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1、简单的线性规划问题与基本不等式作业及答案一、选择题：1.(2009福建高考 )在平面直角坐标系中，若不等式组xy10，x10，axy10(a 为常数 )所表示的平面区域的面积等于2，则 a 的值为 () A 5 B1C2 D3 解读： 不等式组xy1 0，x10，axy10所围成的区域如图所示则 A(1,0)，B(0,1)，C(1,1a) 且 a1，SABC2，12(1 a)12，解得 a3.答案： D 2已知 D 是由不等式组x2y0，x3y0所确定的平面区域，则圆x2y24 在区域 D 内的弧长为 () A.4 B.2C.34 D.32解读： 如图， l1、 l2的斜率分别是k112，k2
2、13，不等式组表示的平面区域为阴影部分 tanAOB1213112131， AOB4，弧长4 22.答案： B 3.(2009天津高考 )设变量x、y 满足约束条件xy3，xy 1，2xy 3，则目标函数z2x3y 的最小值为 () A6 B7C8 D23 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页解读： 约束条件xy3，xy1，2xy3表示的平面区域如图易知过 C(2,1)时，目标函数z2x3y取得最小值 zmin223 17.答案： B 4(2009 陕西高考 )若 x，y 满足约束条件xy1，xy 1，2x y2，目标
3、函数z ax2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是() A( 1,2) B( 4,2)C(4,0 D(2,4) 解读： 可行域为 ABC，如图当 a0 时，显然成立当a0 时，直线ax2y z0 的斜率 ka2kAC 1，a 2. 当 a 0时， ka2kAB2，a 4.综合得 4a 2. 答案： B 5.(2009湖北高考)在“家电下乡”活动中，某厂要将100 台洗衣机运往邻近的乡镇现有4 辆甲型货车和8 辆乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用400 元，可装洗衣机20 台；每辆乙型货车运输费用300 元，可装洗衣机10 台若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()
4、 A2 000 元 B2 200 元 C2 400 元 D2 800元解读： 设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元，根据题意，得线性约束条件20 x10y100，0 x4，0y8，求线性目标函数z400 x300y的最小值解得当x4，y2时， zmin2 200.答案： B 6(2009 四川高考 )某企业生产甲、乙两种产品已知生产每吨甲产品要用A 原料3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页吨、 B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用A 原料 1 吨、 B 原料 3 吨销售每吨甲产品可获得利润5 万元、
5、每吨乙产品可获得利润3 万元 . 该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13 吨、 B 原料不超过18 吨，那么该企业可获得最大利润是() A12 万元 B20 万元 C25 万元 D 27 万元解读： 设该企业生产甲产品为x 吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z5x3y，且x0，y0，3xy13，2x3y18，联立3xy 13，2x3y18，解得x3，y4.由图可知，最优解为P(3,4)，z 的最大值为z 533427(万元 )答案： D 7.设 x、y均为正实数，且32x32y1，则 xy的最小值为 () A4 B 4 3C9 D 16 解读： 由32x32y1 可得 xy8xy.x，
6、 y均为正实数， xy8 xy8 2 xy(当且仅当xy时等号成立 )，即 xy2 xy80，可解得xy4，即 xy16，故 xy的最小值为16.答案： D 8(2009 天津高考 )设 a0，b0.若3是 3a与 3b的等比中项，则1a1b的最小值为 () A8 B 4C1 D.14解读： 3是 3a与 3b的等比中项， (3)23a 3b.即 33ab，ab1. 此时1a1ba baabb2(baab)224(当且仅当ab12取等号 )答案： B 9已知不等式(xy)(1xay)9 对任意正实数x，y 恒成立，则正实数a 的最小值为() A8 B 6C4 D2 精选学习资料 - - - -
7、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页解读： (xy)(1xay)1axyyxaa12 axyyx a2 a 1，当且仅当axyyx等号成立，所以(a)22a19，即 (a)22a80，得a 2或a4(舍)，所以 a4，即 a 的最小值为4. 答案： C 10设 a、b是正实数，以下不等式ab2abab； a|a b| b； a2 b24ab3b2； ab2ab2 恒成立的序号为 () A B C D解读： a、b是正实数， ab2 ab? 12 abab?ab2aba b. 当且仅当ab时取等号， 不恒成立； ab|ab|? a|ab|b恒成立；
8、a2b24ab3b2(a2b)20，当 a2b时，取等号， 不恒成立；ab2ab2 ab2ab2 22 恒成立 答案： D 11.若 a 是2 b与2b的等比中项，则2ab|a|b|的最大值为 () A.2B1C.24 D.22解读： a 是2b与2b的等比中项，a22b2? a2b22. 根据基本不等式知2ab|a|b|2|a| |b|a|b|a2 b221.即2ab|a|b|的最大值为1.答案： B 12若a，b 是正常数， ab，x，y(0， )，则a2xb2y(ab)2xy，当且仅当axby时取等号利用以上结论，函数f(x)2x912x(x(0，12)取得最小值时x 的值为() A 1
9、 B.15C2 D.13解读： 由a2xb2y(ab)2xy得， f(x)222x3212x(2 3)22x (12x)25. 当且仅当22x31 2x时取等号，即当x15时 f(x)取得最小值25.答案： B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页二、填空题：13点 (3,1)和(4,6)在直线 3x 2ya0 的两侧，则a 的取值范围是_解读： 点(3,1)和(4,6)在直线 3x2ya0 的两侧，说明将这两点坐标代入3x 2ya 后，符号相反，所以 (92a)( 1212a)0，解之得 7a24.答案： (7,24
