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1、1. 流水问题顺流速度静水速度水流速度逆流速度静水速度水流速度静水速度 (顺流速度逆流速度)2 水流速度 (顺流速度逆流速度)2 2. 追及问题追及距离速度差追及时间追及时间追及距离速度差速度差追及距离追及时间(盈亏 )两次分配量之差参加分配的份数(大盈小盈 )两次分配量之差参加分配的份数(大亏小亏 )两次分配量之差参加分配的份数3. 植树问题1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: 如果在非封闭线路的两端都要植树,那么 : 株数段数 1全长株距 1 全长株距 (株数 1) 株距全长 (株数 1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
2、 -第 1 页，共 11 页如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数段数全长株距全长株距株数株距全长株数如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么 : 株数段数 1全长株距 1 全长株距 (株数 1) 株距全长 (株数 1) 2、封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数段数全长株距全长株距株数株距全长株数总数总份数平均数4. 和差问题的公式(和差 )2大数(和差 )2小数5. 和倍问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页和(倍数 1)小数小数倍数大数(或者和小数大数) 6.差倍问题差(倍数 1)小数小数倍
3、数大数(或小数差大数) 7.牛吃草问题牛吃草问题又称为消长问题，是17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是（1）草的生长速度吃的较少天数吃的较多天数相应的牛头数 对应的牛头数（吃的较多天数吃的较少天数）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页吃的天数； 吃的天数草的生长速度（2）原有草量牛头数（牛头数草的生长速度）；（3）吃的天数原
4、有草量吃的天数草的生长速度。（4）牛头数原有草量8. 抽屉原理的公式把 N1 个物品放进N 个抽屉里， 至少有一个抽屉里有2 个以上的物品9. 时钟问题根据钟表的构造我们知道，一个圆周被分为12 个大格，每一个大格代表1 小时；同时每一个大格又分为5 个小格，即一个圆周被分为60 个小格，每一个小格代表1 分钟。这样对应到角度问题上即为一个大格对应36 0 /12=30 ； 一个小格对应360 /60=6 。现在我们把12 点方向作为角的始边，把两指针在某一时刻时针所指方向作为角的终边，则m时 n 分这个时刻时针所成的角为30（m+n/60）度，分针所成的角为6n 度，而这两个角度的差即为两指
5、针的夹角。若用 表示此时两指针夹的度数，则 =30 （m+n/60）-6n 。考虑到两针的相对位置有前有后，为保证所求的角恒为正且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页不失解，我们给出下面的关系式： =|30 （m+n/60）-6n|=|30m-11n/2|。这就是计算某一时刻两指针所夹角的公式，例如：求5时 40 分两指针所夹的角。把m =5 ，n =4 代入上式，得 =|150-220|=70（度）利用这个公式还可计算何时两指针重合问题和两指针成任意角问题。因为两指针重合时，他们所夹的角为0，即公式中的 为 0，再
6、把时数代入就可求出n。例如：求 3 时多少 分 两 指 针 重 合 。 解 ： 把 =0 ， m=3代 入 公 式 得 ：0=|30*3-11n/2|，解得 n=180/11，即 3 时 180/11分两指针重合。又如：求 1 点多少分两指针成直角。解：把 =90 ，m=1代入公式得： 90=|30*1-11n/2|解得 n=240/11。 （另一解为 n=600/11）上述公式也可写为|30m+0.5n-6n|。因为时针 1 小时转过 30 度， 1 分钟转过 0.5 度，分针 1 分钟转过 6 度. 时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。钟面的一周分为 60 格。当分针走 60 格时，
7、时针正好走5 格，所以时针的速度是分针的560=1 12，分针每走60（1560 ）=65+5 11（分），于时针重合一次，时钟问题变化多端，也存在着不少学问。这里列出一个基本的公式：在初始时刻需追赶的格数（1112）= 追及时间（分钟） ，其中， 1112 为每分钟分针比时针多走的格数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页10. 排列及计算公式从 n 个不同元素中， 任取 m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的
8、个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 p(n,m) 表示 . p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n!/(n-m)!(规 定0!=1). 11.组合及计算公式从 n 个不同元素中， 任取 m(m n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示 . c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 12. 其他排列与组合公式从n个 元 素 中 取 出r个 元 素
9、的 循 环 排 列 数 p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,.nk这n 个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*.*nk!). k 类元素 ,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列（ Pnm(n 为下标， m 为上标 )）Pnm=n （n-1 ）.（n-m+1） ；Pnm=n ！/ （n-m ） ！（注： ！ 是阶乘符号）； Pnn （两个 n 分别为上标和下标）=n ！ ；0！=1 ；
10、Pn1 （n 为下标 1 为上标） =n 组合（ Cnm(n为下标， m 为上标 )）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n ！/m ！ （n-m ） ！ ；Cnn（两个 n 分别为上标和下标）=1 ；Cn1 （n 为下标 1 为上标）=n ；Cnm=Cnn-m 13. 数学运算数学运算题主要考查解决四则运算等基本数字问题的能力。数学运算的试题一般比较简短，其知识内容和原理多限于小学数中的加、减、乘、除四则运算解决实际问题的基本步骤：实际问题（数字应用题）- 数学模型实际问题的解 -还原说明 -数学模型的解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
11、第 7 页，共 11 页14. 集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。19 世纪末，德国数学家康托 有限集元素的个数(容斥原理 ) 解 题 公 式 ：(1) card(A B) card(A) card(B) card(AB)；(2) card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C) -card(A B)-card(AC)-card(B C)+card(A BC) 15.工程问题的数量关系工作量工作效率x 工作时间工作效率工作量/ 工作时间总工作量各分工作量之和此类题：一般设总的工作量为1；16.相遇问题甲从 a 地到 b 地，乙从 b 地到 a 地，然后两
12、人在途中相遇，实质上是甲乙一起走了ab 之间这段路程，如果两人同时出发，那么：ab之间的路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程 =甲的速度 *相遇时间 + 乙的速度 *相遇时间 = 甲乙速度和 *相遇时间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页相遇问题的核心是速度和时间的问题17.跳井问题或称爬绳问题完成任务的次数=井深或绳长 -每次所爬米数 +1 18.鸡兔同笼问题1， 孙子算经解法：设头数为a,足数是 b。则 b/2-a是兔数， a-(b/2-a)是鸡数。2， 丁巨算法 解法：鸡数 =（4* 头总数 -总足数） /2
13、兔数= 总数 -鸡数兔数= （总足数 -2* 头总数） /2 鸡数= 总数 -兔数著名古典小说镜花缘中的米兰芬算灯用的也是鸡兔同笼问题的解法。19. 溶液问题溶液= 溶质 + 溶剂浓度= 溶质 / 溶液 = 溶质的质量分数此类题涉及的考查类型：（1）稀释后，求溶质的质量分数；（2）饱和溶液的计算问题；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页注意：一种溶剂可以同时和几种溶质互溶。有关溶液混合的计算公式是：m( 浓)c(浓)+m( 稀)c(稀)= m( 混)c(混) 由于 m( 混)=m( 浓)+m( 稀)，上式也可以写成：
14、m( 浓)c(浓)+m( 稀)c(稀) = m( 浓)+m( 稀)c(混) 此式经整理可得：m( 浓)c(浓)-c (混) =m( 稀)c(混)-c (稀) 20. 利润问题利润销售价（卖出价）成本利润率利润成本（销售价成本）成本销售价成本销售价成本（利润率）成本销售价（利润率）利润总额= 营业利润 + 投资收益 (减投资损失） + 补贴收入+ 营业外收入 -营业外支出营业利润 = 主营业务利润+ 其他业务利润-营业费用 -管理费用 -财务费用主营业务利润 = 主营业务收入 -主营业务成本-主营业务税金及附加其他业利润 = 其他业务收入 -其他业务支出精选学习资料 - - - - - - -
15、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页1、资本金利润率是衡量投资者投入企业资本的获利能力的指标。其计算公式为：资本金利润率 = 利润总额 / 资本金总额X100% 企业资本金利润率越高，说明企业资本的获利能力越强。2、销售收入利润率是衡量企业销售收入的收益水平的指标，其计算公式是：销售收入利润率=利润总额 / 销售收入净额X100% 销售收入利润率是反映企业获利能力的重要指标，这项指标越高，说明企业销售收入获取利润的能力越强。3、成本费用利润率是反映企业成本费用与利润的关系的指标。其计算公式为：成本费用利润率=利润总额 / 成本费用总额X100% 21.面积问题解决面积问题的核心是“割、补”思维，既当我们看到一个关于求解面积的问题，不要立刻套用公式去求解，这样解会进如误区。对于此类问题的通常解法是“辅助线法”，即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全为很容易求得面积的规则图形，从而快速求的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页