《2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习34：反证法 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习34：反证法 .pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、中考数学复习资料，精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持，感激不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（34）反证法一、内容提要1. 反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：ABAB例如原命题：对顶角相等 (真命题 ) 逆否命题：不相等的角不可能是对顶角(真命题 ) 又如原命题：同位角相等，两直线平行 ( 真命题 ) 逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等(真命题 ) 3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤： 反设假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立） 归谬
2、推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾） 结论从而得出命题结论正确例如：求证两直线平行。用反证法证明时 假设这两直线不平行； 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；从而肯定，非平行不可。二、例题例 1 两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图 12 A 1 B 求证： AB CD 证明：设 AB与 CD不平行C 2 D 那么它们必相交，设交点为M D 这时， 1 是GHM 的外角A 1 M B 12 G 这与已知条件相矛盾2 AB与 CD不平行的假设不能成立H AB CD C 例 2. 求证两条直线相交只有一个交点精选学习资料 - - - - - - - -
3、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步推出矛盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待） 。例 3. 已知： m2是 3 的倍数，求证： m 也是 3 的倍数证明：设 m 不是 3 的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或 m= 3k+2 (k是整数 ) 当m=3k+1时，m2（3k+1）29k2+6k+1=3(3k2+2k)+1 当m=3k+2时，m
4、2（3k+2）29k212k+4=3(3k2+4k+1)+1 即不论哪一种，都推出m2不是 3 的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。m2是 3 的倍数时， m 也是 3 的倍数例 4. 求证：2不是有理数证明：假设2是有理数，那么2ba（a,b 是互质的整数），ba=2, （ba）22， a2=2b2, a2是偶数，a2是偶数，a 也是偶数，设 a=2k（k 是整数） , a2=4k2, 由 a2=2b2, 得 b2=21a2=2k2, b2是偶数，b 也是偶数那么 a、b 都是偶数，这和“ a,b 是互质数”的条件相矛盾，故假设不能成立2不是有理数例 5. 若 n 是正整数，则分数
5、314421nn是既约分数（即最简分数，分子与分母没有公约数）证明：设314421nn不是既约分数，那么它的分子、分母有公约数，设公约数为k（k1）, 且 k,a,b都是正整数，即143214314421bknaknbknakn214ak143bk，3bk-2ak=1 , (3b-2a)k=1 整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是1 时，积才能等于 1 3b-2a=1, k=1 分子、分母有公约数的假设不能成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页因此分数314421nn是既约分数三、练习 34 1. 写出下
6、列各命题结论的反面：2. 已知：平面内三个点A，B，C满足 AB BC AC ，求证： A，B，C三点在同一直线上3. 求证：等腰三角形的底角是锐角4. 求证：一个圆的圆心只有一个5. 求证：三角形至少有一个内角大于或等于 60 度6. 如果 a2奇数，那么 a 也是奇数（仿例 3）7. 求证：没有一个有理数的平方等于3 ( 仿例 4) 8. 已知 a,b,c都是正整数，且 a2+b2=c2( 即 a,b,c 是勾股数 ) 求证 a,b,c 至少有一个偶数 a,b,c中至少有一个能被3 整除9. 求证二元一次方程8x+15y=50没有正整数解10.求证 方程 x2+y2=1991 没有整数解1
7、1.把 1600 粒花生分给 100 只猴子，至少有 4 只猴子分得的花生一样多12.已知：四边形 ABCD 中，AB+BD AC+CD 求证： ABn或 m0, n=1,2,3 但这时 m都不是整数，7.设有整数解 x=a, y=b 按奇数、偶数分类讨论右边 1991是奇数，显然， a,b 不能同偶数，也不能同奇数，设 a,b 一奇一偶， a=2m, b=2n+1 (m,n 都是整数 ) 那么左边（ 2m ）2+(2n+1)24(m2+n2+n)+1 即左边是除以 4 余 1，而右边是除以4余 3，11.反设：最多只有 3 只猴子分得一样多，13.设两个交点（ x1,0 ）,(x2,0) 都
8、在 X轴的正半轴上，即x10, x20 那么 x1x20,且 x1x20 003mm这个不等式组无解，即这个假设不能成立，14.设有有理数根mn（n 是整数， m是正整数且 m,n 是互质的）即 a(mn)2+b(mn)+c=0, m,n不能同偶数外，按奇数、偶数分3类讨论，逐一否定。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页15.设点 A和其他 6 个点 B，C ，D，E，F，G的距离都小于这 6 个点彼此这间的距离（如图）在ABC 中， BC AB且 BC AC ，BAC 60同理CAD 60 这与 1 周角 360 相矛盾16. 设则10 且20ABCDEFG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页