10、) 14. 设 m 为实数，若(x，y)x2y503x 0mxy0? (x，y)|x2 y225，则 m的取值范围是_解读： 由题意知，可行域应在圆内，如图：如果 m0，则可行域取到x 5 的点，不能在圆内；故 m0，即 m0. 当 mx y0 绕坐标原点旋转时，直线过B 点时为边界位置此时m43， m43.0m43.答案： 0m4315(2010 太原模拟 )若直线axby20(a0，b0)和函数f(x)ax11(a0 且 a1)的图象恒过同一个定点，则当1a1b取最小值时，函数f(x)的解读式是 _解读： 函数f(x)ax11 的图象恒过 ( 1,2)，故12a b1，1a1b(12ab)
11、(1a1b)32baa2b322.当且仅当b22a 时取等号，将b22a 代入12ab1 得 a2 22，故 f(x)(2 22)x11. 答案： f(x)(222)x11 16已知关于x 的不等式2x2xa7 在 x(a， )上恒成立，则实数a 的最小值为 _解读： 因为 xa，所以 2x2xa2(xa)2xa 2a2 2(xa) 2x a2a 2a 4，即 2a47，所以 a32，即 a 的最小值为32.答案：32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页三、解答题：17已知关于x、y的二元一次不等式组x2y4，xy1，
12、x20.(1)求函数 u3xy的最大值和最小值；(2)求函数 zx2y2的最大值和最小值解： (1)作出二元一次不等式组x2y4，xy1，x2 0表示的平面区域，如图所示由 u3x y，得 y 3xu，得到斜率为3，在 y 轴上的截距为u，随 u 变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距u 最大，即u最小，解方程组x2y 4，x20，得 C(2,3)，umin3(2)3 9. 当直线经过可行域上的B 点时，截距u 最小，即u 最大，解方程组x2y 4，xy1，得 B(2,1)，umax321 5. u3xy的最大值是5，最小值是 9. (2)作出二元一次不等式组x2y4，
13、xy 1，x20表示的平面区域，如图所示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页由 zx2y2，得 y12x12z1，得到斜率为12，在 y轴上的截距为12z1，随 z变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z1 最小，即 z 最小，解方程组xy1，x20，得 A(2， 3)，zmin 2 2(3)2 6. 当直线与直线x2y 4重合时，截距12z1 最大，即z最大， zmax426. zx2y2 的最大值是6，最小值是 6. 18某人上午7 时乘摩托艇以匀速v km/h(4v20)从 A 港出发
14、到距50 km 的 B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30 w 100)自 B 港向距 300 km 的 C 市驶去应该在同一天下午4 至 9 点到达C 市设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是xh、y h若所需的经费p1003(5y)2(8x)元，那么v、w 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费解： 依题意450 x2030300y1009xy14x0，y0，考查z2x3y 的最大值，作出可行域，平移直线 2x 3y0，当直线经过点(4,10)时， z取得最大值38. 故当 v12.5、w 30 时所需要经费最少，此时所花的经费为93 元19已知 a、b、c(0， )且 ab
15、c1，求证： (1a 1)(1b1)(1c1)8. 证明： a、b、c(0， )且 a bc1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页(1a1)(1b1)(1c1)(1 a)(1 b)(1c)abc(bc)(ac)(ab)abc2bc 2ac 2 ababc8.当且仅当abc13时取等号20某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 平方 M 的三级污水处理池，池的深度一定 (平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400 元 /M ，中间两道隔墙建造单价为248 元/M ，池底建造单价为80 元/M2，水池所有墙的
16、厚度忽略不计(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16M ，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价解： (1)设污水处理池的宽为xM ，则长为162xM 则总造价f(x)400 (2x2162x)2482x801621 296x1 296100 x12 960 1 296(x100 x)12 9601 2962 x100 x12 96038 880(元)，当且仅当x100 x(x0)，即 x10 时取等号当长为 16.2M ，宽为 10M 时总造价最低，最低总造价为38 880 元(2)由限制条件知0 x160
17、162x16，1018x16. 设 g(x) x100 x(1018x16)，由函数性质易知g(x)在1018，16上是增函数，当 x1018时 (此时162x16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296(101880081)12 960 38 882(元)当长为 16M，宽为 1018M 时，总造价最低，为38 882 元21.为了提高产品的年产量，某企业拟在2010 年进行技术改革经调查测算，产品当年的产量x 万件与投入技术改革费用m万元 (m0)满足 x3km1(k 为常数 )如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1 万件已知2010 年生产该产品的固定投入为8 万元，每生
18、产1 万件该产品需要再投入16 万元由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页成本的 1.5 倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将 2010 年该产品的利润y 万元 (利润销售金额生产成本技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；(2)该企业 2010 年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解： (1)由题意可知，当m0 时， x1(万件 )，13 k，k2，x32m 1，每件产品的销售价格为1.5816xx(元)，2010 年的利润y x 1.5816xx (8 16x)m 16m 1(m1)29(元)(m 0)(2)m0，16m1 (m1)2168， y29 821，当16m 1m1，即 m 3，ymax21. 该企业 2010 年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页