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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 流水问题顺流速度静水速度水流速度逆流速度静水速度水流速度静水速度 顺流速度逆流速度 2 水流速度 顺流速度逆流速度 2 2. 追及问题追及距离速度差 追准时间追准时间追及距离 速度差速度差追及距离 追准时间盈亏 两次安排量之差参与安排的份数大盈小盈 两次安排量之差参与安排的份数大亏小亏 两次安排量之差参与安排的份数3. 植树问题1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形 : 假如在非封闭线路的两端都要植树 ,那么 : 株数段数 1全长 株距 1 名师归纳总结 全长株距株数 1 第 1 页,共 11 页株距全长株数 1 - - - -
2、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 假如在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数段数全长 株距全长株距 株数株距全长 株数假如在非封闭线路的两端都不要植树 ,那么 : 株数段数 1全长 株距 1 全长株距株数 1 株距全长株数 1 2、封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数段数全长 株距全长株距 株数株距全长 株数总数 总份数平均数4. 和差问题的公式和差 2 大数和差 2 小数5. 和倍问题名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 和 倍数 1小数 小数 倍数大数或者和小数大数 6
3、. 差倍问题差 倍数 1小数 小数 倍数大数7.或小数差大数 牛吃草问题牛吃草问题又称为消长问题,是17 世纪英国宏大的科学家牛顿提出来的；典型牛吃草问题的条件是假设草的生长 速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各 不相同,求如干头牛吃这片草地可以吃多少天；由于吃的天不断地变化；解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是（1）草的生长速度吃的较少天数吃的较多天数相应的牛头数 对应的牛头数名师归纳总结 （吃的较多天数吃的较少天数）；第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 吃的天数； 吃的天数草的生长速度（2）原有草量牛头数（
4、牛头数草的生长速度）；（3）吃的天数原有草量吃的天数草的生长速度；8. 抽屉原理的公式（ 4）牛头数原有草量把 N 1 个物品放进 N 个抽屉里, 至少有一个抽屉里有2 个以上的物品9. 时钟问题依据钟表的构造我们知道,一个圆周被分为 12 个大格,每一个大格代表 1 小时；同时每一个大格又分为 5 个小格,即一个圆周被分为 60 个小格,每一个小格代表 1 分钟；这样对应到角度问题上即为一个大格对应 36 0 /12=30 ；一个小格对应 360 /60=6 ；现在我们把 12 点方向作为角的始边,把两指针在某一时刻时针所指方向作为角的终边,就 m时 n 分这个时刻时针所成的角为 30（m+
5、n/60）度,分针所成的角为 6n 度,而这两个角度的差即为两指针的夹角；如用 表示此时两指针夹的度数,就 =30 （m+n/60）-6n ；考虑到两针的相对位置有前有后,为保证所求的角恒为正且名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 不失解,我们给出下面的关系式： =|30 （m+n/60）-6n|=|30m-11n/2|；这就是运算某一时刻两指针所夹角的公式,例如：求 5时 40 分两指针所夹的角；把 =|150-220|=70（度）m =5 ,n =4 代入上式,得 利用这个公式仍可运算何时两指针重合问题和两指针 成
6、任意角问题；由于两指针重合时,他们所夹的角为 0,即公式中的 为 0,再把时数代入就可求出n；例如：求 3 时多少 分 两 指 针 重 合 ； 解 ： 把 =0 , m=3 代 入 公 式 得 ：0=|30*3-11n/2|,解得 n=180/11,即 3 时 180/11 分两指针重合； 又如：求 1 点多少分两指针成直角；解：把 =90 ,m=1 代入公式得： 90=|30*1-11n/2| 解得 n=240/11；（另一解为 n=600/11）上述公式也可写为 |30m+0.5n-6n|；由于时针 1 小时转过 30 度, 1 分钟转过 0.5 度,分针 1 分钟转过 6 度. 时钟问题
7、是讨论钟面上时针和分针关系的问题；钟面的一周分为 60 格；当分针走 60 格时, 时针正好走 5 格,所以时针的速度是分针的 5 60=1 12 ,分针每走 60 （1560 ）=65+5 11（分）,于时针重合一次,时钟问题变化多端,也存在着不少学问；这里列出一个基本的公式：在初始时刻需追逐的格数 （1112 ）= 追准时间（分钟） ,其中, 1112 为每分钟分针比时针多走的格数；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10. 排列及运算公式从 n 个不同元素中, 任取 mm n 个元素依据肯定的顺序排成一列,叫做
8、从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从 n 个不同元素中取出mm n 个元素的全部排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号 pn,m 表示 . pn,m=nn-1n-2 n-m+1= n./n-m.规 定0.=1. 11. 组合及运算公式从 n 个不同元素中, 任取 mm n个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合；从 n 个不同元素中取出 mm n 个元素的全部组合的个数,叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的组合数 .用符号cn,m 表示 . cn,m=pn,m/m.=n./n-m.*m.；cn,m=cn,n-m; 12. 其他排
9、列与组合公式从n个 元 素 中 取 出r个 元 素 的 循 环 排 列 数 pn,r/r=n./rn-r. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - n 个元素被分成k 类,每类的个数分别是n1,n2,.nk这n 个元素的全排列数为n./n1.*n2.*.*nk. k 类元素 ,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为 cm+k-1,m. 排列（ Pnmn 为下标, m 为上标 ）Pnm=n （n-1 ） .（ n-m+1）；Pnm=n ！ / （n-m ）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个 n 分别为上标和下标）=
10、n ！；0！=1 ；Pn1 （n 为下标 1 为上标） =n 组合（ Cnmn为下标, m 为上标 ）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n ！/m ！（n-m ）！；Cnn（两个 n 分别为上标和下标）=n ；Cnm=Cnn-m 13. 数学运算=1 ；Cn1 （n 为下标 1 为上标）数学运算题主要考查解决四就运算等基本数字问题的 才能；数学运算的试题一般比较简短,其学问内容和原理多限 于学校数中的加、减、乘、除四就运算 解决实际问题的基本步骤：名师归纳总结 实际问题（数字应用题）- 数学模型第 7 页,共 11 页实际问题的解 -仍原说明 -数学模型的解- - - - - - -精选学习资
11、料 - - - - - - - - - 14. 集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具；19 世纪末,德国数学家康托 有限集元素的个数 容斥原理 解 题 公 式 ：1 cardA B cardA cardB cardAB；2 cardABC=cardA+cardB+cardC -cardA B-cardAC-cardB C+cardABC 15. 工程问题的数量关系工作量工作效率 x 工作时间工作效率工作量 / 工作时间总工作量各分工作量之和16.此类题：一般设总的工作量为1；相遇问题甲从 a 地到 b 地,乙从 b 地到 a 地,然后两人在途中相遇,实质上是甲乙一起走了ab
12、之间这段路程,假如两人同时动身,那么：ab之间的路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程 =甲的速度 *相遇时间 + 乙的速度 *相遇时间 = 甲乙速度和 *相遇时间名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 相遇问题的核心是速度和时间的问题17. 跳井问题或称爬绳问题完成任务的次数= 井深或绳长 - 每次所爬米数 +1 18. 鸡兔同笼问题1,孙子算经解法：设头数为 是兔数, a-b/2-a 是鸡数；a,足数是 b；就 b/2-a2,丁巨算法 解法：鸡数 =（4* 头总数 -总足数） /2 兔 数= 总数 - 鸡数 兔数 =
13、（总足数 -2* 头总数） /2 鸡数 = 总数 - 兔数 闻名古典小说镜花缘中的米兰芬算灯用的也是鸡兔 同笼问题的解法；19. 溶液问题溶液 = 溶质 + 溶剂 浓度 = 溶质 / 溶液 = 溶质的质量分数 此类题涉及的考查类型：（1）稀释后,求溶质的质量分数；（2）饱和溶液的运算问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 留意：一种溶剂可以同时和几种溶质互溶；有关溶液混合的运算公式是：m 浓 c浓+m 稀 c稀= m 混 c混 由于 m 混=m 浓+m 稀,上式也可以写成：m 浓 c浓+m 稀 c稀 = m 浓+m
14、 稀 c混 此式经整理可得：m 浓 c浓-c 混 =m 稀 c混-c 稀 20. 利润问题利润销售价（卖出价）成本 利润率利润成本（销售价成本）成本销售 价成本 销售价成本（利润率）成本销售价（利润率）利润总额 = 营业利润 + 投资收益 减投资缺失） + 补贴收 入+ 营业外收入 - 营业外支出营业利润 = 主营业务利润+ 其他业务利润- 营业费用 - 管理费用 - 财务费用名师归纳总结 主营业务利润 = 主营业务收入 - 主营业务成本- 主营业务第 10 页,共 11 页税金及附加其他业利润 = 其他业务收入 - 其他业务支出- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -
15、- - - 1、资本金利润率是衡量投资者投入企业资本的获利能力的指标；其运算公式为：资本金利润率 = 利润总额 / 资本金总额 X100% 企业资本金利润率越高,说明企业资本的获利才能越强；2、销售收入利润率 其运算公式是：是衡量企业销售收入的收益水平的指标,销售收入利润率= 利润总额 / 销售收入净额X100% 销售收入利润率是反映企业获利才能的重要指标,这项 指标越高,说明企业销售收入猎取利润的才能越强；3、成 本费用利润率 是反映企业成本费用与利润的关系的指标；其运算公式为：21.成本费用利润率= 利润总额 / 成本费用总额X100% 面积问题解决面积问题的核心是“ 割、补” 思维,既当我们看到 一个关于求解面积的问题,不要马上套用公式去求解,这样 解会进如误区；对于此类问题的通常解法是“ 帮助线法”,即通过引入新的帮助线将图形分割或者补全为很简单求得面积的规章 图形,从而快速求的面积；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页