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1、第十一章：全等三角形一、基础知识1. 全等图形的有关概念（1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。例如：图 13-1 和图 13-2 就是全等图形图 13-1 图 13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。例如：图 13-3 和图 13-4 中的两对多边形就是全等多边形。图 13-3 图 13-4 （3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形， 经过运动而重合， 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。（4）全等多边形的表示例 如 ： 图 13-5 中 的两 个 五 边 形 是 全 等 的 ， 记 作
2、 五 边 形 ABCDE 五 边 形ABCDE（这里符号“”表示全等，读作“全等于”） 。图 13-5 表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。A B D C E BACDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。2. 全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。（2）根据 SSS 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。相似三角形的识别法
3、中有一个与（SSS ）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1 时，就成为全等三角形。（3）根据 SAS 如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS ）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为 1 时，即为全等三角形。（4）根据 ASA 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。（5）根据 AAS 如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。3. 直角三角形全等的识别（1）根据 HL 如果两个直角三角形的斜
4、边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。（2）SSS 、SAS 、ASA 、AAS对于直角三角形同样适用。判断两个直角三角形全等的方法可分为：已知一锐角和一边或已知两边。4. 证明三角形全等的方法证明三角形全等的一般方法有四种： “SSS ” 、 “SAS ” 、 “ASA ” 、 “AAS ” 。每一种都有给出三个独立的条件， 在具体问题中， 题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。判定方法的选择：已知条件可选择的判定方法一边对应一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS SSS 具体地说，证明角相等的常用方法有：对
5、顶角相等；两直线平行，同位角、内错精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页角相等；同角（或对角）的余角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的等量代换等。证明线段相等的方法有：同一线段；中点的定义；平行四边形的对边；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。为什么“AAA ”和“SSA ”不能判定两个三角形全等？这是因为有三个角相等，但边不一定相等，则三角形不一定全等， 如图 13-6， 可以看出 ABC不全等于 ADE ；同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图13-7，AB=AB,AC=AD, B=B
6、，但 ABC与ABD 不全等。图 13-6 图 13-7 5. 证明两个三角形全等如何入手证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。（1）综合法，就是从已知条件入手，进行推理，逐步向要证的结论推进，如从已知条件中推导出对应边或对应角相等，从而推导出三角形全等。 同时，也可以从三角形全等推导出对应边、对应角的相等，达到正题的目的。（2）分析法，即从欲证的结论出发，分析结论成立的必需条件，各种条件联系已知，寻找它们之间的关系， 逐步靠拢已知条件， 从而分析出已知与结论的因果关系。证题时，分析法与综合法结合起来使用更加有效，证三角形全等时， 既要有明显的已知条件， 又要有隐藏的条件， 通
7、过综合法罗列已知条件， 再通过分析法找出隐藏条件，从而得证。二、经典例题例 1： （1）已知一个三角形有两边的长分别为2cm ，13cm ，又知这个三角形的周长为偶数，求第三边长。（2）在 ABC中，已知 A+C=2B,C-A=80，求 C 。 考点透视 （1）考察三边关系的应用； （2）考察三角形内角和定理 参考答案 解：（1）设第三边为 xcm，则132132x即1115x周长Lxx21315的范围是1511151515x即 2730L又 L 为偶数L28Lx1528A B D E C A D C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
8、-第 3 页，共 27 页A E 66 54 B D C x13即第三边长为 13cm （2）ACB2ABCACBBBB()23180B60ACB2120又CA80由ACCA12080得AC20100C100例 2：已知，在 ABC中，AD是角平分线，B66，C54，DEAC于 E，求：ADB和ADE 考点透视 考察三角形内角和定理及推论、角平分线、高线的性质 参考答案 解：由三角形内角和定理，得BACBC180180665460()又 AD 平分BACCADBAC12126030ADBCADC305484（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）在Rt ADE中ADECAD909030
9、60（直角三角形的两个锐角互余）例 3：已知：在ABC和A B C中AABBCD AB，于 D，C DA B于 D ，且 CDC D求证：ABCA B C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页A AD DB C B C 考点透视 如果两个三角形有两个角和这两个角夹边的高对应相等，那么这两个三角形全等。 参考答案 证明：在 Rt ADC 和 Rt A D C中AAADCA D CCDC D90Rt ADCRt A D CAAS()ACA C（全等三角形对应边相等）在ABC和A B C中AABBACA CABCA B CA
10、AS()三适时训练（一）精心选一选1在 ABC中， A:B:C=1:2:3 ，且 ABC DEF ，BC=EF ，点 A 的对应顶点是 D，下列说法正确的是（）A. C与F互余 B. C与D互余C. B与F互余 D. A与E互余2如图， ABC中，AB=AC ，CE 、BD分别是 AB 、AC边上的中线， AM CE于 M ，AN BD于 N，则图中全等三角形共有（）A. 3 对 B. 4对 C. 5对 D. 6对3如图， ACD 中，AB CD且 BD CB ，BCE和ABD都是等腰 Rt，下列结论 ABC DBE ； ACB ABD ； CBE BED ； ACE ADE ；精选学习资料
11、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页正确的是（）A. B. C. D. 4如图， ABE和ADC是ABC分别沿 AB ，AC边翻折 180形成的，若 1:2: 3=28:5:3 ，则度数为（）A. 60 B. 70 C. 80 D. 905下列命题正确的是（）A. 两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等B. 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等C. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D. 一条直角边和斜边上的高对应相等的两个Rt全等6. 在ABC 内部取一点 P 使得点 P 到ABC 的三边距离相等，则点
12、P 应是ABC 的哪三条线交点（）（A）高（B）角平分线（C）中线（D）垂直平分线已知7. 下列条件能判定 ABC DEF 的一组是（）（A）A=D， C=F， AC=DF （B）AB=DE ， BC=EF，A=D （C）A=D， B=E，C=F（D）AB=DE ，ABC 的周长等于 DEF 的周长（二）细心填一填1如图 2-1，一长方形 ABCD 纸片，以 EF为折痕折叠，点B落在点 M ，EN是MEC 的角平分线，则 FEN= 2如图 2-2，在 ABC中， BAC:ABC:ACB=3:5:10，且 ABC ，则 1:2= 3如图 2-3 ，若 ABC ADE ，E=C，1=20，则 2=
13、 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页4如图 2-4，在正方形 ABCD 中，E是 AD中点，F 是 BA延长线上一点， AB=2AF ，在图中可通过（填“平移”， “翻折” ，或“旋转”）使 ABE变到ADF的位置，这时 BE与 DF之间的位置关系是5 如图 2-5， ABC中， C=90 ， AC=BC ， AD平分 CAB ， DE AB于 E， 若 AB=4cm ，则BDE的周长是6. 已知，如图 2-6，AD=AC ，BD=BC ，O为 AB上一点，那么，图中共有对全等三角形7. 如图2-7 ， ABC A
14、DE ，则， AB= ， E=若BAE=120 ， BAD=40 ，则 BAC= 8. 在ABC和ABD中， C= D=90 ，若利用“ AAS ”证明 ABC ABD ，则需要加条件或； 若利用“ HL”证明 ABC ABD ，则需要加条件，或9. 把两根钢条 AA? 、BB? 的中点连在一起， 可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳） ， 如图 2-9， 若测得 AB=5厘米，则槽宽为米。10. 工人师傅砌门时， 如图所示，常用木条 EF固定矩形木框 ABCD ， 使其不变形，这是利用，用菱形做活动铁门是利用四边形的。图 2-1 图 2-2 图 2-3 精选学习资料 - - - - - -
15、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页图 2-4 图 2-5 图 2-6 图 2-7 图 2-9 图 2-10 三、认真答一答1如图， AB=AD ，AC=AE ，且 DAB= CAE ，BE与 CD交于点 P，AP的延长线交BC于 F，试判断 BPF与CPF的关系，并加以证明。2如图， AM为ABC的中线， AE AB ，AF AC ，且 AE=AB ，AF=AC ，MA的延长线交 EF于点 P，求证： AP EF。3. 已知：如图， C 为 BE 上一点，点 A 分别在 BE 两侧.ABED,AB=CE,BC=ED. 求证:AC=CD. 4已知：如图
16、，OP 是 AOC 和 BOD 的平分线， OA=OC，OB=OD. ACEDB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页求证： AB=CD5我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于O，若60A，12DCBEBCA，请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC中，如果A是不等于60o的锐角
17、，点D、E分别在AB、AC上，且12DCBEBCA，探究： 满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论 . 6. 已知：如图，BD 为平行四边形ABCD 的对角线， O 为 BD 的中点， EFBD 于点 O，与 AD 、 BC 分别交于点E、F。求证： DE=DF 。7如图，在O 中， D、E 分别为半径OA 、OB 上的点，且AD BE点 C 为弧 AB 上一点，连接CD、CE 、CO ， AOC BOC 求证： CD CE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页8如图，已知在 ABC 中 AB=AC
18、， D 为 BC 边的点 D 作 DE AB,DF AC,垂足分别为E、F。（1）求证： BED CFD; （2）若 A=90 ，求证：四边形DFAE 是正方形。9如图，已知ABC 为等边三角形，点D、E 分别在 BC 、AC 边上，且AE=CD ， AD 与BE 相交于点F(1)求证： ABE CAD ；(2)求 BFD 的度数10. 八（ 1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B 的距离，设计了如下方案：（）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B 的点 C，连接 AC、BC，并分别延长 AC 至 D，BC 至 E，使 DC=AC ，EC=BC ，最后测出DE 的距离即为AB 的
19、长；（）如图2，先过 B 点作 AB 的垂线 BF，再在 BF 上取 C、D 两点使 BC=CD ，接着过D 作 BD 的垂线 DE ，交 AC 的延长线于E，则测出DE 的长即为AB 的距离 . 图 1 图 2 阅读后回答下列问题：（1）方案（）是否可行？请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页A E D 2 4 B F C 3 1 （2）方案（）是否可行？请说明理由。（3）方案（）中作BFAB，ED BF 的目的是；若仅满足 ABD= BDE 90，方案（）是否成立？.11. 已知，如图AB/CD ，B
20、E、CE 分别是ABC、BCD的平分线，点E 在 AD 上，求证：BCABCD12. 一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图所示形式，使点B，F， C， D 在同一条直线上（1）求证： AB ED（2）若 PBBC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明13如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O. 请找出图中的一对全等三角形，并给予证明. E F M B C P N D A B E D C F 0 3D，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页14. 如图，
21、直线l 切 O 于点 A，点 P 为直线 l 上一点，直线PO 交 O 于点 C、B，点 D 在线段 AP 上，连结DB ，且 AD=DB （1）求证： DB 为 O 的切线（2）若 AD=1 ，PB=BO ，求弦 AC 的长. 15. 已知：如图，直径为OA的M与x轴交于点OA、 ，点BC、把?OA分为三等份，连接MC并延长交y轴于点(0 3)D，（1）求证：OMDBAO；（2）若直线l：ykxb把M的面积分为二等份，求证：30kbABCDOy x C B A M O 4 2 1 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共
22、27 页16. 如图，四边形ABCD 是矩形， PBC 和 QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点 Q 在矩形内求证：（1） PBA= PCQ=30 ； （2）PA=PQ 17. 如图，O是RtABC的外接圆，点O在AB上，BDAB，点B是垂足，ODAC，连接CD求证：CD是O的切线D B A O C A C B D P Q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页18.ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点BC、重合），ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线ABA
23、C、于点FG、，连接BE（1）如图（ a）所示，当点D在线段BC上时求证：AEBADC；探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示， 当点D在BC的延长线上时， 直接写出 （1）中的两个结论是否成立？（3）在（ 2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由19. 如图，CF、在BE上，ADACDFBFEC，求证：ABDEA G C D B F E 图（ a）A C B F E G 图（ b）A B C F E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页20. 如图，在
24、 ABE 中， AB AE,AD AC, BAD EAC, BC 、DE 交于点 O. 求证： (1) ABC AED ；(2) OB OE . 21. 如图，在Rt ABC 中， C=90，以 BC 为直径作 O 交 AB 于点 D，取 AC 的中点E，连结 DE、 OE（1）求证： DE 是 O 的切线；（2）如果 O 的半径是1.5cm，ED=2cm ，求 AB 的长22. 如图，ABCD 是正方形 G 是 BC 上的一点， DE AG 于 E，BFAG 于 F（1）求证：ABFDAE；（2）求证：DEEFFB23. 如图 9， 若 ABC 和 ADE 为等边三角形， M ， N 分别
25、EB， CD 的中点， 易证：CD=BE ，AMN 是等边三角形OCEBDAB A D O C A D E F C G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页（1） 当把 ADE 绕 A 点旋转到图10 的位置时， CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； （4 分）（2）当 ADE 绕 A 点旋转到图11 的位置时， AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时， ADE 与 ABC 及 AMN 的面积之比；若不是，请说明理由。24. 如图 9， P 是 BAC 内的一点
26、，PEABPFAC， 垂足分别为点EF， ，AFAE求证： （1）PFPE；（2）点 P 在 BAC 的角平分线上25. 已知：如图，在RtABC 和 Rt BAD 中， AB 为斜边， AC=BD ，BC ，AD 相交于点 E(1) 求证： AE=BE ；(2) 若 AEC=45 ， AC=1 ，求 CE 的长 EDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页参考答案（一）精心选一选1. D 2. C 3. B 4. C 5. D 6.B 7.A （二）细心填一填1. 902. 1:4 3. 204. 旋转；垂直5
27、. 4cm 6.3 7.AD ， C，80 8. CAB= DAB ， CBA= DBA ， AC=AD ，BC=BD 9. 5 厘米10. 三角形的稳定性，不稳定性（三）认真答一答1. 相等，过 A 作 AM DC ，AN BE，证明 DAC BAE ，所以利用全等三角形的对应高相等得到AM=AN ，所以 BPF= CPF 2. 延长 AM 至 N，使 MN=AM，证明 AMC NMB ，所以 AC=NB ，再证明 EAF ABN ，得到 E= BAN ，因为 BAN+ EAP=90 ，所以 E+EAP=90 ，所以APEF 3证明：ABEDQ，BE在ABC和CED中，ABCEBEBCED，
28、ABCCEDACCD4、证明：OP 是 AOC 和 BOD 的平分线，,AOPCOPBOPDOPAOBCOD在AOB和COD中，,OAOCAOBCODOBODAOBCODABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页5、解：（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可（ 2）与 A 相等的角是BOD （或 COE ）四边形 DBCE 是等对边四边形. （ 3）此时存在等对边四边形DBCE. 证明 1：如图，作CGBE 于 G 点，作 BFCD 交 CD 的延长线于F 点. DCB= EBC=12A，BC 为公共边 BG
29、C CFB BF=CG BDF= ABC+ DCB= ABE+ EBC+ DCB= ABE+ A GEC= ABE+ A BDF CEG BD=CE 故四边形DBCE 是等对边四边形. 证明 2：如图，在BE 上取一点F，使得 BF=CD ，连接 CF. 易证 BCD CBF ，故 BD=CF ， FCB= DBC. CFE= FCB+ CBF= DBC+ CBF= ABE+2 CBF= ABE+ A CEF= ABE+ A CF=CE BF=CE 故四边形DBCE 是等对边四边形. 6证法一：在平行四边形ABCD 中， AD/BC OBF= ODE O 为 BD 的中点 OB=OD 在 BO
30、F 和 DOE 中OBFODEOBODBOFDOE BOF DOE OF=OE EFBD 于点 O DE=DF 证法二： O 为 BD 的中点BO=DO EFBD 于点 O BF=DF BFO= DFO 在平行四边形ABCD 中， AD/BC BFO= DEO DEO= DFO DE=DF 7证明： OA=OB AD=BE OA-AD=OB-BE即 OD=OE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页在 ODC 和 OEC 中OCOCEOCDOCOEOD ODC OEC CD=CE 8 （1） DEAB,DF AC,
31、BED= CFD=90 , AB=AC, B=C, D 是 BC 的中点 , BD=CD BED CFD. （ 2） DEAB,DF AC AED= AFD=90 A=90四边形DFAE 为矩形 BED CFD DE=DF 四边形DFAE 为正方形9。 （ 1）证明：ABC 为等边三角形 BAC= C=60, AB=CA, 在 ABE 和 CAD 中AB=CA, BAE= C, AE=CD ABE CAD （ 2）解 BFD= ABE+ BAD 又 ABE CAD ABE= CAD BFD= CAD+ BAD= BAC=60 10 （1）可以；（2）可以；（3）构造三角形全等，可以11. AB
32、/CD ABCBCD180又 BE、CE 平分ABCACD，EBCABCECBBCD1212，EBCECBABCBCD121218090()BEC90（三角形内角和定理）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27 页在 BC 上取 BFBA ，连结 EF 在ABE和FBE中ABFBABEFBEBEBEABEFBE SAS()12（全等三角形对应角相等）13180BEC131801809090BEC又，24901234（等量代换）在CFE和CDE中FCEDCECECE()角平分线定义43CFECDE ASA()CDCF（全等三
33、角形对应边相等）BCBFCFABCD12. （ 1）由于 ABC 与 DEF 是一张矩形纸片沿对角线剪开而得到两张三角形，所以ABC DEF ， 所以 A D， 在ANP 和DNC 中， 因为 ANP DNC ， 所以 APN DCN ，又 DCN 90 ，所以 APN 90 ，故 AB ED（ 2）答案不唯一，如ABC DBP ；PEM FBM ； ANP DNC 等等以ABC DBP 为例证明如下：在ABC与DBP 中，因为 A D， B B，PBBC ，所以 ABC DBP 13.例： AOB COD. 证明：四边形ABCD 为平行四边形，OA=OC ，OB=OD ，又 AOB= COD
34、 ， AOB COD. 14 （1）证明 : 连结 OD PA 为 O 切线 OAD = 90精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 27 页 OA=OB ，DA=DB ，DO=DO ， OAD OBD OBD= OAD = 90，PA 为 O 的切线（ 2）解：在RtOAP 中， PB=OB=OA OPA=30 POA=60 =2C ，PD=2BD=2DA=2 OPA= C=30 AC=AP=3 15. 证明：（ 1）连接BM，BC、把?OA三等分，1560，又OMBM，125302，又 OA 为M直径，90ABO，12AB
35、OAOM，360，13，90DOMABO，在OMD和BAO中，13.OMABDOMABO，OMDBAO（ASA）（ 2）若直线l把M的面积分为二等份，则直线l必过圆心M，(0 3)D，160，33tan603ODOM，(3 0)M，把( 3 0)M，代入ykxb得：30kb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页A C B D P Q 16. 证明： (1)四边形 ABCD 是矩形，ABC= BCD=90 PBC 和 QCD 是等边三角形，PBC= PCB= QCD=60 ，PBA= ABC PBC=30 ，PCD=
36、BCD PCB=30 PCQ= QCD PCD=30 PBA= PCQ=30 (2)AB=DC=QC， PBA= PCQ ， PB=PC ，PAB PQC，PA=PQ 17. 证明：连接COODACCODACOCAODOBQ，ACOCAOCODDOBQ又ODODOCOB，CODBOD90OCDOBDOCCD，即CD是O的切线18. （1）证明：ABC和ADE都是等边三角形，60AEADABACEADBAC，又EABEADBAD，DACBACBAD，EABDAC，AEBADC法一：由得AEBADC，60ABEC又60BACC，ABEBAC，EBGCA G C D B F E 精选学习资料 - -
37、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页又EGBC，四边形BCGE是平行四边形法二：证出AEGADB，得EGABBC由得AEBADC得BECG四边形BCGE是平行四边形（ 2）都成立（ 3）当CDCB（2BDCD或12CDBD或30CAD或90BAD或30ADC）时，四边形BCGE是菱形理由：法一：由得AEBADC，BECD又CDCB，BECB由得四边形BCGE是平行四边形，四边形BCGE是菱形法二：由得AEBADC，BECD又四边形BCGE是菱形，BECBCDCB法三：四边形BCGE是平行四边形，精选学习资料 - - - - - - -
38、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 27 页BECGEGBC，6060FBEBACFABC ，60FFBE，BEF是等边三角形又ABBC，四边形BCGE是菱形，ABBEBF，AEFG30EAG，60EAD，30CAD19. 证明：ACDFQ，ACEDFB，ACBDFE又BFEC，BFCFECCF，即BCEF又AD，ABCDEFABDE20. 证明： (1) BAD EAC BAC= EAD 在 ABC 和 AED 中A B C F E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 27 页ABAEBA
39、CEADACAD ABC AED(SAS) (2)由(1)知 ABC= AED AB=AE ABE= AEB OBE= OEB OB=OE 21. 证明： （1）连结 OD由 O、E 分别是 BC、 AC 中点得 OE AB 1=2， B= 3，又 OB=OD 2=3而 OD=OC ，OE=OE OCE ODE OCE= ODE 又 C=90 ，故 ODE =90 DE 是 O 的切线（ 2）在 RtODE 中，由32OD，DE=2 得52OE又 O、E 分别是 CB、CA 的中点AB=2 5252OE所求 AB 的长是 5cm22. 证明： （1） DE AG ，BFAG ， AED= AF
40、B=90 ABCD 是正方形， DE AG， BAF+ DAE=90 ， ADE+ DAE=90 ， BAF = ADE 又在正方形ABCD 中， AB=AD 在 ABF 与 DAE 中， AFB = DEA=90 ，BAF = ADE ，AB=DA ， ABF DAE （ 2） ABF DAE ， AE=BF ，DE=AF 又 AF=AE+EF ， AF=EF+FB ， DE=EF+FB 23. 解： （1）CD=BE 理由如下 : ABC 和ADE 为等边三角形AB=AC ，AE=AD ， BAC= EAD=60o B A D O C E 1 A D E F C G 精选学习资料 - -
41、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 27 页 BAE = BAC EAC =60o EAC ，DAC = DAE EAC =60o EAC ， BAE= DAC ， ABE ACD CD=BE （2）AMN 是等边三角形理由如下： ABE ACD ，ABE= ACD M、 N 分别是 BE、CD 的中点，BM=1122BECDCNAB=AC ， ABE= ACD ， ABM ACN AM=AN ， MAB= NAC NAM= NAC+ CAM= MAB+ CAM= BAC=60o AMN 是等边三角形设 AD=a ，则 AB=2a AD=AE=
42、DE ，AB=AC ，CE=DE ADE 为等边三角形， DEC=120 o ，ADE=60o ， EDC= ECD=30o ， ADC=90o 在 Rt ADC 中， AD=a ， ACD=30 o ， CD=3aN 为 DC 中点，32DNa， 222237()22ANDNADaaa ADE ， ABC ，AMN 为等边三角形，SADE SABC SAMN7:16:447:4:1)27( :)2( :222aaa解法二： AMN 是等边三角形理由如下： 5 分 ABE ACD ，M 、N 分别是 BE、CN 的中点， AM=AN ，NC=MB AB=AC ， ABM ACN ， MAB=
43、NAC ， NAM= NAC+ CAM= MAB+ CAM= BAC=60o AMN 是等边三角形7 分设 AD=a ，则 AD=AE=DE= a ，AB=BC=AC=2a 易证 BEAC ， BE=aaaAEAB3)2(2222，32EMaaaaAEEMAM27)23(2222 ADE ， ABC ，AMN 为等边三角形SADE SABC SAMN7:16:447:4:1)27( :)2(:222aaaC N D A M C N D A B M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页24证明：（1）如图 1，连结
44、AP，,ACPFABPE AEP= AFP=90又 AE=AF ，AP=AP ，Rt AEP RtAFP ， PE=PF （ 2） RtAEP Rt AFP ， EAP= FAP，AP 是 BAC 的角平分线，故点 P 在 BAC 的角平分线上25. 解： (1) 在 Rt ACE 和 Rt BDE 中， AEC 与 BED 是对顶角，AEC= BED C=D=90 ， AC=BD Rt ACE RtBDE ，AE=BE (2) AEC=45， C=90 ， CAE=45 CE=AC=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 27 页