指 “ 负号 ” 。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如9x2 4y2 （ 3x ）2（ 2y）2（ 3x2y ）（ 3x2y ）（ 3x2y ）（ 3x 2y）的错误例 2 把 12x2 yn18xn 2yn 16xnyn 1 分解因式。解：12x2nyn18xn 2yn 16xnyn 1 6xnyn 1（ 2xny 3x2y2 1）这里的 “ 公” 指“ 公因式 ” 。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是
25、指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“ 干净 ” ，不留 “ 尾巴 ” ，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2 5x2y2 9y2 y2（4x4 5x2 9） y2（x21）（ 4x2 9）的错误。考试时应注意：在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“ 先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要
26、合适” 是一脉相承的。因式分解的应用1、应用于多项式除法。2、应用于高次方程的求根。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 3、应用于分式的运算。因式分解练习题(1) ()()()()mnpqnmpq(2) 22()()m mnn nm(3) 44xy(4) 22(32 )()mnmn(5) 1132nnnxxx(6) 3221516xx yxy(7) 3214yyy(8) 8182x(9) 3133xx(10) 2
27、3()6()24xyxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - (11) 22144baba(12) (4 )()ababab(13) 2412625aa(14) 42()()20 xyxy(15) 2222(328)(28)xxxx(16) 222(2 )2(2 )1xxxx(17) 2(2)(3)4xxx(18) 222(2 )7(2 )8xxxx(19) 2()16()xabba(20) 22222(9)36x
28、yx y名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - (21) 2(1)(21)xxyy(22) 22(76)(78)45xxxx(23) 22222(1)4aba b(24) 222(1)2ababab(25) (1)(2)(3)(4)24xxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -