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1、精选优质文档-倾情为你奉上第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念（1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。例如：图13-1和图13-2就是全等图形 图13-1 图13-2（2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。 图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE五边形ABCDE（这里
2、符号“”表示全等，读作“全等于”）。ABBACCEDED 图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等
3、。相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。（2）SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。判断两个直角三角形全等的方法可分为：已知一锐角和一边或已知两边。4.证明三角形全等的方法证明三角形全
4、等的一般方法有四种：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”。每一种都有给出三个独立的条件，在具体问题中，题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。判定方法的选择：已知条件可选择的判定方法一边对应一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS具体地说，证明角相等的常用方法有：对顶角相等；两直线平行，同位角、内错角相等；同角（或对角）的余角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的等量代换等。证明线段相等的方法有：同一线段；中点的定义；平行四边形的对边；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。为什么“AAA”和“SSA”不能判定两个三角
5、形全等？这是因为有三个角相等，但边不一定相等，则三角形不一定全等，如图13-6，可以看出ABC不全等于ADE；同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图13-7，AB=AB,AC=AD, B=B，但ABC与ABD不全等。AAEDCBDCB 图13-6 图13-75.证明两个三角形全等如何入手证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。（1）综合法，就是从已知条件入手，进行推理，逐步向要证的结论推进，如从已知条件中推导出对应边或对应角相等，从而推导出三角形全等。同时，也可以从三角形全等推导出对应边、对应角的相等，达到正题的目的。（2）分析法，即从欲证的结论出发，分析
6、结论成立的必需条件，各种条件联系已知，寻找它们之间的关系，逐步靠拢已知条件，从而分析出已知与结论的因果关系。证题时，分析法与综合法结合起来使用更加有效，证三角形全等时，既要有明显的已知条件，又要有隐藏的条件，通过综合法罗列已知条件，再通过分析法找出隐藏条件，从而得证。二、经典例题例1：（1）已知一个三角形有两边的长分别为2cm，13cm，又知这个三角形的周长为偶数，求第三边长。（2）在ABC中，已知A+C=2B,C-A=80，求 C。考点透视 （1）考察三边关系的应用；（2）考察三角形内角和定理参考答案 解：（1）设第三边为xcm，则 即 周长的范围是 即 又L为偶数 即第三边长为13cm （
7、2） 又 由 得 例2：已知，在ABC中，AD是角平分线，于E，求：和考点透视 考察三角形内角和定理及推论、角平分线、高线的性质参考答案 解：由三角形内角和定理，得 又AD平分 （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） 在中 （直角三角形的两个锐角互余）例3：已知：在和中 于D，于D，且求证：考点透视 如果两个三角形有两个角和这两个角夹边的高对应相等，那么这两个三角形全等。参考答案 证明：在和中 （全等三角形对应边相等） 在和中 三适时训练（一）精心选一选1在ABC中，A:B:C=1:2:3，且ABCDEF，BC=EF，点A的对应顶点是D，下列说法正确的是（ ）A. C与F互余 B.
8、C与D互余 C. B与F互余 D. A与E互余2如图，ABC中，AB=AC，CE、BD分别是AB、AC边上的中线，AMCE于M，ANBD于N，则图中全等三角形共有（ ）A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对3如图，ACD中，ABCD且BDCB，BCE和ABD都是等腰Rt，下列结论 ABCDBE； ACBABD； CBEBED； ACEADE；正确的是（ ）A. B. C. D. 4如图，ABE和ADC是ABC分别沿AB，AC边翻折180形成的，若1:2:3=28:5:3，则度数为（ ）A. 60 B. 70 C. 80 D. 905下列命题正确的是（ ）A. 两边和第三边上的高对应相等
9、的两个三角形全等B. 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等C. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D. 一条直角边和斜边上的高对应相等的两个Rt全等6. 在ABC内部取一点P使得点P到ABC的三边距离相等，则点P应是ABC的哪三条线交点（ ）（A）高 （B）角平分线 （C）中线 （D）垂直平分线已知7. 下列条件能判定ABCDEF的一组是 （ ）（A）A=D， C=F， AC=DF （B）AB=DE， BC=EF， A=D （C）A=D， B=E， C=F（D）AB=DE，ABC的周长等于DEF的周长（二）细心填一填1如图2-1，一长方形ABCD纸片，以EF为折痕折叠，点
10、B落在点M，EN是MEC的角平分线，则FEN= 2如图2-2，在ABC中，BAC:ABC:ACB=3:5:10，且ABC，则1:2= 3如图2-3，若ABCADE，E=C，1=20，则2= 4如图2-4，在正方形ABCD中，E是AD中点，F是BA延长线上一点，AB=2AF，在图中可通过 （填“平移”，“翻折”，或“旋转”）使ABE变到ADF的位置，这时BE与DF之间的位置关系是 5如图2-5，ABC中，C=90，AC=BC，AD平分CAB，DEAB于E，若AB=4cm，则BDE的周长是 6. 已知，如图2-6，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有 对全等三角形7. 如图2-7
11、，ABCADE，则，AB= ，E= 若BAE=120，BAD=40，则BAC= 8. 在ABC和ABD中，C=D=90，若利用“AAS”证明ABCABD，则需要加条件 或 ； 若利用“HL”证明ABCABD，则需要加条件 ，或 9. 把两根钢条AA?、BB?的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）， 如图2-9， 若测得AB=5厘米，则槽宽为 米。10. 工人师傅砌门时，如图所示，常用木条EF固定矩形木框ABCD，使其不变形，这是利用 ，用菱形做活动铁门是利用四边形的 。 图2-1 图2-2 图2-3 图2-4 图2-5 图2-6 图2-7 图2-9 图2-10三、认真答一答1
12、如图，AB=AD，AC=AE，且DAB=CAE，BE与CD交于点P，AP的延长线交BC于F，试判断BPF与CPF的关系，并加以证明。2如图，AM为ABC的中线，AEAB，AFAC，且AE=AB，AF=AC，MA的延长线交EF于点P，求证：APEF。3. 已知：如图，C 为 BE上一点，点A 分别在BE 两侧.ABED,AB=CE,BC=ED.求证:AC=CD.ACEDB4已知：如图，OP是AOC和BOD的平分线，OA=OC，OB=OD. 求证：AB=CD5我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。 （1）请写出一个你学过的特殊四
13、边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在中，点、分别在、上，设、相交于，若，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； （3）在中，如果是不等于60的锐角，点、分别在、上，且，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.6. 已知：如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EFBD于点O，与AD、BC分别交于点E、F。求证：DE=DF。7如图，在O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且ADBE点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，AOCBOC求证：CDCE8如图，已知在ABC中AB=AC，D为BC边的点D作DEAB,DFA
14、C,垂足分别为E、F。（1）求证：BEDCFD;（2）若A=90，求证：四边形DFAE是正方形。 9如图，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F (1)求证：ABECAD； (2)求BFD的度数10. 八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：（）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；（）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线
15、于E，则测出DE的长即为AB的距离. 图1 图2阅读后回答下列问题：（1）方案（）是否可行？请说明理由。（2）方案（）是否可行？请说明理由。 （3）方案（）中作BFAB，EDBF的目的是 ；若仅满足ABD=BDE90，方案（）是否成立？ .11. 已知，如图AB/CD，BE、CE分别是、的平分线，点E在AD上，求证：EFMBCPNDABEDCF12. 一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图所示形式，使点B，F，C，D在同一条直线上（1）求证：ABED（2）若PBBC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明13如图，在ABCD中，对角线AC、BD相
16、交于点O. 请找出图中的一对全等三角形，并给予证明.14. 如图，直线l切O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交O于点C、B，点D在线段AP上，连结DB，且AD=DB（1）求证：DB为O的切线（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长.15. 已知：如图，直径为的与轴交于点点把分为三等份，连接并延长交轴于点 （1）求证：； （2）若直线：把的面积分为二等份，求证：yxCBAMO421316. 如图，四边形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内求证：（1）PBA=PCQ=30；（2）PA=PQACBDPQ17. 如图，是的外接圆，点在上，点是垂足，连接DB
17、AOC求证：是的切线18. 是等边三角形，点是射线上的一个动点（点不与点重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交射线于点，连接（1）如图（a）所示，当点在线段上时 求证：；探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点在的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？（3）在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理由AGCDBFE图（a）ADCBFEG图（b）19. 如图，在上，ABCFE求证：20. 如图，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于点O.求证：(1) ABCAED； (2) OBOE .21. 如图，
18、在RtABC中，C=90，以BC为直径作O交AB于点D，取AC的中点E，连结DE、OEBADOC（1）求证：DE是O的切线；（2）如果O的半径是1.5cm，ED=2cm，求AB的长22. 如图 ，ABCD是正方形G是 BC 上的一点，DEAG于 E，BFAG于 F （1）求证：； ADEFCG（2）求证：23. 如图9，若ABC和ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，AMN是等边三角形 （1）当把ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分） （2）当ADE绕A点旋转到图11的位置时，AMN是否还是等边三角形？若
19、是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，ADE与ABC及AMN的面积之比；若不是，请说明理由。24. 如图9，P是BAC内的一点，垂足分别为点求证：（1）；（2）点P在BAC的角平分线上 25. 已知：如图，在RtABC和RtBAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E(1) 求证：AE=BE；(2) 若AEC=45，AC=1，求CE的长 参考答案（一）精心选一选1. D 2. C 3. B 4. C 5. D 6.B 7.A（二）细心填一填1. 90 2. 1:4 3. 20 4. 旋转；垂直 5. 4cm 6.3 7.AD，C，808. CAB=DAB，CBA=DBA，AC=AD
20、，BC=BD 9. 5厘米 10. 三角形的稳定性，不稳定性（三）认真答一答1. 相等，过A作AMDC，ANBE，证明DACBAE，所以利用全等三角形的对应高相等得到AM=AN，所以BPF=CPF2. 延长AM至N，使MN=AM，证明AMCNMB，所以AC=NB，再证明EAFABN，得到E=BAN，因为BAN+EAP=90，所以E+EAP=90，所以APEF3证明：， 在和中， 4、 证明： OP是AOC和BOD的平分线， 在和中， 5、解：（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可 （2）与A相等的角是BOD（或COE） 四边形DBCE是等对边四边形. （3）此时存在等对边四边形DBCE.
21、证明1：如图，作CGBE于G点，作BFCD交CD的延长线于F点. DCB=EBC=A，BC为公共边 BGCCFB BF=CG BDF=ABC+DCB=ABE+EBC+DCB=ABE+A GEC=ABE+A BDFCEG BD=CE 故四边形DBCE是等对边四边形. 证明2：如图，在BE上取一点F，使得BF=CD，连接CF. 易证BCDCBF，故BD=CF，FCB=DBC. CFE=FCB+CBF=DBC+CBF=ABE+2CBF=ABE+A CEF=ABE+A CF=CE BF=CE 故四边形DBCE是等对边四边形.6证法一：在平行四边形ABCD中，AD/BCOBF=ODEO为BD的中点OB=
22、OD在BOF和DOE中BOFDOEOF=OEEFBD于点ODE=DF证法二：O为BD的中点BO=DOEFBD于点OBF=DFBFO=DFO在平行四边形ABCD中，AD/BCBFO=DEODEO=DFODE=DF7证明：OA=OB AD=BEOA-AD=OB-BE即OD=OE在ODC和OEC中ODCOECCD=CE8 （1）DEAB,DFAC, BED=CFD=90, AB=AC, B=C, D是BC的中点, BD=CD BEDCFD.（2）DEAB,DFAC AED=AFD=90 A=90 四边形DFAE为矩形 BEDCFD DE=DF 四边形DFAE为正方形9。（1）证明：ABC为等边三角形
23、 BAC=C=60, AB=CA, 在ABE和CAD中 AB=CA, BAE=C, AE=CD ABECAD（2）解 BFD=ABE+BAD 又ABECADABE=CADBFD=CAD+BAD=BAC=6010（1）可以；（2）可以；（3）构造三角形全等，可以11. AB/CD 又BE、CE平分 （三角形内角和定理） 在BC上取BFBA，连结EF 在和中 （全等三角形对应角相等） （等量代换） 在和中 （全等三角形对应边相等） 12. （1）由于ABC与DEF是一张矩形纸片沿对角线剪开而得到两张三角形，所以ABCDEF，所以AD，在ANP和DNC中，因为ANPDNC，所以APNDCN，又DCN
24、90，所以APN90，故ABED（2）答案不唯一，如ABCDBP；PEMFBM；ANPDNC等等以ABCDBP为例证明如下：在ABC与DBP中，因为AD，BB，PBBC，所以ABCDBP13. 例：AOBCOD. 证明：四边形ABCD为平行四边形， OA=OC，OB=OD， 又AOB=COD， AOBCOD. 14（1）证明: 连结OD PA 为O切线 OAD = 90 OA=OB，DA=DB，DO=DO， OADOBD OBD=OAD = 90， PA为O的切线 （2）解：在RtOAP中， PB=OB=OA OPA=30 POA=60=2C ， PD=2BD=2DA=2 OPA=C=30 A
25、C=AP=315. 证明： （1）连接，把三等分， 又， 又OA为直径， ， 在和中， （ASA） （2）若直线把的面积分为二等份， 则直线必过圆心， ， 把 代入得： 16. 证明：(1)四边形ABCD是矩形，ABC=BCD=90PBC和QCD是等边三角形，ACBDPQPBC=PCB=QCD=60，PBA=ABCPBC=30，PCD= BCDPCB=30PCQ=QCDPCD=30PBA=PCQ=30 (2)AB=DC=QC，PBA=PCQ，PB=PC，PABPQC，PA=PQ17. 证明：连接又，即是的切线AGCDBFE18. （1）证明：和都是等边三角形，又，法一：由得，又， 又，四边形是
26、平行四边形法二：证出，得 由得得四边形是平行四边形 （2）都成立（3）当（或或或或）时，四边形是菱形理由：法一：由得，又， 由得四边形是平行四边形，四边形是菱形 法二：由得，又四边形是菱形， 法三：四边形是平行四边形， ，是等边三角形 又，四边形是菱形，ABCFE19. 证明：，又，即 又，20. 证明：(1)BADEAC BAC=EAD在ABC和AED中 ABCAED(SAS) (2)由(1)知ABC=AED AB=AE ABE=AEB OBE=OEB OB=OE 21. 证明：（1）连结OD 由O、E分别是BC、AC中点得OEAB1=2，B=3，又OB=ODBADOCE12=3而OD=OC
27、，OE=OEOCEODEOCE=ODE又C=90，故ODE =90 DE是O的切线 （2）在RtODE中，由，DE=2得 又O、E分别是CB、CA的中点AB=2所求AB的长是5cm 22. 证明：（1）DEAG，BFAG， AED=AFB=90ABCD是正方形，DEAG， ADEFCGBAF+DAE=90，ADE+DAE=90， BAF =ADE 又在正方形ABCD中，AB=AD在ABF与DAE 中，AFB =DEA=90，BAF =ADE ，AB=DA，ABFDAE（2）ABFDAE，AE=BF，DE=AF 又 AF=AE+EF，AF=EF+FB，DE=EF+FB23. 解：（1）CD=BE
28、理由如下: ABC和ADE为等边三角形 AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=60o BAE =BACEAC =60oEAC，CNDAMDAC =DAEEAC =60oEAC， BAE=DAC， ABE ACD CD=BE （2）AMN是等边三角形理由如下： ABE ACD， ABE=ACD M、N分别是BE、CD的中点，CNDABM BM= AB=AC，ABE=ACD， ABM ACN AM=AN，MAB=NAC NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=BAC=60o AMN是等边三角形 设AD=a，则AB=2a AD=AE=DE，AB=AC， CE=DE ADE为等边三角形， DEC=1
29、20 o， ADE=60o， EDC=ECD=30o ， ADC=90o 在RtADC中，AD=a，ACD=30 o ， CD=N为DC中点， ， ADE，ABC，AMN为等边三角形，SADESABC SAMN解法二：AMN是等边三角形理由如下：5分ABE ACD，M、N分别是BE、CN的中点，AM=AN，NC=MBAB=AC，ABM ACN，MAB=NAC ，NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=BAC=60oAMN是等边三角形7分设AD=a，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a易证BEAC，BE=， ADE，ABC，AMN为等边三角形 SADESABC SAMN24证明：（1）如图1，连结AP， AEP=AFP= 又AE=AF，AP=AP，RtAEPRtAFP，PE=PF（2）RtAEPRtAFP，EAP=FAP， AP是BAC的角平分线，故点P在BAC的角平分线上25. 解：(1) 在RtACE和RtBDE中， AEC与BED是对顶角，AEC=BED C=D=90， AC=BD RtACERtBDE， AE=BE (2) AEC=45， C=90，CAE=45 CE=AC=1 专心-专注-专业